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Strecke oder die Hyperbelsehne als Hypotenuse in dem Dreieck auftritt, hängt davon ab, ob der parallele Durchmesser imaginär oder reell ist. Nachdem nun a, und damit die umgelegten Punkte A, und A, gefunden sind (AA, L DD), bestimmen wir in ganz ähnlicher Weise B, B, und C, C. (B, B, CC | A, A, |MX). Der Spurpunkt J von A, B, ergiebt sich als Schnitt von A/B und der Verbindungslinie der in gleicher Richtung umgelegten Punkte A und B. Ebenso ist K der Spurpunkt der durch C, parallel zu A, B, gezogenen Geraden, wenn C/K| A“B” und C„K| A, B, ist. Die Ebene A, B, C, hat die Spur JK, sie schneidet das Hyperboloid in einer Hyperbel, deren Projektion durch A, B und C“ geht und zu in den auf JK liegenden Punkten S und T' berührt. Die Schnittpunkte S, T" von zu und JK bestimmen sich in bekannter Weise und ebenso der Pol P von p = JK. Dann kann wieder die Konstruktion von 703 angewendet werden. Wären die Punkte A, B, C“ außerhalb der Hyperbel u gelegen, so wäre das durch Rotation von u um die Achse FX, entstehende einschalige Hyperboloid der Betrachtung zu Grunde zu legen; die Art der Konstruktion würde ganz dieselbe bleiben.

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706. Von einem zweischaligen Hyperboloide, dessen Achsen den Projektionsebenen parallel sind, den Eigenschatten sowie den Schlagschatten auf sich selbst und die Horizontalebene zu zeichnen. Die reelle Achse XX sei senkrecht zu TT, die imaginären Achsen YY und ZZ seien parallel resp. senkrecht zu TI. Dann ist der scheinbare Umriß in TT, eine Hyperbel u“ mit den Achsen X“X“ und Y“X“ (Fig. 460); in TT,

Fig. 460.

giebt es dagegen keinen scheinbaren Umriß. Die Ebene TT, schneidet die Achse XX, in einem Punkte M. und das Hyperboloid in einer Ellipse a, deren Achsen A, B und C, D, zu XY" resp. ZZ parallel und proportional sind. Haben die Asymptoten von u in TT, die Spurpunkte U- und W, so ist nach der vorigen Nummer: (MA)“ = (MU) –(OK). Das Hyperboloid mag begrenzt werden durch die Ellipse a, und eine dazu parallele und kongruente Ellipse a, deren Ebene TT, die Achse XX, in M, schneidet (OM = MO, a" = a, A = A, etc.). Sind " und " die Projektionen des Lichtstrahles l, so liegt die Kurve v der Lichtgrenze auf unserer Fläche in der zur Lichtrichtung konjugierten Diametralebene. Diese schneidet auch den Asymptotenkegel der Fläche in zwei Mantellinien, die seine Lichtgrenze bilden; diese Mantellinien sind zugleich die Asymptoten von v. Ist O, der Schatten des Mittelpunktes auf TT, und sind J und K, die Berührungspunkte der von O, an die Spurellipse b, des Asymptotenkegels gelegten Tangenten, so bilden OJ und OK, die Lichtgrenze des Kegels und die Ebene OJ K, schneidet das Hyperboloid in seiner Lichtgrenze v. Zur Konstruktion von J und K benutzen wir die Affinität, indem wir an Stelle der Ellipsen a, und b, die Kreise ao und bo mit den Durchmessern A, B, resp. U„W, einführen und zu O, den affinen Punkt O' aufsuchen. Die Verbindungslinien affiner Punkte sind zu A, B, senkrecht; die Entfernungen affiner Punkte von A, B, verhalten sich, wie: CD, : A, B,. Die Tangenten von O„9 an bo mögen in Jo und K9 berühren, dann sind die affinen Punkte J, und K, die gesuchten Punkte; OJ, und OK, sind die Asymptoten von v, O"J“ und O“K“ sind die von v“. J"K" schneidet a" in Lo und M", die affinen Punkte L und M auf a, liegen auf v. Der Schatten v, von v auf TT, geht ebenfalls durch L, und N% und hat O„L, und O„N% zu Asymptoten; er berührt natürlich a, in L, und N. Hiermit sind die Kurven v“, v“, v, bereits bestimmt, es lassen sich indessen leicht zwei konjugierte Durchmesser dieser Kurven angeben. Ziehen wir durch O eine Parallele zu L, M, so ist sie ein imaginärer Durchmesser von v, der dazu konjugierte reelle Durchmesser ist OQ, wo Q, der Mittelpunkt von LN ist. Die Endpunkte – Gleichpunkte – des imaginären Durchmesser liegen auf der Ellipse mit den Achsen XK und ZZ (vergl. 693). Benutzen wir die frühere Affinität, so ist der Kreis mit dem Durchmesser XY, zu der genannten Ellipse affin; der zu J'Ko parallele Durchmesser R"So dieses Kreises liefert dann den affinen Durchmesser RS der Ellipse. Zu dem imaginären Durchmesser RS von v findet man den reellen TW mit Hilfe der Asymptoten. Für v„ ist " ein reeller Durchmesser, T. und W. sind seine Endpunkte, der ihm konjugierte imaginäre Durchmesser ist gleich und parallel mit RS“ = RS. Die durch die vertikale Achse parallel zum Lichtstrahl gelegte Ebene schneidet die Fläche in einer Hyperbel h, auf der die Punkte T" und W liegen; die Tangenten in diesen Punkten sind zu l parallel. Projiziert man nun diese Hyperbel h durch Strahlen parallel zu PB, (P = a, × 1) auf die Ebene von u, so deckt sich diese Projektion mit u. Zugleich geht O0, in OOA über (0,0% |P, B, O/O" = OO) und im Aufriß l“ in l, und T”, W” in T., W. auf u“. T. und W. sind dann solche Punkte von u“, deren Tangenten zu l, parallel sind, sie liegen also auf dem zu l, konjugierten Durchmesser von u“ und können auch hieraus konstruiert werden; aus ihnen ergeben sich dann wieder To", T' und T. Der Schlagschatten auf die Horizontalebene ist in der Figur nur von dem einen Flächenteile angegeben, der Schatten des anderen Teiles fällt zu weit weg und ist deshalb fortgelassen. In die Höhlung des oberen Flächenteiles dringt das Licht ein und es entsteht deshalb in dieser Höhlung auch Schlagschatten. Die Randellipse a, trägt die Punkte M und L von v; der kleinere Teil der Höhlung bis zur Lichtgrenze v liegt im Eigenschatten und es wirft das kleinere Randstück N„L, in das Innere der Höhlung seinen Schlagschatten a”. Die Lichtstrahlen, die den Rand a, treffen, bilden einen Cylinder und dieser schneidet das Hyperboloid nach 679 in einem zweiten Kegelschnitt a.“, beide Kurven a, und a“, sowie ihre ersten Projektionen sind zu einander affin. Die zum Lichtstrahle parallele Ebene durch die vertikale Achse schneidet die Fläche in der Hyperbel h und die Randkurve a, in F", der Schatten Fo“ von F, liegt ebenfalls auf h und es ist F*F | 1. Projiziert man wieder h in u durch Parallelen zu P„B, so geht F, in A, und F. in F" auf u über (AF. | l.). Im Aufriß erhält man FA“ auf u“, indem man durch A“ eine Parallele zu l, zieht, im Grundriß ist FF“|P B. a, und a” sind affine Ellipsen; N'L' ist die Affinitätsachse, F" und Fo“ sind ein Paar affiner Punkte, dadurch ist aber die affine Beziehung bestimmt und a” kann hiernach gezeichnet werden. 707. Eine Gerade zu zeichnen, die vier gegebene windschiefe Geraden trifft. Die gemeinsamen Sekanten dreier Geraden bestimmen ein einschaliges Hyperboloid, d. h. die eine Schar von Erzeugenden desselben; schneidet man also dieses mit der vierten Geraden in zwei Punkten Po und Q, es geht durch jeden eine Erzeugende der genannten Schar. Diese beiden Erzeugenden treffen alle vier gegebenen Geraden. Unsere Aufgabe basiert also darauf: Die Schnittpunkte einer Geraden mit einem einschaligen Hyperboloid zu finden, wenn drei Erzeugende einer Schar von ihm bekannt sind. Zur Konstruktion bedienen wir uns zweier paralleler Projektionsebenen TI und TT. Die Geraden seien a, b, c, d, ihre Spurpunkte in den Parallelebenen seien A, A,; B, B,; C, C.; D, D,; die orthogonalen Projektionen der zweiten Spurpunkte auf TT, seien A“, B“, C“, D,“ (Fig. 461). Wir projizieren nun die Ebene TT, in der Richtung von d auf TT, und erhalten als Projektionen der zweiten Spurpunkte die Punkte A, B, C, D," = D, die aus den Orthogonalen Projektionen durch parallele Verschiebung um die

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gleiche Strecke D,“D, hervorgehen. In der Figur sind nur A,“ und D“ angegeben (A,“A, HD“D). Das Hyperboloid hat nun bei der schiefen, zu d parallelen Projektion einen Kegelschnitt w" als scheinbaren Umriß, und jede Tangente an u“ ist die Projektion zweier Erzeugenden, einer aus der einen und einer aus der anderen Schar. Die Tangenten von D, an u“ sind also die schiefen Projektionen der gesuchten gemeinsamen Sekanten; denn die zugehörigen Erzeugenden des Hyperboloides aus einer der beiden Scharen treffen sowohl die Geraden a, b, c als Erzeugende der anderen Schar, als auch die Gerade d. Um u“ zu zeichnen, müssen wir außer seinen Tangenten a, b, c' noch zwei weitere Tangenten aufsuchen, indem wir irgend zwei gemeinsame Sekanten von a, b und c konstruieren. Wir wählen eine Gerade ia, die b und c trifft und eine Gerade k | c, die a und b trifft. Ziehen wir A. G + CC', so ist AG die Projektion der

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