ihre Projektionen haben von N' und somit von M' gleichen Abstand. Das Hyperboloid erstreckt sich nach zwei Seiten ins Unendliche, da es die Erzeugende e thut; wir wollen dasselbe jedoch nicht in seiner

ganzen Ausdehnung darstellen, sondern durch zwei gleiche Parallelkreise begrenzen. In Fig. 346 ist die Achse a zu П1 senkrecht gewählt; die Ebenen der die Fläche begrenzenden Parallelkreise b, und b seien П1 resp. Ã ̧. Jede Erzeugende e ist dann durch ihre Spurpunkte in П, und П, bestimmt; ihre erste Projektion e' berührt k', ihr erster Spurpunkt E1 liegt auf b1, und die erste Projektion ihres dritten Spurpunktes E, auf b1' = b1. Daraus ergeben sich dann in einfachster Weise die Aufrisse der Erzeugenden und der Umriß, der sie alle berührt.

Auf dem Hyperboloid giebt es noch eine zweite Schar von Erzeugenden, die ebenfalls durch Rotation um die Achse a auseinander hervorgehen. Jede Erzeugende der ersten Schar wird von jeder Erzeugenden der zweiten Schar getroffen; je zwei Erzeugende der gleichen Schar sind windschief. Das zuletzt Gesagte ist selbstverständlich, da die Erzeugenden der gleichen Schar auf den Parallelkreisen Bogenstücke begrenzen, die gleiche Centriwinkel spannen. Betrachten wir nun die Gerade f, deren erster Spurpunkt F mit E' identisch ist, während die Projektion ihres dritten Spurpunktes F mit E, zusammenfällt, und irgend eine Gerade g, die mit e der gleichen Schar angehört. Dann ist: Bog E1G1 = Bog Eg'G' und folglich F1G1 || F ̧'Gg';

die Geraden FG, und FG, können also als erste und dritte Spur einer Ebene angesehen werden, der die Geraden f und g angehören; diese Geraden schneiden sich demnach.

Die Geraden beider Scharen haben die gleiche Neigung gegen П1 und somit auch gegen die Achse a, da ihre zwischen П1 und П ̧ gelegenen Stücke einander gleich sind, wie sich aus der Gleichheit ihrer ersten Projektionen ergiebt. Durch jeden Punkt P der Fläche giebt es zwei Erzeugende, ihre ersten Projektionen sind die von P ank gelegten Tangenten. Speziell giebt es zu jeder Erzeugenden der einen Schar, etwa e, eine parallelė Erzeugende aus der zweiten Schar, etwa h; sie projizieren sich als parallele Tangenten von k', ihr Abstand ist gleich dem Durchmesser des Kehlkreises. Die Ebene des Kehlkreises ist Symmetrieebene des Hyperboloides, seinen Mittelpunkt nennt man den Mittelpunkt des Hyperboloides.

542. Im Anschlusse an diese doppelte Erzeugung des Hyperboloides wollen wir einige Konstruktionen desselben aus gegebenen Elementen angeben. Sind e und f zwei Erzeugende der einen Schar und ist eine solche der anderen, so sind durch sie vier Rotationshyperboloide bestimmt. Ist Ple und Q = 1×f, dann konstruiere man zwei Ebenen, so daß und e zur ersten und und f zur zweiten symmetrisch liegen. Die Symmetrieebene für e und 7 muß offenbar eine der Geraden enthalten, die die el halbieren, und auf der Ebene el senkrecht stehen; analog bestimmt sich die Symmetrieebene für fund l. Beide Symmetrieebenen schneiden sich in der Achse a eines Rotationshyperboloides, dem die drei Erzeugenden e, f, angehören. Denn durch Rotation von um a entsteht eine l Rotationsfläche; für sie ist jede Ebene durch a Symmetrieebene, so die Ebenen Pa und Qa; die Fläche enthält also auch die Geraden e und f, die aus 7 durch Spiegelung an den Ebenen Pa resp. Qa hervorgehen. Sind ursprünglich e, f und ein Punkt L der Fläche gegeben, so ziehe man durch L die Gerade 7, die sowohl e wie f trifft; dann verfahre man wie vorher.

Sind nur zwei Erzeugende e und f der nämlichen Schar bekannt, so giebt es noch unendlich viele Rotationshyperboloide mit diesen Erzeugenden. Die Achse einer jeden dieser Flächen hat die Eigenschaft, daß durch eine Drehbewegung um sie die Erzeugende e in die Lage f gebracht werden kann. Soll jedoch eine bestimmte Strecke EE auf e durch Drehbewegung um eine Achse in eine bestimmte, gleichgroße Strecke FF2 auf f übergeführt werden, so ist das nur auf eine Weise möglich. Die Achse a dieser Drehbewegung ergiebt sich als Schnitt

2

1

1

2

1

linie zweier Ebenen, die auf den Strecken E, F, resp. EF, in deren Mittelpunkten G resp. H senkrecht stehen. Fällt man nämlich von E und F Lote auf a, so treffen sie a in dem gleichen Punkte U, da nach der Konstruktion die Richtung von a zu EF senkrecht ist; ebenso treffen die Lote aus E2 und F2 die Achse in dem nämlichen Punkte V (E1U = F1U, EV = F2V). FV). Projiziert man nun die ganze Figur in der Richtung der Achse auf eine zu ihr senkrechte. Ebene П1 (π1 || E1F1U|| E‚F1⁄2V), so werden die Projektionen EE1⁄2 und FF, einander gleich, denn EE, FF, liegen zwischen den Parallelebenen EFU und ЕFV; haben also die gleiche Neigung gegen diese Ebenen und somit auch gegen П1. Ist A = a × π1, so sind die Dreiecke E'E'A und FFA kongruent, da E'A FA = EU FU und E,' A = F2'A = FV ist; also ist EAE

=

=

1

1

2

2

2

EV

=

-

1

FAF und folglich EAF = LEAF oder EUF = EVF. Dreht man demnach die Strecke EE, um diesen Winkel um die Achse a, so nimmt sie die Lage FF2 an.

2

2

Sind zwei Erzeugende e und f der nämlichen Schar bekannt und soll der Punkt E von e auf dem Kehlkreise k liegen, so giebt es noch zwei zugehörige Rotationshyberboloide, die sich in folgender Weise konstruieren lassen. Sei F der Schnittpunkt von f mit dem Kehlkreise und seien e1 und f die zweiten Erzeugenden durch E und F, dann geht die Ebene, die auf EF in der Mitte senkrecht steht, einerseits durch die Achse a, andererseits durch die Punkte J = ex f1 und K = e1 × f; dabei liegen sowohl e und f1, als auch e1 und f symmetrisch zu ihr. Die Dreikante mit den Kanten EF, EJ, EK resp. FE, FJ, FK sind sonach symmetrisch und folglich ist FEJ = ▲ FEK = ▲ EFJ ▲ EFK; d. h. EF bildet mit den Erzeugenden e und f gleiche Winkel. Demnach erhält man F, indem man durch E eine Gerade gf zieht, die beiden Geraden p und q sucht, welche die Winkel von eg halbieren, und durch eine dieser Geraden etwa p eine Ebene

=

eg legt; diese schneidet dann f in F. Die Ebene Fq ist die Ebene des Kehlkreises k; denn e und g bilden gleiche Winkel mit q und gleiche Winkel mit EF, wobei q EF ist, d. h. e und g bilden gleiche Winkel mit der Ebene Fq und ihre orthogonalen Projektionen e' und g' auf diese Ebene gleiche Winkel mit EF. Das Gleiche gilt auch für die Erzeugenden e, f, resp. deren Projektionen e', f'. Der Kreis k in Fq, der e' in E und f' in F berührt, ist der Kehlkreis, die in seinem Mittelpunkte auf seiner Ebene errichtete Normale die Achse a der Fläche. Rotiert e um a bis sich E mit F deckt, so fällt auch e' mit f" und e mit f zusammen, da Lee' ff" ist.

=

3

543. Zieht man durch den Mittelpunkt M eines Hyperboloides eine Parallele i zu einer Erzeugenden e und läßt sie um die Achse a rotieren, so entsteht ein Rotationskegel, man nennt ihn den Asymptotenkegel des Hyperboloides. Die Erzeugenden des Hyperboloides sind paarweise parallel zu den Mantellinien des Asymptotenkegels; die drei Parallelen liegen in der nämlichen Ebene, die den Kegel längs der bezüglichen Mantellinie berührt (Fig.346). In der That muß J12 #E1E,' #H2H,' und M'J1 = M'J' sein; die letzteren Strecken J' sind aber die Radien des ersten und dritten Spurkreises (c, und c) des Asymptotenkegels und es wird c1 = c,' von E1H1 und E,'H' in J resp. J' berührt. Die Mantellinien des Asymptotenkegels schneiden das Hyperboloid nicht im Endlichen, so daß der Asymptotenkegel von dem Hyperboloid vollständig umschlossen wird. Denn ihre Parallelkreise in einer beliebigen, zur Achse normalen Ebene können nicht zusammenfallen, wie zwei parallele Erzeugende e und i zeigen, vielmehr sind ihre Radien ME, und M'J, = √(M'E1)2 — (M'N')2.

Man erkennt hieraus, daß die beiden in der nämlichen Ebene liegenden Parallelkreise von Hyperboloid und Asymptotenkegel einander um so näher rücken,

je weiter diese Ebene sich von der des Kehlkreises entfernt.

544. Die Schnittpunkte einer Geraden mit einem Rotationshyperboloide und seinem Asymptotenkegel zu finden. Wir benutzen wieder zwei parallele Projektionsebenen П1 und П, die das Hyperboloid in zwei kongruenten Kreisenc, und c, schneiden, so daß sich C1 und decken. Ihr gemeinsamer Mittelpunkt M' ist zugleich Mittelpunkt von k', der

C3

Projektion des Kehlkreises

k (Fig. 347). Die schneidende Gerade sei g, sie sei gegeben durch ihre Spurpunkte G1 und G, ihre Projektion g' auf П1 verbindet G1 mit G2'. Wir verzeichnen nun eine Erzeugende e des Hyperboloides, deren

1

Projektion e' g' ist. Lassen wir die Erzeugende e um die Achse des Hyperboloides rotieren, so wird sie in bestimmten Lagen die Gerade g schneiden, dabei vereinigen sich im Schnittpunkte ein Punkt Q von e mit einem Punkte P von g. Diese Punkte P, und Q, resp. P2 und Q2 - es giebt, wie sich zeigt, immer zwei Lösungen, die wir durch Indices unterscheiden lassen sich indes durch eine einfache Überlegung gewinnen. Damit Q auf e durch Drehung um die Achse mit P1 auf g zur Deckung gebracht werden kann, muß M'Q1 = M'P1' und Q1'E1: Q1'E' = P1'G1 : P'G' sein. Es folgt das letztere daraus, daß die Spurlinien der Ebene zweier sich schneidenden Geraden in П1 und П parallel sind, so daß ähnliche Dreiecke entstehen. Schneiden sich nun EG1 und E'G' in S, so muß P'Q' durch S gehen, damit jene Proportion erfüllt sei. Ferner ist QP die Sehne eines Kreises mit dem Mittelpunkte M'; das von M auf sie gefällte Lot trifft sie in ihrem Mittelpunkte R1. Demnach erscheint R1 als Schnittpunkt eines Kreises mit dem Durchmesser M'S und einer Geraden s, die von e' und g' gleich weit entfernt ist. SR1 und SR2 treffen dann g' in den gesuchten Punkten P und P'.

1

1

3

1

3

=

1

3

Ganz in der gleichen Weise bestimmen sich die Schnittpunkte A1 und A, von g mit dem Asymptotenkegel. Man zeichne die Mantellinie i, deren Projektion ||g ist, und ihre Spurpunkte J, J (J11lé', J'E' e'), bestimme dann TJ,G1 × J'G', schlage über TM' als Durchmesser einen Kreis und ziehe die Gerade t in gleichem Abstande von i' und g'; Gerade und Kreis treffen sich in den Punkten C1 und C2, deren Verbindungslinien mit T auf g' die Projektionen 4' und A, der gesuchten Punkte ausschneiden.

2

1

Sehen wir nun g' als Affinitätsachse und E1, J1 als affine Punkte zweier affinen Systeme an (E11g'), so sind auch E', J und folglich S, T affin (ST1 g). Endlich sind auch die Mittelpunkte R, und C, der Sehnen R1R2 resp. C1C2 affin; denn aus der Affinität von e' und ' ergiebt sich die Affinität von s und t und außerdem ist RСg', da die Mittelpunkte N und O der beiden Hilfskreise auf einer Normalen zu g' liegen. Die affinen Geraden RS und CT treffen aber die Affinitätsachse g' in dem nämlichen Punkte P3, so daß P ̧P1 = PP, und zugleich P‚Æ‚' = P ̧Â' wird. Daraus folgt die Gleichheit von A'P' und A'P' und natürlich auch von AP1 und AP2, was sich in den Sätzen ausspricht: Die beiden Strecken auf einer beliebigen Geraden, die einerseits von dem Rotations hyperboloid, andererseits von seinem Asymptotenkegel begrenzt werden, sind einander gleich. Oder: Ro

32

2