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besitzen. Die Spuren JU, und JV dieser Ebenen schneiden u in den Punkten, in denen u。 von den gesuchten Kurven berührt wird, wenn U, und V die Spurpunkte der durch 4, resp. A, gezogenen Parallelen zu h2 sind. Zur Konstruktion lege man UVAA um ihre Spur um, so daß AU || AV || h2 wird („à ̧ = à ̧à ̧= der halben Kugelsehne, UAV || ho, А„Az 1 h).

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0

Ο

Benutzt man nun wiederum die Affinität, um von dem Kreise u und den Geraden JU und JV zur Ellipse u und den Geraden JU und JV zurückzukehren, so kann man die gesuchten Kurven konstruieren, da man von jeder ihre beiden Berührungspunkte mit u und den reellen Punkt A' kennt. Offenbar giebt es hier nur zwei reelle Lösungen, da man durch K keine reellen Geraden ziehen kann, die die Kugel in imaginären Punkten schneiden.

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703. Die Konstruktion in 701 bedarf auch noch der Ergänzung, wenn die Berührungspunkte von c' mit u konjugiert imaginär sind. Die beiden Kurven c' und u haben einen Pol und seine Polare gemeinsam und außerdem auf dieser die Involution harmonischer Pole. Ihre reellen oder imaginären Doppelpunkte sind die gemeinsamen Berührungspunkte beider Kurven, die zugehörigen Tangenten gehen durch den Pol des Trägers der Involution. Wir haben also die Aufgabe zu lösen: Durch einen Punkt A' einen Kegelschnitt c' zu legen, der mit einem anderen Kegelschnitte u einen Pol und seine Polare und auf der letzteren die Involution harmonischer Pole gemeinsam hat. Ist in Fig. 457 p die Polare, so suche man ihren Pol P in Bezug auf u und ein Paar harmonischer Pole auf p, etwa Q und R. Ein Kreis C19 dem auf p die gleiche Involution harmonischer Pole zugehört wie den Kurven u und c', kann als perspektiv mit c angesehen werden, wobei p die Achse der Perspektive ist. Jedem Punkte von p gehört

A K

A

PL

PA

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PN

R

Fig. 457.

CA

aber die nämliche Polare durch P in Bezug auf u und c' zu, so daß der Durchmesser PO von u zugleich Durchmesser von c' ist, er halbiert die zu p parallelen Sehnen. Der entsprechende Durchmesser des zu c' perspektiven Kreises c, steht in N=px PO auf

15

Р

ROHN u. PAPPERITZ. II.

senkrecht, sein Mittelpunkt M1 kann beliebig gewählt werden. Zieht man MR und QL MR, so muß QL die Polare von R in Bezug auf den Kreis c1 sein; demnach ist P1 = QL× M1N der Pol von p bezüglich c1 und der Radius von c1 ist VM,P1. M,N.

=

Α'.

Kennt man aber c1, so ergiebt sich das Centrum C der perspektiven Beziehung zwischen c ́ und c, einfach; es ist C=PP1× A'Ã ̧. Denn P und P1 sind entsprechende Punkte und ebenso A und 1⁄4 ̧, wenn 4 auf c1 liegt und A'P und ДP1 sich auf p schneiden. Sind D1, E, die Endpunkte des Durchmessers MP1, so liegen die Endpunkte D', E' des Durchmessers OP von c auf CD1 und CE1. Der zu D'E' konjugierte Durchmesser F'G' ist zu p parallel und entspricht der parallelen Sehne FK,G1 von c1, wenn K1 dem Mittelpunkte K' von c' entspricht (KK', F1F", G1G' gehen durch C'). Hiernach ist ein Paar konjugierter Durchmesser von c' gefunden.

1 1 1

704. b) Eine Ellipse u und drei Punkte A', B, C außerhalb sind gegeben, einen Kegelschnitt e durch die drei Punkte zu legen, der u zweimal berührt. Sind XX1 und YY,

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YY1 zwei konjugierte Durchmesser von u und ist u, der Kreis über dem Durchmesser XX1 (Fig. 458), so betrachte man wieder u und u als affin und suche zu A', B', C' die affinen Punkte 4, Bo, Co Ein Kegelschnitt durch Ao, Bo, Co, der u zweimal berührt, läßt sich als Projektion eines Kegelschnittes auf einem

Rotationshyperbo

loide mit dem Kehl

kreise uo ansehen; die Tangenten von u。 sind die Projektionen der Erzeugenden des Hyperboloides. Die Polare von 4, schneide u in D und E, die Polaren von B, resp. C mögen u。 in Fund G resp. H und N schneiden. Sind nun Ag, Ag; B2, B3; C2, C3 die Punktepaare auf dem Hyperboloide, deren Projektionen in A, B。,

Ο

03

3

3 2°

3.

Co respektive liegen, so liegt der Spurpunkt J von В auf den Geraden DG, EF und AB. Denn AD ist eine Erzeugende der einen Schar und BG eine solche der anderen Schar, beide liegen in einer Ebene, deren Spur DG ist; ebenso liegen AE und BF als Erzeugende aus verschiedenen Scharen in einer Ebene mit der Spur EF. J ist zugleich der Spurpunkt von AВ ̧. Analog ist K als gemeinsamer Schnittpunkt von DF, EG und à ̧Ð ̧ der Spurpunkt der Geraden 41⁄2Ð ̧ und à ̧Ð1⁄2. In gleicher Weise finden sich der Spurpunkt L1 = AC。 × DH × EN von AC und AC, sowie der Spurpunkt M AC × DNEH von A,C, und 4,C. Die Gerade JL ist die gemeinsame Spur der Ebenen A,B,C2 und BC; diese schneiden das Hyperboloid in Kurven, deren gemeinsame Projektion durch A, B und C geht und u in zwei Punkten S und 7 berührt, die auf JL liegen. Geht man von u wieder zurück zur affinen Kurve u und von Jo, Lo, So, To zu den affinen Punkten J, L, S, T, so sind S und T die beiden Berührungspunkte von e' und u.

C'

=

0

2

2 22

705. Ein Hyperbel u und drei Punkte A', B′, C'′ innerhalb sind gegeben, durch die drei Punkte soll ein Kegelschnitt c gelegt werden, der u zweimal berührt (Fig. 459). XX sei die reelle, YY, die imaginäre Achse von u, deren Asymptoten OE und OE1 wir zeichnen. Durch Rotation von u um XX1 entsteht ein zweischaliges Rotationshyperboloid; auf ihm liegen drei Punktepaare 4, A3, B2, B3 und C2, C3, deren Projektionen A', B' und sind. Um die Abstände der Punkte A2, 4 von der Projektionsebene zu finden, ziehen wir den Parallelkreis a durch A und legen ihn als a, in die Zeichenebene um. Ist DD, die senkrecht zu XX1 durch Agezogene Hyperbelsehne und F ihr Mittelpunkt, so ist FD der Radius von a。. Schneidet aber DD1 die Asymptoten in E und E1, so ist (FD)2 = (FE)2 — (OY)2. Teilen nämlich F und Q die Achse XX, harmonisch, so ist: (OX)2=OQ.OF und (EG) EN. EF, wenn die Parallelen zu OE durch Q und X die Sehne DD1 in N und G treffen (EG = OY). Ferner sind E und N harmonische Pole von u, denn die Polare von E geht durch Q und ist zu OE parallel; also ist: (FD)2= FN. FE. Durch Addition beider Gleichungen folgt unmittelbar die obige. Die Beweisführung ändert sich nicht für irgend zwei konjugierte Durchmesser einer Hyperbel. Wir haben demnach den Satz: Auf jeder Geraden werden zwei Strecken begrenzt, eine von den Asymptoten, eine von der Hyperbel; sie können als Hypotenuse und Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks verwendet

=

werden, dessen andere Kathete dann der zu der Geraden parallele Durchmesser ist. Ob die von den Asymptoten begrenzte

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3

2

2

Fig. 459.

3

Strecke oder die Hyperbelsehne als Hypotenuse in dem Dreieck auftritt, hängt davon ab, ob der parallele Durchmesser imaginär oder reell ist. Nachdem nun a und damit die umgelegten Punkte 1⁄2 und A gefunden sind ( ́Ã1⁄2 ¦ DD1), bestimmen wir in ganz ähnlicher Weise B2, B und C2, C3 (B2B3|| C2C3|| A4, || XX1). Der Spurpunkt J von A B2 ergiebt sich als Schnitt von A'B' und der Verbindungslinie der in gleicher Richtung umgelegten Punkte 1⁄2 und B2. Ebenso ist K der Spurpunkt der durch C2 parallel zu AB2 gezogenen Geraden, wenn C'K|| A'B' und C2K|| AB2 ist. Die Ebene A,B,C2 hat die Spur JK, sie schneidet das Hyperboloid in einer Hyperbel, deren Projektion durch A, B und C geht und u in den auf JK liegenden Punkten S und T berührt. Die Schnittpunkte S, T von u und JK bestimmen sich in bekannter Weise und ebenso der Pol P von p JK. Dann kann wieder die Konstruktion von 703 angewendet werden.

=

2 2

Wären die Punkte A', B', C' außerhalb der Hyperbel u gelegen, so wäre das durch Rotation von u um die Achse YY, entstehende einschalige Hyperboloid der Betrachtung zu Grunde zu legen; die Art der Konstruktion würde ganz dieselbe bleiben.

706. Von einem zweischaligen Hyperboloide, dessen Achsen den Projektionsebenen parallel sind, den Eigenschatten sowie den Schlagschatten auf sich selbst und die Horizontalebene zu zeichnen. Die reelle Achse XX, sei senkrecht zu П1, die imaginären Achsen YY und ZZ1 seien parallel resp. senkrecht zu П. Dann ist der scheinbare Umriß in П, Hyperbel u" mit den Achsen X"X" und "Y" (Fig. 460); in П,

1

eine

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giebt es dagegen keinen scheinbaren Umriß. Die Ebene П1 schneidet die Achse XX, in einem Punkte M, und das Hyperboloid in einer Ellipse a, deren Achsen 4B, und CD1 zu YY, resp. ZZ, parallel und proportional sind. Haben die Asymptoten von u in П, die Spurpunkte U1 und 1, so ist nach der vorigen Nummer: (M11)2 · (M1 U1)2 — (OY)2. Das Hyperboloid mag begrenzt werden durch die Ellipse a und eine dazu parallele und kongruente Ellipse a,,

=

=

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