ebene von D hat in die Spur JK (D'K' ĦO'J'1, J', J' teilen A'Á und K', K' teilen B'B' harmonisch) und in A die Spur KG || CC1; die Polarebene von E hat in A die Spur LM (E'L'‡Ơ'M', L', L' teilen BB, harmonisch, (O'C')2= O'M' O'M) und in die Spur LH || AA1. Die Schnittlinie GH beider Ebenen ist demnach die harmonische oder konjugierte Polare zu DE (G′ L'M' × K'G', H' = J'K' × L'H'), sie trägt also die Berührungspunkte der beiden

=

K

R'

E'

Tangentialebenen durch die Gerade DE. Umgekehrt trägt DE die Berührungspunkte der beiden Tangentialebenen durch GH. Um die Berührungspunkte X und Y der gesuchten Tangentialebenen oder, was dasselbe ist, die Schnittpunkte von GH mit der Fläche zu finden bedenken wir erstens, daß die Ebene DEO die Sehne XY halbiert. Der Mittelpunkt N von XY liegt also auf der Schnittlinie der Ebenen DEO und HKG, deren Spurpunkte in A und г resp. S und T sind (S' = E'O' × K'G', T'= D'O′ × K'H', N'= S'T′′ × G'H'). Zweitens bemerken wir, daß die Polarebene von H die Ebene DEL1 ist, daß also H und Q-DEL1× HG harmonische Pole unserer Fläche sind (H'K'× D'L''=P', P'Q' C'C'). Daraus folgt die Relation: (N'X')2 (N'Y')2 N'H'. N'Q', die uns die Punkte X' und ' liefert.

=

=

=

Analog kann man die Schnittpunkte Z, W von DE mit dem Hyperboloide finden, die zugleich die Berührungspunkte der Tangentialebenen durch GH sind. Der Mittelpunkt F von ZW liegt auf der Geraden NO, D und R = DE x PQ sind harmonische Pole der Fläche, da die Polarebene von D durch JK geht und zu CC1

parallel ist, also PQR enthält. Die Relation: (F'Z')2 = (F′′W')2 =F'R'. F'D' ergiebt die gesuchten Punkte.

=

0

700. Von einer Fläche 2. Grades sind der scheinbare Umriß und drei ihrer Punkte durch eine Projektion, etwa A, B, C, gegeben, man soll die Projektion e' des Kegelschnittes c zeichnen, der auf der Fläche liegt und durch die drei gegebenen Punkte geht. Zunächst ist zu zeigen, daß die Aufgabe nach Wahl von u', A' B', C' völlig bestimmt ist. Wir ziehen zu diesem Zwecke die zur Projektionsrichtung parallelen Sehnen 1, BB1, CC1, die durch die Umrißebene in A, B, C, halbiert werden. Dann liegen die Schnittpunkte J = AB × A1B1, K1 = AB1 × A1B, Lo BC × B11, M = BC1 × B1C, P。 = CA × C11, Qo = CA1 × C1 A in der Umrißebene; sie bilden die drei paar Gegenecken eines Vierseites, dessen Diagonalen AB, BC, und C4 sind. Jo, Ko sind einerseits harmonische Pole der Fläche und also auch von u, andererseits liegen sie zu A, Bo harmonisch; sie können also konstruiert werden, sobald man u, A und B kennt. Ebenso kann man Lo, Mo sowie Po, o zeichnen, wenn u, A, B und Co bekannt sind. Die Ebene ABC schneidet die Umrißebene in JLP.; die Kurve c durch A, B und C geht demnach durch die Schnittpunkte S und T von u mit der Geraden JLP. Projiziert man e in der ursprünglichen Projektionsrichtung auf die Umrißebene, so geht diese Projektion durch A, B, C, und berührt u in S und T. Projiziert man sie in der gleichen Richtung auf die Projektionsebene, so erhält man die Kurve c', die durch A', B'C' geht und u' in zwei Punkten S′ und T′′ berührt. Die Gerade S'T" geht durch die Punkte J', I', P' und zwar liegen J, K' harmonisch zu 4', B' und '; ebenso liegen L', M' harmonisch zu B', C' und u' und P', Q' liegen harmonisch zu C', A' und u. Dadurch sind aber diese Punkte völlig bestimmt und damit auch S', T" und c'.

0

A, B, C sind aber die Projektionen je zweier Flächenpunkte A, A, resp. B, B1, resp. C, C1, so daß man im Ganzen auf der Fläche acht Kurven erhält, die je einen der Punkte  und B, B1 und C, C1 enthalten. Je zwei dieser Kurven, z. B. die Kurven durch ABC resp. B1C1, haben die gleiche Projektion. Es giebt deshalb im Ganzen vier Kurven durch A, B, C', welche u' je zweimal berühren; die Berührungspunkte von u mit diesen Kurven liegen respektive auf den Geraden: JLP', J'M'Q, L'K'Q, P'K'M'.

1

Unsere Aufgabe deckt sich demnach mit der folgenden: Einen Kegelschnitt zu zeichnen, der durch drei gegebene Punkte geht und einen gegebenen Kegelschnitt zweimal berührt.

Wir wollen dieselbe in der Weise lösen, daß wir uns der Fläche 2. Grades bedienen; die Lösung selbst ist durch das Vorangehende schon im wesentlichen skizziert. Es mag noch bemerkt werden, daß eine reelle Lösung nur möglich ist, wenn die gegebenen drei Punkte alle zugleich innerhalb, oder zugleich außerhalb des gegebenen Kegelschnittes liegen. Denn von zwei sich zweimal berührenden Kegelschnitten, mögen die Berührungspunkte reell oder imaginär sein, liegt der eine ganz innerhalb des andern. Die Lösung wird sich verschieden gestalten je nach der Art der gegebenen Kurve und der Lage der gegebenen Punkte ob innerhalb oder außerhalb da sich hierdurch die Art der in Betracht zu ziehenden Fläche ändert. Wir wollen uns hier einige Fälle näher ansehen. 701. a) Eine Ellipse u und drei Punkte A, B, C′ im Innern derselben sind gegeben, einen Kegelschnitt e' durch A', B', C' zu zeichnen, der u' zweimal berührt.

Von der Ellipse u mögen zwei konjugierte Durchmesser XX und bekannt sein (Fig. 455), dann mache man etwa XX1 zur Affinitätsachse und beschreibe über XX, als Durchmesser den zu u

affinen Kreis u und suche zu A', B', C′ die affinen Punkte 。, B。, Co. Eine Ellipse, durch A, B, C, die den Kreis u, zweimal berührt, kann als orthogonale Projektion eines Kreises aufgefaßt werden, der auf einer Kugel mit u als größtem Kreise liegt. Sind A2, B2 die senkrecht über 4, resp. B. liegenden Punkte der Kugel und A ̧, Bз die dazu symmetrischen (42A。 AA, B2Bo BB), so liegen

0

=

auf AB zwei Punkte J und K, in denen ‚‚ und Аà ̧ resp. АВ und В ̧ schneiden.

2

3

3 2

3

3

0

=

sich die Sehnen Um sie zu zeichnen

ist die Ebene durch Д4, und BВ um Д В umgelegt; die umgelegten Punkte sind ebenso wie die Raumpunkte bezeichnet, sie liegen auf dem Kreise mit dem Durchmesser DE, wo DE die durch A und B gehende Sehne von u。 ist. Ganz analog findet man auf AC zwei Punkte L。 und Mo, in denen sich die Kugelsehnen AC22 und С resp. AС und AС2 schneiden.

3

2

2

3

Die Ebene ABC2 schneidet die Ebene von u。 in JL, der Kugelkreis durch A2, B2, C2 trifft u。 in seinen beiden Schnittpunkten mit JL; seine Projektion geht durch A, B, C und berührt u in den genannten Punkten (sie sind in der Figur imaginär). Der Kugelkreis durch A, B, C2 trifft u in S。 und To, den Schnittpunkten von u mit KM; seine Projektion geht wieder durch A。, Bo, Co und berührt u in S und T. Bestimmt man zu S。 und T auf u die affinen Punkte S und T auf u', so giebt es eine Kurve c' durch A', B', C', die u' in S und T berührt; hieraus kann man beliebig viele Punkte von c' zeichnen. Es giebt vier Kurven durch A, B', C', die u zweimal berühren; ihre Berührungspunkte liegen auf JL, KM, JM, KL respektive.

702. Die voranstehende Behandlung des Problems bedarf noch nach zwei Richtungen hin einer Ergänzung. Zunächst können zwei der gegebenen Punkte konjugiert imaginär sein; es ist dann eine. Ellipse zu zeichnen, die durch einen reellen und zwei konjugiert imaginäre Punkte geht und die Ellipse u zweimal berührt. Genau wie vorher geht man wieder von der Ellipse zum affinen Kreise über und führt die Konstruktion für diesen aus (Fig. 456). Es sei u。 der Kreis, 4 der reelle Punkt; die imaginären Punkte mögen auf der Geraden h liegen und als Doppelpunkte einer Involution definiert sein, der die Punktepaare Do, E。 und Fo, Go angehören. Es gilt nun nach 354 die beiden Punkte J und K。 zu finden, die einerseits ein Punktepaar der Involution andererseits ein Paar harmonischer Pole von u。 bilden. Zu diesem Zwecke wähle man Q auf u so, daß QOh, ist; die Verbindungslinien von Q mit Do, E, F, Go schneiden dann u in

den Punktepaaren D1, E1 und F1, G1 einer Involution, deren CenF,G, liegt. Die Verbindungslinie von N mit

=

trum in N D, E,

nischer Pole in Bezug auf die Kugel durch u。 als größten Kreis so beschaffen ist, daß ihre Projektion sich mit der Involution auf ho deckt. Um h zu zeichnen lege man die senkrechte Ebene hoh2 um ho in die Zeichenebene um (die umgelegte Gerade ist wieder mit h2 bezeichnet). Die Polarebene von J, geht durch K, und ist normal zur Zeichenebene, sie enthält den Punkt K2 von h2, wenn KK h ist; J und K2 sind aber harmonische Pole der Kugel. Dem unendlich fernen Punkt von h2 gehört als Polarebene eine zu ha senkrechte Ebene durch den Kugelmittelpunkt O zu. Ist OP das Lot von 0 auf h。 und PM2 das Lot von P auf h2, so ist M2 harmonischer Pol zu dem unendlich fernen Punkte von h2, d. h. Mittelpunkt der Involution harmonischer Pole auf h. Seine Projektion M, muß deshalb Mittelpunkt der Involution auf h sein, d. h. auf QN liegen; denn die Tangente in Q ist zu ho parallel und schneidet h。 in demjenigen Punkte, der in der Involution dem Punkte M entspricht. Somit läßt sich M, als Schnittpunkt von MM, 1 h, mit dem Halbkreise über PJ konstruieren. Die Gerade JM, h, trägt nach der Konstruktion zwei Paare harmonischer Pole, deren Projektionen zwei Punktepaare der Involution auf h, bilden, demnach projiziert sich jedes Paar harmonischer Pole von h2 als ein Punktepaar der Involution auf h. Die Gerade h, hat also mit der Kugel zwei imaginäre Punkte gemein, die sich als die imaginären Doppelpunkte der auf ho gegebenen Involution projizieren.

2

=

Jeder der beiden Punkte A, und A, der Kugel, deren Projektion A ist, bestimmt mit h, eine Ebene; diese schneiden die Kugel in zwei Kurven, deren Projektionen die verlangten Eigenschaften