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gegen sind die Schnittpunkte von und m, die auf a liegen, imaginär; je zwei Punkte von a, die für harmonische Pole sind,

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der Projektion berühren demnach die Tangenten von K'an k' diese Kurve in denselben Punkten wie den scheinbaren Umriß u'. Die Kurvenu und k tangieren sich somit in zwei Punkten D' und E', die aus k' von der Polaren des Punktes K' ausgeschnitten werden. Analog verhält es sich mit den Berührungspunkten von u' und ', sowie von u' und m'.

Es gilt also nur die Punkte K', L', M' zu finden. Da nun K der Pol der Ebene durch k und M der Pol der Ebene durch m ist, so ist KM die konjugierte Polare von b in Bezug auf unsere Fläche. Auf KM liegen deshalb auch die Pole von b in Bezug auf jeden Schnitt der Fläche, dessen Ebene durch b geht; insbesondere liegen auf KM die Punkte P und Q als Pole von b in Bezug auf m resp. k. Ebenso geht die konjugierte Polare KL von e durch die Pole R und T

von c in Bezug auf 7 resp. k, und in gleicher Weise enthält LM die Pole U und von a bezüglich resp. m. Die drei Geraden PQ, RT, U'V' schneiden sich in den gesuchten Punkten K', L' und M', auf deren Polaren in Bezug auf k', l, m' respektive die Berührungspunkte von umit diesen Kurven liegen. Teilen P'Q' und Y' die Sehne B'B' harmonisch, wird ferner die Sehne CC durch R'T' und Z' harmonisch geteilt, sind endlich U'V' a' und X' auf a' harmonische Pole von und folglich auch von m', so trägt Y'Z die Berührungspunkte D', E von k' und '; ebenso liegen die Berührungspunkte von u' und ', resp. u' und m' auf X'Z' resp. X'Y'. Der wahre Umriß u liegt in der Ebene XYZ.

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Auch die Eigenschattengrenze ist hier leicht zu finden, falls man den Schatten S von S auf die Ebene des Umrisses u kennt. Legt man durch P eine Parallele zu b, so trifft sie die Umrißebene in O (PO || b, XYX PO=0), denn P liegt in der Ebene der Kurve m. Der Schatten P. von P auf die Umrißebene erscheint als Schnitt der Geraden PP (|| SS) und OP (|| YS); der Schatten P* von P auf die Ebene der Kurve k liegt auf dem Schatten der Geraden PO auf diese Ebene, d. h. auf einer Parallelen zu PO durch F= YZ × OP (in der Figur ist zur Vereinfachung P, P*, S geschrieben, obgleich die Projektionen dieser Punkte gemeint sind). Da Q in der Ebene von k liegt, so ist QP* der Schatten von QP auf diese Ebene und also K* der Schatten von K auf dieselbe. K ist aber der Scheitel des Tangentialkegels mit der Berührungskurve k; die Polare von K* in Bezug auf k schneidet diese Kurve in zwei Punkten H und J, die der Eigenschattenkurve des Kegels und somit auch der der Fläche 2. Grades angehören. Ebenso kann man auf und m die Punkte der Eigenschattenkurve bestimmen.

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690. Es sollen von einer Fläche 2. Grades drei konjugierte Durchmesser bestimmt werden, wenn man von drei Kegelschnitten auf ihr die eine Projektion kennt. Ganz wie vorher seien k', l', m' diese Projektionen, A12 die Schnittpunkte von und m, B1B2 die von k und m, C1 und C2 die von k und 1, ferner seien S der gemeinsame Punkt der Sehnen 4,42, B ̧Â1⁄2, C1C2 und A, B, C ihre Mittelpunkte, endlich seien K, L, M die Mittelpunkte der Kurven k, l, m (Fig. 445). Durch B, ziehe man nun die Sehne BD von m parallel zu 12, und die Sehne BE von k parallel zu C1C2; beide bestimmen eine zu der Ebene von l parallele Ebene, die aus der Fläche eine zu 7 ähnliche und ähnlich gelegene Kurve n ausschneidet. Der Mittelpunkt N von n liegt auf einer Geraden, die man durch B, DX MA zu LA parallel zieht,

und auf einer Geraden durch B1E × KC, die zu LC parallel ist. Denn in Bezug auf die Kurve n ist der Sehne BD ein zu AL paralleler Durchmesser konjugiert,

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B

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Ebene dieser Sehnen

unsere Fläche in

einer Kurve i mit dem Mittelpunkte J. Dem Vorausgehenden analog schließt man, daß J auf einer Parallelen zu MA durch CF LA × und auf einer Parallelen zu MB durch C1G × KB liegt, da i zu m ähnlich und in ähnlicher Lage ist.

Die Mittelpunkte L und N der Parallelschnitte und n liegen auf einem Durchmesser unserer Fläche, ebenso die Mittelpunkte M und J der Parallelschnitte m und i, so daß 0= LNX MJ der Mittelpunkt der Fläche wird. Zum Flächendurchmesser LO ist die zur Kurve / parallele Diametralebene konjugiert; zieht man also OX|| 41 42 und OY || LA, so sind OX, OY, OZ (wo Z ein Punkt auf OL ist), drei konjugierte Durchmesser unserer Fläche, und es sind noch ihre Endpunkte X, Y, Z aufzusuchen. In der Ebene OYZ liegen auch die Geraden AL und AM, erstere schneidet 7, letztere schneidet m in zwei Punkten, die dem Kegelschnitte mit den konjugierten Durchmessern OY und OZ angehören. Da aber die Richtungen dieser Durchmesser bekannt sind, so genügen schon zwei Punkte des Kegelschnittes um ihre Längen zu zeichnen. Sind nämlich P und Q zwei solche Punkte, so ziehe man QQ1 || OZ und wähle Q, derart, daß QQ, von Or halbiert wird, dann schneiden PQ und PQ, den Durchmesser OY in konjugierten Punkten R und R1, und es ergiebt sich seine Länge aus (OY)2= OR.OR1. Ähnlich ergiebt sich die Länge

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OZ, während sich OY und OZ zu einander verhalten, wie die zu OY und OZ parallelen Durchmesser von 7.

691. Von einem Ellipsoide seien drei konjugierte Durchmesser durch ihre Projektionen auf eine Ebene gegeben, es soll sein scheinbarer Umriß in dieser Ebene gezeichnet werden. Ist O die orthogonale oder schiefe Projektion des Mittelpunktes und sind O'X', O'Y', O'Z' die entsprechenden Projektionen der konjugierten Halbmesser unseres Ellipsoides (Fig. 446), so ge

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0

hört die Ellipse i mit den Halbmessern OX und OY der

Fläche an. Die Tangential

ebenen in den Punkten dieser Kurve sind dem Durchmesser umhüllen OZ parallel, sie

einen Cylinder, der die Fläche längs der Kurve i berührt. Der scheinbare Umriß dieses Cylinders wird von den beiden Tangenten von " gebildet, die zu O'Z' parallel laufen; ihre Berührungspunkte A', B' liegen auf dem zu 07 konjugierten Durchmesser von i'. Man findet diese Punkte und B',

0

indem man Y'O, senkrecht zu O'X′ zieht und gleich O'X' macht, dann ist der Kreis i mit dem Mittelpunkt 0, und dem Radius 0,Y zu affin, die gemeinsame Tangente t von und 2, ist die Affinitätsaxe. Ist nun J= tx O'Z' und ist KO, JO, (K auf t), so ist 'O' der zu O'Z konjugierte Durchmesser, wenn A'O' durch K geht und AA' || 00' ist (4=ОK × i̟). Die Punkte A' und B' gehören aber auch dem scheinbaren Umriß u der Fläche an, denn in den Punkten A und B haben Ellipsoid und Cylinder eine gemeinsame zur Projektionsrichtung parallele Tangentialebene; u' und berühren sich in Ẩund B', die gemeinsamen Tangenten sind zu O'Z parallel. In gleicher Weise kann man die Berührungspunkte von u' mit den beiden Ellipsen bestimmen, für die O'X' und O'Z′ resp. O'Y' und O'Z konjugierte Halbmesser sind. Damit sind dann sechs Punkte des Umrisses u bekannt, der sich daraus zeichnen läßt.

Die Konstruktion wird einfacher, wenn man zu dem Durchmesser A'B' von u direkt den konjugierten Durchmesser C'D' aufsucht, der mit O'Z' zusammenfällt. Der konjugierte Durchmesser

zu AB bezüglich der Schnittkurve i ist EF (Ei, X JO。, E'E || O'0%), OA, OE und OZ sind drei konjugierte Halbmesser des Ellipsoides. OE und OZ sind konjugierte Halbmesser einer Schnittellipse k, die sich als gerade Linie projiziert, da O'E' und O'Z' sich decken. Projiziert sich aber eine Ellipse als Stück einer Geraden, und sind O'E' und O'Z die Projektionen zweier konjugierter Halbmesser, so bestimmen sich die End- oder Umrißpunkte C, D der Projektion aus: (CC)=(CD) = (O E)? +(OZ), oder mit anderen Worten: O'C' = O'D' ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten O'E' und O'Z' (Z'G = O′E', Z'GLOE, OG = O'D').

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D

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Zig

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Mo

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M

Den soeben erwähnten Satz beweisen wir in der folgenden Form. In Fig. 447 seien OZ und OF konjugierte Halbmesser einer Ellipse k, a sei eine beliebige Gerade in der Ebene der Ellipse und 00' die Richtung, in der wir k auf a projicieren. Der zur Projektionsrichtung parallele Halbmesser von k sei OM, der dazu konjugierte Durchmesser CD. Projizieren wir nun die Punkte Z und F zunächst in der Richtung 00′ auf CD nach Z und F1, so ist: (OC)2 = (OD)2 =(OZ1)2+(OF)2. Denn der Kreis k mit dem Durchmesser CD ist zu k affin, sein Radius OM, (1 CD) ist affin zu OM; ebenso sind ZZ1 und FF, affin zu ZZ1 und FF1, wenn Z und F。 auf k。 liegen, die Radien FO, ZO aufeinander senkrecht stehen, und Z。Z1 || FF1 1 CD ist. Daraus folgt aber die Kongruenz der Dreiecke ÓZZ, und FOF und aus: (OC)2= (OZ)2=(OZ1)2+(Z1Z)2 die obige Relation. Projiziert man die Punkte C, D, Z, F, in der Richtung 00' weiter auf a nach C', D', Z', F", so gilt die Relation auch für diese Projektionen und damit ist der obige Satz bewiesen.

D'

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Z

α

FC

Fig. 447.

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692. Wollen wir die gleiche Aufgabe wie für das Ellipsoid für das einschalige und zweischalige Hyperboloid lösen, so ist es vorteilhaft, die folgenden Betrachtungen über koncentrische, ähnliche Kegelschnitte vorauszuschicken. Fassen wir eine Involution ins Auge, sie ist durch ihren Mittelpunkt O und ein Punktepaar P, P, bestimmt; für jedes weitere Punktepaar Q, Q1 gilt: OQ OQ1 = OP.OP1. Dieses Produkt wollen wir die Potenz der Involution nennen, die positiv oder negativ sein kann, je nachdem die Punkte eines Paares auf der gleichen oder auf verschiedenen

ROHN u. PAPPERITZ. II.

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