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reellen, die andere in zwei imaginären Punkten, da man beim kontinuierlichen Übergang von einer zur andern die Grenzlage passieren muß, in der die Gerade die Kurve tangiert. Auf zwei der genannten vier Streifen, die nicht aneinander grenzen, liegen demnach zwei geschlossene Kurvenzüge, während die beiden andern Streifen keine Punkte der Grundkurve enthalten. Die vier Kegelflächen teilen alle Flächen des Büschels in vier Klassen ein, indem man je zwei Flächen zu der nämlichen Klasse rechnet, wenn man von einer kontinuierlich – d. h. stets von einer Fläche des Büschels zur Nachbarfläche fortschreitend – zur andern gelangen kann, ohne eine Kegelfläche zu passieren. Von diesen vier Klassen bestehen zwei aus Regelflächen. Die Regelflächen der einen Klasse haben lauter Erzeugende, die jeden der beiden Kurvenzüge der Grundkurve je einmal treffen; sie enthalten keine Kurventangenten, da die beiden auf einer Erzeugenden liegenden Punkte nicht zusammenfallen können; jede Erzeugende einer solchen Regelfläche trägt zwei reelle Punkte der Grundkurve. In gleicher Weise haben die Mantellinien zweier Kegelflächen mit jedem Kurvenzug einen Punkt gemein. Die Regelflächen der andern Klasse enthalten je acht Tangenten der Grundkurve; ihre Erzeugenden treffen diese teilweise in zwei konjugiert imaginären, teilweise in zwei reellen Punkten, die beide auf dem nämlichen Kurvenzuge liegen. In gleicher Weise enthalten die beiden andern Kegelflächen je vier die Grundkurve tangierende Mantellinien; jede Mantellinie trifft einen Kurvenzug zweimal oder gar nicht. Zweitens: Der Büschel von Flächen 2. Grades enthält nur zwei reelle Kegelflächen mit den Scheiteln J und K. Hier enthält der Büschel nur zwei Klassen von Flächen, von denen die eine aus Regelflächen besteht. Jede solche Regelfläche enthält vier reelle Kurventangenten, in jeder Schar zwei; denn hier giebt es zu jedem Kurvenpunkte nur drei weitere reelle, die mit ihm eine Gruppe bilden. Von den sechs Geraden, welche die Punkte einer Gruppe paarweise verbinden, gehen nämlich zwei durch J, zwei durch K, und zwei treffen JK und die Schnittlinie der Polarebenen von J und K. Da jede Regelfläche des Büschels nur je zwei Tangenten in jeder Schar aufweist, so besteht die Grundkurve aus einem einzigen geschlossenen Kurven zuge. Drittens: Der Büschel von Flächen 2. Grades enthält keine reellen Kegelflächen; er enthält deshalb nur Regelflächen. Keine Tangente der Grundkurve wird von einer anderen getroffen, da es keinen reellen Kegelscheitel giebt. Alle Regelflächen des Büschels sind demnach so beschaffen, daß die Erzeugenden der einen Schar keine reellen Kurventangenten enthalten, also alle die Grundkurve in zwei reellen Punkten treffen, daß dagegen die Erzeugenden der andern Schar vier reelle Kurventangenten aufweisen. Die Verbindungslinien ihrer Berührungspunkte treffen paarweise die Gegenkanten des Polartetraëders, von denen ein Paar reell, die beiden andern Paare konjugiert imaginär sind. Jede Ebene durch eine Tangente der Grundkurve schneidet sie noch in zwei reellen Punkten. Gäbe es nämlich durch die Tangente eine Ebene, die weiter keine reellen Punkte mit der Kurve gemein hätte, so würde man die Ebene durch Drehung um die Tangente in eine neue Lage bringen können, in der sie die Kurve in reellen Punkten schnitte, zwischen der Anfangs- und Endlage müßte es sonach eine Lage geben, in der die Ebene die Kurve in einem weitern Punkte berührte; in dieser Ebene lägen dann zwei sich schneidende Kurventangenten, was ja ausgeschlossen ist. Jede Ebene schneidet die Grundkurve in mindestens zwei reellen Punkten. Denn eine Ebene, welche die Kurve überhaupt nicht in reellen Punkten schnitte, würde durch Drehung um eine ihrer Geraden in eine Lage gebracht werden können, in der sie die Kurve berührt, aber nicht schneidet; das ist aber nach dem Voranstehenden unmöglich. Die Grundkurve besteht aus einem einzigen Kurvenzuge, der mindestens in zwei Richtungen ins Unendliche verläuft. 686. Durch jeden Raum punkt gehen zwei Doppelsekanten der Raumkurve 4. Ordnung. Jedem Raumpunkt ist nämlich eine Gerade in Bezug auf alle Flächen des Büschels konjugiert; Punkt und Gerade sind Pol und Polare für alle Kegelschnitte des Büschels, der von ihrer Ebene aus dem Flächenbüschel ausgeschnitten wird. Die Grundpunkte des Kegelschnittbüschels liegen somit paarweise auf zwei Geraden durch jenen Raumpunkt. Nach 373 u. flg. können hier die folgenden Möglichkeiten eintreten, indem wir zwischen eigentlichen, isolierten und imaginären Doppelsekanten unterscheiden, je nachdem sie die Kurve in reellen Punkten treffen, oder in konjugiert imaginären und selbst reell sind, oder in imaginären und selbst konjugiert imaginär werden. Entweder sind beide Doppelsekanten eigentlich, oder beide isoliert, oder es ist eine eigentlich und eine isoliert, oder es sind beide konjugiert imaginär. In den Büscheln mit vier oder mit zwei reellen Kegelflächen treten alle vier Möglichkeiten auf, in den Büscheln ohne reelle Kegelflächen dagegen sind entweder beide Doppelsekanten eigentlich, oder eine ist eigentlich und eine isoliert. Die Konstruktion der Doppelsekanten ist nach dem Gesagten selbstverständlich. 687. Soll eine Raumkurve 4. Ordnung durch acht beliebige Punkte konstruiert werden, so kann man dabei in ähnlicher Weise vorgehen, wie bei der Konstruktion der Fläche 2. Grades durch neun Punkte in 676. Legt man durch die drei Gruppen von je drei Punkten 1, 2, 3 resp. 4, 5, 6, resp. 4, 7, 8 drei Ebenen A, B und T, so giebt es in jeder dieser Ebenen noch einen weiteren Punkt der Raumkurve, der sich in folgender Weise bestimmen läßt. Nach 676 existiert ein Punkt O, von der Beschaffenheit, daß eine beliebige Ebene durch ihn die Ebenen A und B in Geraden schneidet, die als Polaren von S zwei entsprechenden Kegelschnitten angehören. Dabei sind als entsprechend je zwei Kegelschnitte durch die Gruppen 1, 2, 3 resp. 4, 5, 6 mit zwei gemeinsamen Punkten anzusehen, und S ist der Schnittpunkt der Ebenen A, B, T. Ganz ebenso giebt es einen Punkt O, so daß jede Ebene durch ihn die Ebenen A und T in Geraden schneidet, die als Polaren von S. zwei entsprechenden Kegelschnitten durch 1, 2, 3 resp. 4, 7, 8 angehören. Eine beliebige Ebene durch O,0, schneidet die Ebenen A, B und IT in drei Geraden, die als Polaren von S drei Kegelschnitten durch die Gruppen 1, 2, 3 resp. 4, 5, 6 resp. 4, 7, 8 zugehören. Der erste Kegelschnitt trifft nach dem soeben Gesagten jeden der beiden andern in zwei Punkten; aber auch diese beiden Kegelschnitte haben zwei Punkte gemein, nämlich den Punkt 4 und einen weiteren Punkt, beide werden durch S und die genannte Ebene durch O„O, harmonisch getrennt. Die drei Kegelschnitte liegen auf einer Fläche 2. Grades durch die acht gegebenen Punkte, für welche die Ebene durch O„O, die Polarebene von Sist. Läßt man diese Ebene sich ändern, wobei sie einen Büschel beschreibt, so ändert sich die zugehörige Fläche 2. Grades, wobei der Flächenbüschel durch die acht gegebenen Punkte entsteht, und dieser schneidet jede der Ebenen A, B und IT in einem Kegelschnittbüschel. Trifft nun 0,0 diese Ebenen in den Punkten A, B und C respektive, so sind S und A konjugierte Punkte für den Büschel in A, und analog sind S und B, resp. S und C konjugierte Punkte für die Büschel in B und T. Es gilt nun den vierten Grundpunkt des Büschels in A zu zeichnen, für den 1, 2, 3 Grundpunkte und S, A konjugierte Punkte sind. Ist P. dieser vierte Grundpunkt, so werden nach 376 die konjugierten Punkte S, A durch die Geraden 12 und P3 harmonisch getrennt; ebenso trennen 13 und P2, sowie 23 und P1 die Punkte S, A harmonisch. Schneidet man also die Gerade SA mit 1:2 und sucht zu diesem Schnittpunkt in Bezug auf S, A den vierten harmonischen Punkt, so geht die Gerade, die ihn mit 3 verbindet, durch den gesuchten Punkt P. Ganz ebenso bestimmt man zu S, A und SA! X 13 den vierten harmonischen Punkt und verbindet ihn mit 2; dann geht auch diese Linie durch P. In gleicher Weise erhält man in den Ebenen B und T. die Punkte Q und R; es sind dié vierten Durchstoßpunkte der Raumkurve 4. Ordnung mit diesen Ebenen. Durch andere Gruppierung kann man in jeder Ebene durch drei bereits bekannte Kurvenpunkte den vierten finden und somit beliebig viele Punkte der Kurve zeichnen.

Die Raumkurve 4. Ordnung kann auch als Durchdringungskurve zweier Hyperboloide bestimmt werden. Dabei hat man die Erzeugenden einer Schar der einen Fläche mit der anderen Fläche zu schneiden und erhält so Punktepaare der Kurve. Die Schnittpunkte eines Hyperboloides mit einer Geraden lassen sich aber in folgender Weise finden. Man wähle zwei projektive Ebenenbüschel, deren entsprechende Ebenen sich in den Erzeugenden der einen Schar des Hyperboloides schneiden, diese bestimmen auf der Geraden zwei projektive Punktreihen; ihre sich selbst entsprechenden Punkte (vergl. 320) sind die gesuchten Punkte.

Legt man in einem Punkte Po der Kurve die Tangentialebenen an die beiden Hyperboloide, so schneiden sie sich in der Kurventangente t von P. Konstruiert man das Hyperboloid des Büschels mit der Erzeugenden t, so ist seine Tangentialebene in Po zugleich die Schmiegungsebene der Raumkurve. Denn diese Ebene enthält außer t noch eine weitere Erzeugende durch P; auf ihr liegt noch ein weiterer Punkt der Kurve, so daß die drei übrigen Schnittpunkte von Ebene und Kurve in P zusammenfallen.

688. Alle Flächen 2. Grades durch sieben feste Punkte schneiden sich noch in dem nämlichen achten Punkte; derselbe soll bestimmt werden. Durch sieben Punkte giebt es offenbar noch doppelt unendlich viele Flächen 2. Grades, denn um eine dieser Flächen zu konstruieren, muß man noch zwei von ihren Punkten annehmen. Fügt man den sieben festen Punkten noch einen beliebigen achten hinzu, so geht durch sie eine Raumkurve 4. Ordnung; sie bildet die Grundkurve eines Büschels von Flächen 2. Grades. Eine weitere Fläche 2. Grades durch die sieben festen Punkte, die diesem Büschel nicht angehört, schneidet die Raumkurve 4. Ordnung noch in einem achten Punkte. Denn jede geschlossene Kurve wird von einer Fläche 2. Grades in einer geraden Anzahl von Punkten geschnitten; die Zahl dieser Schnittpunkte kann aber hier nur acht sein. Sie ist nämlich in den speziellen Fällen, in denen die Raumkurve 4. Ordnung in zwei Kegelschnitte, oder in eine Gerade und eine Raumkurve 3. Ordnung zerfällt, gleich acht, und unter den Kurven 4. Ordnung durch die sieben gegebenen Punkte giebt es auch solche, die in eine Gerade durch zwei von ihnen und eine Kurve 3. Ordnung durch die fünf übrigen zerfallen. Sind nun d, CO, CO, drei Flächen 2. Grades durch die sieben gegebenen Punkte, so haben sie nach dem soeben Gesagten noch einen achten Punkt gemein; jede Fläche durch sieben dieser Punkte enthält auch den achten, und man bezeichnet die Gesamtheit dieser Flächen als Flächenbündel und die acht gemeinsamen Punkte als seine Grundpunkte. Schneiden sich nämlich jene drei Flächen in den Punkten 1, 2, 3, ..., 8, so muß die Fläche W durch 1, 2, ..., 7 und zwei beliebige Punkte Po und Q ebenfalls durch den Punkt 8 gehen. Denn CD, CD, bestimmen einen Flächenbüschel, ihm gehört eine Fläche durch Po an, ebenso giebt es in dem durch CD, und d, bestimmten Büschel eine Fläche durch P; die beiden soeben gefundenen Flächen durch Po bestimmen wiederum einen Flächenbüschel, der natürlich eine Fläche durch Q enthält, das ist aber die Fläche ''. Diese Fläche geht, wie alle Flächen des zugehörigen Büschels, auch durch den Punkt 8. Natürlich können die acht gemeinsamen Punkte dreier Flächen 2. Grades auch paarweise imaginär werden, was man am besten erkennt, wenn man von dem Falle mit acht reellen Schnittpunkten ausgeht und dann eine Fläche kontinuierlich sich ändern läßt. Schneiden sich zwei der drei Flächen in einer reellen Raumkurve 4. Ordnung und wird diese von der dritten in acht reellen Punkten getroffen, so kann man durch kontinuierliche Änderung der dritten Fläche zwei dieser Schnittpunkte zusammenfallen und dann konjugiert imaginär werden lassen. Das Gleiche kann man mit einem zweiten, dritten und vierten Paare dieser Punkte thun. Um zu sieben gegebenen Punkten den achten zu finden, der mit ihnen zusammen die Grundpunkte eines Flächenbündels bildet, betrachte man drei Hyperboloide. Das Hyperboloid (d, enthalte die Punkte 1, 2, 7 und die Geraden 34 und 56, das Hyperboloid d, die Punkte 3, 4, 7 und die Geraden 12 und 56, und das Hyperboloid CD, die Punkte 5, 6, 7 und die Geraden 12 und 34. Hierdurch sind die drei Flächen bestimmt, und es ist nun der achte gemeinsame Punkt dieser Hyperboloide zu konstruieren (Fig443). Bezeichnet man

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