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Die Konstruktion der Doppelsekanten ist nach dem Gesagten selbstverständlich.

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687. Soll eine Raumkurve 4. Ordnung durch acht beliebige Punkte konstruiert werden, so kann man dabei in ähnlicher Weise vorgehen, wie bei der Konstruktion der Fläche 2. Grades durch neun Punkte in 676. Legt man durch die drei Gruppen von je drei Punkten 1, 2, 3 resp. 4, 5, 6, resp. 4, 7, 8 drei Ebenen A, B und , so giebt es in jeder dieser Ebenen noch einen weiteren Punkt der Raumkurve, der sich in folgender Weise bestimmen läßt. Nach 676 existiert ein Punkt 0, von der Beschaffenheit, daß eine beliebige Ebene durch ihn die Ebenen A und B in Geraden schneidet, die als Polaren von S zwei entsprechenden Kegelschnitten angehören. Dabei sind als entsprechend je zwei Kegelschnitte durch die Gruppen 1, 2, 3 resp. 4, 5, 6 mit zwei gemeinsamen Punkten anzusehen, und S ist der Schnittpunkt der Ebenen A, B, г. Ganz ebenso giebt es einen Punkt 02, so daß jede Ebene durch ihn die Ebenen A und in Geraden schneidet, die als Polaren von S zwei entsprechenden Kegelschnitten durch 1, 2, 3 resp. 4, 7, 8 angehören. Eine beliebige Ebene durch 020, schneidet die Ebenen A, B und in drei Geraden, die als Polaren von S drei Kegelschnitten durch die Gruppen 1, 2, 3 resp. 4, 5, 6 resp. 4, 7, 8 zugehören. Der erste Kegelschnitt trifft nach dem soeben Gesagten jeden der beiden andern in zwei Punkten; aber auch diese beiden Kegelschnitte haben zwei Punkte gemein, nämlich den Punkt 4 und einen weiteren Punkt, beide werden durch S und die genannte Ebene durch 020, harmonisch getrennt. Die drei Kegelschnitte liegen auf einer Fläche 2. Grades durch die acht gegebenen Punkte, für welche die Ebene durch 00, die Polarebene von S ist. Läßt man diese Ebene sich ändern, wobei sie einen Büschel beschreibt, so ändert sich die zugehörige Fläche 2. Grades, wobei der Flächenbüschel durch die acht gegebenen Punkte entsteht, und dieser schneidet jede der Ebenen A, B und in einem Kegelschnittbüschel. Trifft nun 0203 diese Ebenen in den Punkten A, B und C respektive, so sind S und A konjugierte Punkte für den Büschel in A, und analog sind S und B, resp. S und C konjugierte Punkte für die Büschel in B und г. Es gilt nun den vierten Grundpunkt des Büschels in A zu zeichnen, für den 1, 2, 3 Grundpunkte und S, A konjugierte Punkte sind. Ist P dieser vierte Grundpunkt, so werden nach 376 die konjugierten Punkte S, A durch die Geraden 12 und P3 harmonisch getrennt; ebenso trennen 13 und P2, sowie 23 und P1 die Punkte S, A harmonisch. Schneidet man also die Gerade

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SA mit 12 und sucht zu diesem Schnittpunkt in Bezug auf S, A den vierten harmonischen Punkt, so geht die Gerade, die ihn mit 3 verbindet, durch den gesuchten Punkt P. Ganz ebenso bestimmt man zu S, A und SA × 13 den vierten harmonischen Punkt und verbindet ihn mit 2; dann geht auch diese Linie durch P. In gleicher Weise erhält man in den Ebenen B und die Punkte Q und R; es sind die vierten Durchstoßpunkte der Raumkurve 4. Ordnung mit diesen Ebenen. Durch andere Gruppierung kann man in jeder Ebene durch drei bereits bekannte Kurvenpunkte den vierten finden und somit beliebig viele Punkte der Kurve zeichnen.

Die Raumkurve 4. Ordnung kann auch als Durchdringungskurve zweier Hyperboloide bestimmt werden. Dabei hat man die Erzeugenden einer Schar der einen Fläche mit der anderen Fläche zu schneiden und erhält so Punktepaare der Kurve. Die Schnittpunkte eines Hyperboloides mit einer Geraden lassen sich aber in folgender Weise finden. Man wähle zwei projektive Ebenenbüschel, deren entsprechende Ebenen sich in den Erzeugenden der einen Schar des Hyperboloides schneiden, diese bestimmen auf der Geraden zwei projektive Punktreihen; ihre sich selbst entsprechenden Punkte (vergl. 320) sind die gesuchten Punkte.

Legt man in einem Punkte P der Kurve die Tangentialebenen an die beiden Hyperboloide, so schneiden sie sich in der Kurventangentet von P. Konstruiert man das Hyperboloid des Büschels mit der Erzeugenden t, so ist seine Tangentialebene in P zugleich die Schmiegungsebene der Raumkurve. Denn diese Ebene enthält außer t noch eine weitere Erzeugende durch P; auf ihr liegt noch ein weiterer Punkt der Kurve, so daß die drei übrigen Schnittpunkte von Ebene und Kurve in P zusammenfallen.

688. Alle Flächen 2. Grades durch sieben feste Punkte schneiden sich noch in dem nämlichen achten Punkte; derselbe soll bestimmt werden. Durch sieben Punkte giebt es offenbar noch doppelt unendlich viele Flächen 2. Grades, denn um eine dieser Flächen zu konstruieren, muß man noch zwei von ihren Punkten annehmen. Fügt man den sieben festen Punkten noch einen beliebigen achten hinzu, so geht durch sie eine Raumkurve 4. Ordnung; sie bildet die Grundkurve eines Büschels von Flächen 2. Grades. Eine weitere Fläche 2. Grades durch die sieben festen Punkte, die diesem Büschel nicht angehört, schneidet die Raumkurve 4. Ordnung noch in einem achten Punkte. Denn jede geschlossene Kurve wird von einer Fläche 2. Grades in einer geraden

Anzahl von Punkten geschnitten; die Zahl dieser Schnittpunkte kann aber hier nur acht sein. Sie ist nämlich in den speziellen Fällen, in denen die Raumkurve 4. Ordnung in zwei Kegelschnitte, oder in eine Gerade und eine Raumkurve 3. Ordnung zerfällt, gleich acht, und unter den Kurven 4. Ordnung durch die sieben gegebenen Punkte giebt es auch solche, die in eine Gerade durch zwei von ihnen und eine Kurve 3. Ordnung durch die fünf übrigen zerfallen.

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Sind nun 1, 2, 3 drei Flächen 2. Grades durch die sieben gegebenen Punkte, so haben sie nach dem soeben Gesagten noch einen achten Punkt gemein; jede Fläche durch sieben dieser Punkte enthält auch den achten, und man bezeichnet die Gesamtheit dieser Flächen als Flächenbündel und die acht gemeinsamen Punkte als seine Grundpunkte. Schneiden sich nämlich jene drei Flächen in den Punkten 1, 2, 3,..., 8, so muß die Fläche V durch 1, 2, und zwei beliebige Punkte P und Q ebenfalls durch den Punkt 8 gehen. Denn 0,, 0, bestimmen einen Flächenbüschel, ihm gehört eine Fläche durch P an, ebenso giebt es in dem durch 1 und ❤ ̧ bestimmten Büschel eine Fläche durch P; die beiden soeben gefundenen Flächen durch P bestimmen wiederum einen Flächenbüschel, der natürlich eine Fläche durch Q enthält, das ist aber die Fläche V. Diese Fläche geht, wie alle Flächen des zugehörigen Büschels, auch durch den Punkt 8. Natürlich können die acht gemeinsamen Punkte dreier Flächen 2. Grades auch paarweise imaginär werden, was man am besten erkennt, wenn man von dem Falle mit acht reellen Schnittpunkten ausgeht und dann eine Fläche kontinuierlich sich ändern läßt. Schneiden sich zwei der drei Flächen in einer reellen Raumkurve 4. Ordnung und wird diese von der dritten in acht reellen Punkten getroffen, so kann man durch kontinuierliche Änderung der dritten Fläche zwei dieser Schnittpunkte zusammenfallen und dann konjugiert imaginär werden lassen. Das Gleiche kann man mit einem zweiten, dritten und vierten Paare dieser Punkte thun.

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Um zu sieben gegebenen Punkten den achten zu finden, der mit ihnen zusammen die Grundpunkte eines Flächenbündels bildet, betrachte man drei Hyperboloide. Das Hyperboloid 1 enthalte die Punkte 1, 2, 7 und die Geraden 34 und 56, das Hyperboloid g die Punkte 3, 4, 7 und die Geraden 12 und 56, und das Hyperboloid, die Punkte 5, 6, 7 und die Geraden 12 und 34. Hierdurch sind die drei Flächen bestimmt, und es ist nun der achte gemeinsame Punkt dieser Hyperboloide zu konstruieren (Fig. 443). Bezeichnet man

mit 34 (1, 2, 7, 8, . . .) den Ebenenbüschel mit der Achse 34, dessen Ebenen durch 1, 2, 7, 8,... gehen, so erzeugen die projektiven Ebenenbüschel 34 (1, 2, 7, 8, ...) und 56 (1, 2, 7, 8,...) die Fläche 1. Ebenso erzeugen die projektiven Büschel 12 (3, 4, 7, 8, 56 (3, 4, 7, 8. . .) die Fläche, und die projektiven Büschel 12 (5, 6, 7, 8, ...) und 34 (5, 6, 7, 8, . . .) die Fläche 3. Ø3. Den Ebenen durch 56 sind

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.) und

einerseits durch 4, die

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Ebenen durch 34 zugeordnet und andererseits durch Φ. die Ebenen durch 12; läßt man nun je zwei Ebenen durch 34 und einander entsprechen, die der nämlichen Ebene durch 56 zugeordnet sind, so sind die Ebenenbüschel mit den Achsen 34 und 12 projektiv und ihre entsprechenden Ebenen schneiden sich in den Erzeugenden eines Hyperboloides V. Die Hyperboloide und haben die Erzeugenden 12, 34 und

außerdem die Erzeu

genden durch 7 resp

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8, die 12 und 34 treffen, gemein, und da die Ebenenbüschel, die resp. O erzeugen, bekannt sind, kann man ihre gemeinsame Erzeugende durch den gesuchten Punkt 8 finden. Dem Ebenenbüschel 34 (5, 6, 7, 8. . .) ist durch 4, der Büschel 12 (5, 6, 7, 8 ...) zudurch, geordnet, dagegen ist ihm durch ein Büschel 12 (P, Q, 7, 8...) zugeordnet. Kennt man von beiden Büscheln mit der Achse 12, die ja projektiv sind, drei Paare entsprechender Ebenen 12 (5, 6, 7) und 12 (P, Q, 7), so kann man auch die in beiden Büscheln sich selbst entsprechende Ebene 128 angeben.

Die Ebenen 12P und 12Q bestimmen sich in der folgenden Weise. Zeichnet man zunächst die drei Ebenen 127, 347 und 567 und ihre Schnittlinien, so liegen auf diesen paarweise die

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projektiven Ebenenbüschel 34 (1, 2, 7, 8. . .) und 56 (1, 2, 7, 8...) mit den Geraden NO resp. JK, so erhält man perspektive Punktreihen; dabei entsprechen den Punkten 1 NO × J1 und A2 = NO × J2 die Punkte B1 =JK × 01 und B2 = JK × 02, so daß X= A1B1 × AB2 das Centrum der Perspektive ist. Den Ebenen 345 resp. 346 des ersten Büschels entsprechen die Ebenen 56 B, resp. 56 B des zweiten, wenn die ersteren NO in 4, resp. A treffen (4=NO × M5, A = NO × M6) und B.=JK × AX, B ̧=JKX 4X ist. Ganz analog liefern die Ebenenbüschel 12 (3, 4, 7, 8...) und 56 (3, 4, 7, 8, . . .) auf den Geraden LM resp. JK perspektive Punktreihen; den Punkten C3 LM × K3 und C = LMX K4 entsprechen die Punkte D = JK × L3 und D1 = JK × L4, das Centrum der Perspektive ist YC, D X CD4. Den Ebenen 56 B, resp. 56 B des × 3 zweiten Büschels entsprechen die Ebenen 12P resp. 12Q des ersten, wenn P=LM× B ̧Y und Q=LM× BY ist.

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Der Punkt 8 liegt nun in der Ebene, die den projektiven Büscheln 12 (5, 6, 7 . . .) und 12 (P, Q, 7 ...) außer der Ebene 127 gemeinsam ist; die Ebene 128 trifft also LM in dem Punkte R, für den der Strahlbüschel N (5, 6, 7, R) projektiv zu der Punktreihe (P, Q, 7, R) ist (N5 × 67 = 5′, 5′ P× 6 Q = Z, NZ× LM=R). Die Ebenen 128 resp. 568 schneiden aber LM resp. JK in den Punkten R resp. S, deren Verbindungslinie durch Y geht, und die Ebenen 568 resp. 348 schneiden JK resp. NO in den Punkten S resp. 7, deren Verbindungslinie durch X geht. Der Punkt 8 erscheint also als Schnitt der Ebenen 12R, 347 und 568.

Konstruktionsaufgaben bei den Flächen zweiten Grades.

689. Von einer Fläche 2. Grades soll der Umriß gezeichnet werden, falls die eine Projektion dreier ebener Schnitte von ihr bekannt ist. In Fig. 444 ist also eine Projektion dieser Schnitte, nämlich k, l, m' gegeben, wobei es gleichgültig ist, ob diese Kurven eine orthogonale oder schiefe Projektion der Schnitte k, l, m darstellen. Die Ebenen dieser Schnitte schneiden. sich paarweise in den Geraden a, b und c und diese in dem gemeinsamen Punkte S; auf b liegen die reellen Schnittpunkte B1, B, von k und m, auf e die Schnittpunkte C1, C2 von k und . Da

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