schneiden, so ist klar, daß zwei Punkte, die für zwei Flächen des Büschels harmonische Pole sind, diese Eigenschaft auch für jede andere Fläche des Büschels aufweisen. Demnach besitzt ein Punkt, dem in Bezug auf zwei Flächen die gleiche Polarebene zugehört, auch in Bezug auf jede andere Fläche des Büschels die nämliche Polarebene. Um solche Punkte zu finden, gehen wir von drei Geraden a, b, c aus, die von demselben Punkte S ausstrahlen, und untersuchen die Polarebenen ihrer Punkte hinsichtlich zweier Flächen und des Büschels. Zu der Punktreihe auf a gehören zwei projektive Ebenenbüschel, das eine enthält die Polarebenen der Punkte der Reihe in Bezug auf 4, das andere in Bezug auf Y. Diese projektiven Ebenenbüschel erzeugen eine Regelfläche 2. Grades, deren beide Regelscharen die folgende Bedeutung haben. In jeder Geraden der einen Schar schneiden sich die Polarebenen eines Punktes von a in Bezug auf alle Flächen des Büschels (vergl. 678); jede Gerade der anderen Schar ist die harmonische Polare von a in Bezug auf eine Fläche des Büschels. Offenbar sind die Achsen der genannten Ebenenbüschel die harmonischen Polaren von a bezüglich resp. V. Wären wir jedoch von zwei andern Flächen des Büschels ausgegangen, so wären wir gleichwohl zu der nämlichen Regelfläche gelangt, denn eine ihrer Regelscharen behält die frühere Bedeutung; demnach liegen auch die harmonischen Polaren von a bezüglich dieser beiden beliebigen Flächen des Büschels auf jener Regelfläche.

Wir haben soeben gesehen, daß alle Geraden, die den einzelnen Punkten von a bezüglich des Büschels konjugiert sind, auf einer Regelfläche liegen. Gleiches gilt für die den Punkten von b konjugierten Geraden, sowie für die den Punkten von e konjugierten Geraden. Die drei so entstehenden Regelflächen haben eine Gerade gemeinsam, nämlich die dem Punkte S konjugierte Gerade, sie schneiden sich also noch paarweise in Raumkurven 3. Ordnung, für welche diese Gerade Doppelsekante ist. Die drei Regelflächen haben außer der genannten Geraden noch vier Punkte gemein; sie können nämlich als Schnittpunkte von einer dieser Regelflächen mit der auf den beiden übrigen liegenden Raumkurve 3. Ordnung angesehen werden; die Zahl dieser Schnittpunkte ist zwar sechs, aber es liegen zwei von ihnen auf der den drei Regelflächen gemeinsamen Geraden. Jedem der vier soeben bestimmten Punkte ist in Bezug auf alle Flächen des Büschels ein Punkt von a, ein Punkt von b und ein Punkt von c konjugiert, d. h. zu einem solchen Punkte gehört die nämliche Polarebene hinsichtlich jeder Fläche des Büschels.

684. Die vier Punkte seien J, K, L, M; es ist zu zeigen, daß die Grundkurve des Büschels auf vier Kegeln 2. Grades liegt, deren Scheitel diese Punkte sind. Verbindet man einen Punkt P1 der Grundkurve mit J, so schneidet diese Gerade alle Flächen des Büschels in einem gemeinsamen Punkte P2, und es wird PP1⁄2 durch J und die zugehörige Polarebene harmonisch geteilt. Die Punkte der Grundkurve des Büschels liegen hiernach paarweise auf den Mantellinien eines Kegels mit dem Scheitel J; dieser Kegel ist vom 2. Grade, denn er bildet eine Fläche des Büschels, nämlich diejenige Fläche, die durch J hindurchgeht.

Legt man durch JK eine beliebige Ebene, so schneidet sie die Grundkurve des Büschels in vier Punkten, die paarweise sowohl auf zwei Strahlen durch J wie auf zwei Strahlen durch K liegen; J und K sind demnach harmonische Pole für alle Flächen des Büschels. Die Polarebene von J, die ja für alle Flächen die gleiche ist, geht somit durch K; aus gleichen Gründen geht sie auch durch L und M. Die vier Punkte J, K, L, M bilden ein gemeinsames Polartetraëder für alle Flächen des Büschels.

Die vier Punkte J, K, L, M brauchen nicht notwendig reell zu sein. Neben dem Falle, daß alle vier Punkte reell sind, kann der Fall eintreten, daß zwei Punkte reell und zwei konjugiert imaginär sind. Sucht man zu dem reellen Punkte J die Polarebene, so liegt in ihr ein Kegelschnittbüschel mit einem gemeinsamen Polardreieck; seine Ecken sind die Punkte K, L, M, und diese sind entweder alle drei reell, oder es ist nur einer reell; die beiden andern sind dann konjugiert imaginär, ihre Verbindungslinie ist reell (vergl. 373). Endlich können alle vier Punkte imaginär werden, sie sind dann paarweise konjugiert imaginär und liegen auf zwei reellen Geraden. Diese beiden Geraden sind konjugierte (harmonische) Polaren für alle Flächen des Büschels.

685. Je nachdem von den Punkten J, K, L, M alle vier, oder nur zwei, oder keiner reell sind, sind die Flächenbüschel von verschiedener Beschaffenheit. Zunächst ist klar, daß in jedem Flächenbüschel stets Regelflächen enthalten sind. Denn die Grundkurve bestimmt mit jeder ihrer Doppelsekanten eine sie enthaltende Regelfläche, nämlich die Fläche, die man durch acht beliebige Punkte der Grundkurve und einen Punkt der Doppelsekante legen kann. Ferner erkennt man, daß die Kegelflächen in dem Büschel den Übergang von den Regelflächen zu den Flächen 2. Grades ohne Geraden bilden. Nennen wir nämlich zwei Flächen des Büschels benachbart, wenn sie jede beliebige Gerade in benachbarten Punkten

schneiden, so giebt es zu jeder Fläche zwei benachbarte, wie es zu jedem Punkte zwei benachbarte giebt. Von den beiden, einer Kegelfläche benachbarten Flächen liegt nun die eine in der Nähe des Scheitels innerhalb, die andere außerhalb der Kegelfläche: denn auf jeder Geraden trennt ein der Kegelfläche angehörender Punkt die beiden auf den Nachbarflächen liegenden, benachbarten Punkte. Die beiden einer Kegelfläche benachbarten Flächen sind Hyperboloide, und zwar ist das Hyperboloid, das in der Nähe des Scheitels innerhalb der Kegelfläche liegt, zweischalig, das andere dagegen einschalig, also eine Regelfläche, da jede die Kegelfläche nicht schneidende Ebene durch ihren Scheitel das erstere Hyperboloid nicht schneidet, dagegen das letztere. Schließlich bemerkt man, daß die Tangenten in je zwei Punkten der Raumkurve 4. Ordnung, deren Verbindungslinie durch J geht, sich in einem Punkte der Ebene KLM treffen.

Wir unterscheiden hiernach die folgenden drei Arten von Flächenbüscheln.

Erstens: Der Büschel von Flächen 2. Grades enthält vier reelle Kegelflächen mit den Scheiteln J, K, L, M. Dann lassen sich die Punkte seiner Grundkurve derartig in Gruppen zu je acht anordnen, daß die Verbindungslinie irgend zweier Punkte der Gruppe entweder durch eine Ecke des Tetraëders J K L M verläuft, oder zwei Gegenkanten desselben trifft, (vergl. 649). Die Tangenten der Grundkurve in acht Punkten einer Gruppe sind in der Weise angeordnet, daß jede von vier anderen getroffen wird; sie liegen auf einer Regelfläche des Büschels und zwar verteilen sie sich zu vier und vier auf ihre beiden Scharen. Daraus schließen wir aber, daß die Grundkurve aus zwei geschlossenen Kurvenzügen besteht, wobei wir zwei Kurventeile, die in der gleichen Richtung ins Unendliche verlaufen, als daselbst zusammenhängend ansehen. Denn vier Tangenten der Grundkurve, die einer Regelfläche des Büschels angehören und zwar einer Schar derselben, teilen diese Regelfläche in vier Streifen, in jeder Tangente grenzen zwei Streifen aneinander. Die Geraden der Schar, die dem nämlichen Streifen angehören, haben alle mit der Kurve entweder zwei reelle oder zwei imaginäre Punkte gemein, da man kontinuierlich von einer zur andern übergehen kann, wobei die Schnittpunkte der einen kontinuierlich in die der anderen übergehen, ohne daß sie inzwischen zusammenfallen und dann imaginär werden können. Von zwei Geraden der Schar, die auf zwei aneinander grenzenden Streifen liegen, schneidet die eine die Kurve in zwei

reellen, die andere in zwei imaginären Punkten, da man beim kontinuierlichen Übergang von einer zur andern die Grenzlage passieren muß, in der die Gerade die Kurve tangiert. Auf zwei der genannten vier Streifen, die nicht aneinander grenzen, liegen demnach zwei geschlossene Kurvenzüge, während die beiden andern Streifen keine Punkte der Grundkurve enthalten.

Die vier Kegelflächen teilen alle Flächen des Büschels in vier Klassen ein, indem man je zwei Flächen zu der nämlichen Klasse rechnet, wenn man von einer kontinuierlich d. h. stets von einer Fläche des Büschels zur Nachbarfläche fortschreitend zur andern gelangen kann, ohne eine Kegelfläche zu passieren. Von diesen vier Klassen bestehen zwei aus Regelflächen. Die Regelflächen der einen Klasse haben lauter Erzeugende, die jeden der beiden Kurvenzüge der Grundkurve je einmal treffen; sie enthalten keine Kurventangenten, da die beiden auf einer Erzeugenden liegenden Punkte nicht zusammenfallen können; jede Erzeugende einer solchen Regelfläche trägt zwei reelle Punkte der Grundkurve. In gleicher Weise haben die Mantellinien zweier Kegelflächen mit jedem Kurvenzug einen Punkt gemein. Die Regelflächen der andern Klasse enthalten je acht Tangenten der Grundkurve; ihre Erzeugenden treffen diese teilweise in zwei konjugiert imaginären, teilweise in zwei reellen Punkten, die beide auf dem nämlichen Kurvenzuge liegen. In gleicher Weise enthalten die beiden andern Kegelflächen je vier die Grundkurve tangierende Mantellinien; jede Mantellinie trifft einen Kurvenzug zweimal oder gar nicht.

Zweitens: Der Büschel von Flächen 2. Grades enthält nur zwei reelle Kegelflächen mit den Scheiteln Jund K. Hier enthält der Büschel nur zwei Klassen von Flächen, von denen die eine aus Regelflächen besteht. Jede solche Regelfläche enthält vier reelle Kurventangenten, in jeder Schar zwei; denn hier giebt es zu jedem Kurvenpunkte nur drei weitere reelle, die mit ihm eine Gruppe bilden. Von den sechs Geraden, welche die Punkte einer Gruppe paarweise verbinden, gehen nämlich zwei durch J, zwei durch K, und zwei treffen JK und die Schnittlinie der Polarebenen von J und K. Da jede Regelfläche des Büschels nur je zwei Tangenten in jeder Schar aufweist, so besteht die Grundkurve aus einem einzigen geschlossenen Kurvenzuge.

Drittens: Der Büschel von Flächen 2. Grades enthält keine reellen Kegelflächen; er enthält deshalb nur Regelflächen. Keine Tangente der Grundkurve wird von einer anderen getroffen, da es keinen reellen Kegelscheitel giebt. Alle Regel

flächen des Büschels sind demnach so beschaffen, daß die Erzeugenden der einen Schar keine reellen Kurventangenten enthalten, also alle die Grundkurve in zwei reellen Punkten treffen, daß dagegen die Erzeugenden der andern Schar vier reelle Kurventangenten aufweisen. Die Verbindungslinien ihrer Berührungspunkte treffen paarweise die Gegenkanten des Polartetraëders, von denen ein Paar reell, die beiden andern Paare konjugiert imaginär sind. Jede Ebene durch eine Tangente der Grundkurve schneidet sie noch in zwei reellen Punkten. Gäbe es nämlich durch die Tangente eine Ebene, die weiter keine reellen Punkte mit der Kurve gemein hätte, so würde man die Ebene durch Drehung um die Tangente in eine neue Lage bringen können, in der sie die Kurve in reellen Punkten schnitte, zwischen der Anfangs- und Endlage müßte es sonach eine Lage geben, in der die Ebene die Kurve in einem weitern Punkte berührte; in dieser Ebene lägen dann zwei sich schneidende Kurventangenten, was ja ausgeschlossen ist. Jede Ebene schneidet die. Grundkurve in mindestens zwei reellen Punkten. Denn eine Ebene, welche die Kurve überhaupt nicht in reellen Punkten schnitte, würde durch Drehung um eine ihrer Geraden in eine Lage gebracht werden können, in der sie die Kurve berührt, aber nicht schneidet; das ist aber nach dem Voranstehenden unmöglich. Die Grundkurve besteht aus einem einzigen Kurvenzuge, der mindestens in zwei Richtungen ins Unendliche verläuft.

686. Durch jeden Raumpunkt gehen zwei Doppelsekanten der Raumkurve 4. Ordnung. Jedem Raumpunkt ist nämlich eine Gerade in Bezug auf alle Flächen des Büschels konjugiert; Punkt und Gerade sind Pol und Polare für alle Kegelschnitte des Büschels, der von ihrer Ebene aus dem Flächenbüschel ausgeschnitten wird. Die Grundpunkte des Kegelschnittbüschels liegen somit paarweise auf zwei Geraden durch jenen Raumpunkt. Nach 373 u. flg. können hier die folgenden Möglichkeiten eintreten, indem wir zwischen eigentlichen, isolierten und imaginären Doppelsekanten unterscheiden, je nachdem sie die Kurve in reellen. Punkten treffen, oder in konjugiert imaginären und selbst reell sind, oder in imaginären und selbst konjugiert imaginär werden. Entweder sind beide Doppelsekanten eigentlich, oder beide isoliert, oder es ist eine eigentlich und eine isoliert, oder es sind beide konjugiert imaginär. In den den Büscheln mit vier oder mit zwei reellen Kegelflächen treten alle vier Möglichkeiten auf, in den Büscheln ohne reelle Kegelflächen dagegen sind entweder beide Doppelsekanten eigentlich, oder eine ist eigentlich und eine isoliert.