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Punkte, so erkennen wir, daß es zu jedem Punkte der Kugel zwei homologe Punkte auf der Ringfläche giebt; in homologen Punkten auf Kugel und Ringfläche sind die Tangentialebenen parallel, ihre Verbindungslinie ist senkrecht zu a und ihre gegenseitige Entfernung

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gleich d. Die Lichtgrenze auf der Kugel ist ein zum Lichtstrahle l normaler größter Kreis i; die Kurve zu der homologen Punkte bildet demnach die Lichtgrenze der Ringfläche. Die Horizontalprojektionen homologer Punkte haben ebenfalls den Abstand d und ihre Verbindungslinie geht durch den Punkt M'. Wir können demnach die Kurve u“ aus " ableiten, indem wir auf den Durchmessern der Ellipse " von ihren Endpunkten aus nach beiden Seiten die Strecke d auftragen. Die Tangente in einem Punkte Po von u“ ergiebt sich aus der Tangente in dem homologen Punkte Q" von "; wir benutzen dazu das gleiche Verfahren wie in 440 bei der Pascal'schen Schnecke. Die Normale im Punkte Po von u“ findet man auch durch folgende Überlegung. Sind P“ und Q“ homologe Punkte, die den Punkten Po resp. Q unendlich nahe liegen, und fällt man von ihnen aus Lote P"P, resp. Q/Q, auf den Strahl M'PQ, so entstehen unendlich kleine rechtwinkelige Dreiecke und es ist: PP,: Q/Q, = M'P: M'Q' und PP,= QQ, da PoQ = P'Q' = dist. Wählt man nun endliche Dreiecke, die zu diesen ähnlich sind, und macht eine Kathete gleich M'P“ resp. M'Q', so werden die anderen Katheten einander gleich. Daraus folgt, daß die Normale von i“ in Q" und die von u“ in Po auf einer in M” zu M'P“ errichteten Senkrechten den nämlichen Punkt N ausschneiden. Die Aufrisse Po“ und Q“ liegen auf einer Parallelen zur x-Achse, was man zur Konstruktion von u“ verwerten kann, indem man zunächst die Höhe des Punktes Q“ über der durch M“ gezogenen Parallelen zur x-Achse aufsucht. Den Schlagschatten u. von u auf TT, leitet man aus dem Schatten , von i ab. Offenbar ist PQ. = PQ =d und PQ, PQ, ferner ist die Tangente in Q, an i, senkrecht zu Q„P“. Denn PQ steht senkrecht auf der Tangente in Q an den zugehörigen Parallelkreis der Kugel, beide Geraden sind horizontal; ihre Schatten sind P„Q, und die Tangente von i... in Q, sie sind also ebenfalls rechtwinkelig. Somit ist u. eine äquidistante Kurve zur Ellipse i, und es kann im übrigen auf die in 538 geschilderten Verhältnisse hingewiesen werden. Bezüglich der Konstruktion von Krümmungskreisen in den Scheiteln von u“ und u., der Spitzen von u. und der entsprechenden Punkte auf u ist auf 552 und 554 zu verweisen.

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Das Rotationshyperboloid und seine Anwendung.

541. Durch Rotation einer Geraden e um eine zu ihr windschiefe Achse a entsteht eine Fläche, die als Rotationshyperboloid bezeichnet wird; die Gerade e in ihren verschiedenen Lagen heißt Erzeugende der Fläche; alle Erzeugenden zusammen bilden eine Schar. Die gemeinsame Normale von e und a möge a in M und e in N treffen, dann beschreibt N von allen Punkten der Erzeugenden den kleinsten Parallelkreis k, der deshalb als Kehlkreis bezeichnet wird. Projizieren wir die Erzeugenden des Hyperboloids auf eine zur Achse senkrechte Ebene, so müssen sie die Tangenten eines Kreises k“ mit dem Mittelpunkte M" und dem Radius MMW bilden. Zwei Punkte von e, die gleich weit von N entfernt sind, liegen auf Parallelkreisen mit gleichem Radius, denn ihre Projektionen haben von N" und somit von M" gleichen Abstand. Das Hyperboloid erstreckt sich nach zwei Seiten ins Unendliche, da es die Erzeugende e thut; wir wollen dasselbe jedoch nicht in seiner ganzen Ausdehnung darstellen, sondern durch zwei gleiche Parallelkreise begrenzen. In Fig. 346 ist die Achse a zu TT, senkrecht gewählt; die Ebenen der die Fläche begrenzenden Parallelkreise b, und b, seien TT, resp. TT. Jede Erzeugende e ist dann durch ihre Spurpunkte in TT, und TT, bestimmt; ihre erste Projektione“ berührt k“, ihr erster Spurpunkt Es liegt auf b, , und die erste Projektion ihres dritten Spurpunktes E" aufb' = b. Daraus ergeben sich dann in einfachster Weise die Aufrisse der

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A'-A7 Erzeugenden und der Fig. 346. Umriß, der sie alle berührt.

Auf dem Hyperboloid giebt es noch eine zweite Schar von Erzeugenden, die ebenfalls durch Rotation um die Achse a auseinander hervorgehen. Jede Erzeugende der ersten Schar wird von jeder Erzeugenden der zweiten Schar getroffen; je zwei Erzeugende der gleichen Schar sind windschief. Das zuletzt Gesagte ist selbstverständlich, da die Erzeugenden der gleichen Schar auf den Parallelkreisen Bogenstücke begrenzen, die gleiche Centriwinkel spannen. Betrachten wir nun die Gerade f, deren erster Spurpunkt F mit E" identisch ist, während die Projektion ihres dritten Spurpunktes F" mit E, zusammenfällt, und irgend eine Gerade g, die mit e der gleichen Schar angehört. Dann ist: Bog EG,= Bog EG" und folglich FG | F"G'; die Geraden FG und FG, können also als erste und dritte Spur einer Ebene angesehen werden, der die Geraden fund g angehören; diese Geraden schneiden sich demnach. Die Geraden beider Scharen haben die gleiche Neigung gegen TI, und somit auch gegen die Achse a, da ihre zwischen TT, und TT, gelegenen Stücke einander gleich sind, wie sich aus der Gleichheit ihrer ersten Projektionen ergiebt. Durch jeden Punkt P der Fläche giebt es zwei Erzeugende, ihre ersten Projektionen sind die von Po an k“ gelegten Tangenten. Speziell giebt es zu jeder Erzeugenden der einen Schar, etwa e, eine parallele Erzeugende aus der zweiten Schar, etwa h; sie projizieren sich als parallele Tangenten von k“, ihr Abstand ist gleich dem Durchmesser des Kehlkreises. Die Ebene des Kehlkreises ist Symmetrieebene des Hyperboloides, seinen Mittelpunkt nennt man den Mittelpunkt des Hyperboloides. 542. Im Anschlusse an diese doppelte Erzeugung des Hyperboloides wollen wir einige Konstruktionen desselben aus gegebenen Elementen angeben. Sind e und f zwei Erzeugende der einen Schar und ist l eine solche der anderen, so sind durch sie vier Rotationshyperboloide bestimmt. Ist P= 1 X e und Q= l ><f, dann konstruiere man zwei Ebenen, so daß l und e zur ersten und l und f zur zweiten symmetrisch liegen. Die Symmetrieebene für e und l muß offenbar eine der Geraden enthalten, die die Z. el halbieren, und auf der Ebene e l senkrecht stehen; analog bestimmt sich die Symmetrieebene für fund l. Beide Symmetrieebenen schneiden sich in der Achse a eines Rotationshyperboloides, dem die drei Erzeugenden e, f, l angehören. Denn durch Rotation von l um a entsteht eine Rotationsfläche; für sie ist jede Ebene durch a Symmetrieebene, so die Ebenen Pa und Qa; die Fläche enthält also auch die Geraden e und f die aus l durch Spiegelung an den Ebenen Pa resp. Qa hervorgehen. Sind ursprünglich e, f und ein Punkt L der Fläche gegeben, so ziehe man durch L die Gerade l, die sowohl e wie f trifft; dann verfahre man wie vorher. Sind nur zwei Erzeugende e und f der nämlichen Schar bekannt, so giebt es noch unendlich viele Rotationshyperboloide mit diesen Erzeugenden. Die Achse einer jeden dieser Flächen hat die Eigenschaft, daß durch eine Drehbewegung um sie die Erzeugende e in die Lage f gebracht werden kann. Soll jedoch eine bestimmte Strecke E„E, auf e durch Drehbewegung um eine Achse in eine bestimmte, gleichgroße Strecke F„F, auff übergeführt werden, so ist das nur auf eine Weise möglich. Die Achse a dieser Drehbewegung ergiebt sich als Schnittlinie zweier Ebenen, die auf den Strecken E, F, resp. E„F, in deren Mittelpunkten G resp. H senkrecht stehen. Fällt man nämlich von E und F Lote auf a, so treffen sie a in dem gleichen Punkte U, da nach der Konstruktion die Richtung von a zu E„F, senkrecht ist; ebenso treffen die Lote aus E, und F, die Achse in dem nämlichen Punkte V (EU = FU, E„W= F„W). Projiziert man nun die ganze Figur in der Richtung der Achse auf eine zu ihr senkrechte Ebene TT, (TT, | E. FUE, F, W), so werden die Projektionen E/E" und F"F" einander gleich, denn E„E, = FF', liegen zwischen den Parallelebenen E„FU und E„F„W; haben also die gleiche Neigung gegen diese Ebenen und somit auch gegen TT. Ist A = a × TT, so sind die Dreiecke E/E/A und FIF/A kongruent, da E/A = F/A = EU = FU und E/A = F/A = E„W= F„Wist; also ist z. B. "AE, = A F/AF" und folglich z. E"A F" = z. B. AF" oder z. B., UF = A E, VF. Dreht man demnach die Strecke E„E, um diesen Winkel um die Achse a, so nimmt sie die Lage F„F, an. Sind zwei Erzeugende e und f der nämlichen Schar bekannt und soll der Punkt E von e auf dem Kehlkreise k liegen, so giebt es noch zwei zugehörige Rotationshyberboloide, die sich in folgender Weise konstruieren lassen. Sei F der Schnittpunkt von f mit dem Kehlkreise und seien «e, und f die zweiten Erzeugenden durch E- und F-, dann geht die Ebene, die auf EF" in der Mitte senkrecht steht, einerseits durch die Achse a, andererseits durch die Punkte J= e ×f und K=e, × f; dabei liegen sowohl e und fi, als auch e, und f symmetrisch zu ihr. Die Dreikante mit den Kanten EF, EJ, EK resp. FE, FJ, FK sind sonach symmetrisch und folglich ist z. FEJ = z. FEK = Z EFJ = z. EFK; d. h. EF bildet mit den Erzeugenden e und f gleiche Winkel. Demnach erhält man F, indem man durch E eine Gerade g|f zieht, die beiden Geraden p und q sucht, welche die Winkel von eg halbieren, und durch eine dieser Geraden etwa p eine Ebene Leg legt; diese schneidet dann f in Fo. Die Ebene Fq ist die Ebene des Kehlkreises k; denn e und g bilden gleiche Winkel mit q und gleiche Winkel mit EF, wobei q |L EP" ist, d. h. e und g bilden gleiche Winkel mit der Ebene Fy und ihre orthogonalen Projektionen e” und g/ auf diese Ebene gleiche Winkel mit EF. Das Gleiche gilt auch für die Erzeugenden e,f, resp. deren Projektionen e, f”. Der Kreis k in Fy, der e in E und f” in F" berührt, ist der Kehlkreis, die in seinem Mittelpunkte auf seiner Ebene errichtete Normale die Achse a der Fläche. Rotiert e um a bis sich E mit F" deckt, so fällt auch e mit f” und e mitfzusammen, da Z. ee = Z_ff“ ist.

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