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einen Teil der Schnittkurve der Ebene E mit der Ringfläche bildet; der zu i in Bezug auf die Hauptmeridianebene symmetrische Kreis j bildet den anderen Teil. Die Projektion des Kreises i ist eine Ellipse, deren große Achse 2d und deren kleine Achse = 'B' = 2 MJ = 2√ď2 — 2 ist, und von der M' einen Brennpunkt darstellt; denn man hat: M'P' + M'P' = M'S' + M'T' = 2d.

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Die Ringfläche kann hiernach auch durch Rotation eines Kreises um eine gegen seine Ebene geneigte Achse erzeugt werden; die Projektion des Kreises auf eine zur Achse senkrechte Ebene liefert dann eine Ellipse,

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Fig. 344.

und trifft die zugehörige Normale die Achse a in J, so berührt die Kugel mit dem Mittelpunkte J und dem Radius JB die Fläche längs des Parallelkreises durch B. Der zu П1 parallele größte Kreis der

Kugel erscheint als ihr Umriß, er trifft den genannten Parallelkreis in zwei Punkten D und E, die dem gesuchten Umriss der Ringfläche angehören (J"D'' || x, J'D' = J'E' = J"B"). Die Kugel mit dem Mittelpunkte K und dem Radius KC liefert analog die Punkte F und G (F"K" || x, K'F' K'G' K"C"). Die Kreise mit den Mittelpunkten resp. K' berühren den Umriss u' in den Punkten D', E resp. F", G', die Geraden J'D', J'E', K'F', K'G' sind also Normalen der Kurve u'.

J'

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Dem soeben geschilderten Verfahren, das bei allen Rotationsflächen anwendbar bleibt, läßt sich speziell bei der Ringfläche die folgende Betrachtung zur Gewinnung des Umrisses gegenüberstellen. Die Normalen der Ringfläche in den Punkten eines Meridiankreises gehen durch dessen Mittelpunkt, der horizontale Durchmesser dieses Kreises trägt also seine beiden, dem Umrisse angehörigen Punkte, da die zugehörigen Tangentialebenen zu ПT, senkrecht stehen. Der bei der Rotation um die Achse beschriebene Bahnkreis c des Mittelpunktes O von k wird von allen Normalen der Ringfläche getroffen, und zwar steht c auf den Normalen senkrecht. Da sich aber ein rechter Winkel mit einem zu П1 parallelen Schenkel wieder als rechter Winkel projiziert, so projiziert sich der horizontale Durchmesser jedes Meridiankreises auf П, als Normale der Ellipse c'. Trägt man auf allen Normalen der Ellipse c' nach beiden Seiten die Strecker gleich dem Radius von k auf, so erhält man den Umriss u'.

u' besteht aus zwei getrennten Teilen, die ebenso wie c' vierfach symmetrisch sind; man nennt u eine zu e' parallele oder äquidistante Kurve. Eine Kurve und eine zugehörige äquidistante Kurve haben dasselbe Normalensystem und somit die gleiche Evolute; umgekehrt sind alle zu der gleichen Kurve gehörigen Evolventen parallele Kurven, sie werden von den Punkten einer Geraden beschrieben, die auf jener Kurve ohne zu gleiten abrollt. Die Evolute d der Ellipse c' besitzt den vier Scheitelpunkten von c' entsprechend vier Spitzen in den zugehörigen Krümmungsmittelpunkten (449). In der Figur ist nur einer der vier symmetrischen Teile von d verzeichnet, er endigt in den Spitzen S1 und S. Wo die Evolvente u auf die Evolute d auftrifft, besitzt sie eine Spitze und steht auf d senkrecht, so z. B. in H'; dieser Punkt bestimmt sich auf der Evolute, indem man den Kurvenbogen H'S, von d gleich ST S2O'r macht. Aus H' ergiebt sich einfach der Punkt H auf der Fläche.

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539. Die Lichtgrenze auf der Ringfläche kann ebenfalls vorteilhaft durch das Kugelverfahren gefunden werden (Fig. 344). Sind l' und l' die

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Projektionen eines Lichtstrahles, so bestimme man zunächst seine Projection " auf eine zu a senkrechte Ebene E ihre zweite Spurlinie sei e und drehe diese um die zu e parallele Gerade der Hauptmeridianebene parallel zu П,, so erhält man 1 (L= 1 x E, L'L。 1 e2, L'L2 = (L'a')). Betrachtet man nun die Kugel mit dem Mittelpunkte K und dem Radius KC, so bildet ihr größter Kreis in einer zu senkrechten Ebene die Lichtgrenze auf ihr, und die Schnittpunkte dieser Ebene mit dem Parallelkreise durch C sind Punkte der Lichtgrenze auf der Ringfläche. Die Ebene der Lichtgrenze auf der Kugel schneidet die Hauptmeridianebene in einer zu senkrechten Geraden KN, und die Ebene des Parallelkreises in einer zu " senkrechten Geraden durch N; letztere enthält die gesuchten Punkte. Durch Paralleldrehen dieser Ebene zu П2 geht der Parallelkreis in über und die Gerade wird senkrecht zu l (N"P。Q。 1 ↳); dreht man die Schnittpunkte Po, Q。 von Gerade und Kreis wieder zurück, so sind P", Q" die Aufrisse der gesuchten Punkte, deren Grundrisse daraus folgen ((P'a') = P ̧P", (Q′ − a) Qo"). In der Figur ist die Lichtgrenze nicht eingezeichnet.

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Der Schlagschatten der Ringfläche auf die Horizontalebene ist hiernach punktweise zu bestimmen, indem man die Punkte der Lichtgrenze Schatten werfen läßt. Über die Form dieses Schlagschattens läßt sich folgendes bemerken. Der Schatten der Ringfläche auf eine zur Lichtrichtung senkrechte Ebene ist eine äquidistante Kurve zu der Schattenellipse des Bahnkreises c von O; es gelten dafür die gleichen Gründe wie bei u'. Der Schatten der Ringfläche auf eine beliebige Ebene ist also eine affine Kurve zu jener äquidistanten Kurve.

540. Eigen- und Schlagschatten einer Ringfläche mit vertikaler Achse (Fig. 345). Jede Kugel, die einen Meridiankreis der Ringfläche zum größten Kreise hat, berührt sie längs desselben, so daß die Ringfläche als Hüllfläche eines Systems von gleichen Kugeln erscheint, deren Mittelpunkte auf einem Kreise liegen. Nun wähle man eine Kugel K, deren Mittelpunkt M mit dem der Ringfläche zusammenfällt und deren Radius dem der Meridiane gleich ist. Eine beliebige Meridianebene schneidet alsdann Kugel und Ringfläche in drei gleichen Kreisen, deren Mittelpunkte M, B und C sein mögen (MB = MC = d, CMB a). Durch Verschiebung des Kugelkreises in seiner Ebene in einer zur Achse a senkrechten Richtung um die Strecke d nach der einen oder anderen Seite hin geht derselbe in die bezüglichen Kreise auf der Ringfläche über. Nennen wir zwei Punkte, die hierbei zur Deckung kommen, kurz homologe

ROHN u. PAPPERITZ. II.

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Punkte, so erkennen wir, daß es zu jedem Punkte der Kugel zwei homologe Punkte auf der Ringfläche giebt; in homologen Punkten auf Kugel und Ringfläche sind die Tangentialebenen parallel, ihre Verbindungslinie ist senkrecht zu a und ihre gegenseitige Entfernung

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gleich d. Die Lichtgrenze auf der Kugel ist ein zum Lichtstrahle normaler größter Kreis i; die Kurve u der homologen Punkte bildet demnach die Lichtgrenze der Ringfläche. Die Horizontalprojektionen homologer Punkte haben ebenfalls den Abstand d und ihre Verbindungslinie geht durch den Punkt M. Wir können demnach die Kurve u aus ableiten, indem wir auf den Durchmessern der Ellipse von ihren Endpunkten aus nach beiden Seiten die Strecke d auftragen. Die Tangente in einem Punkte P von u ergiebt sich aus der Tangente in dem homologen Punkte von ; wir benutzen dazu das gleiche Verfahren wie in 440 bei der Pascal'schen Schnecke. Die Normale im Punkte P von u findet man auch durch folgende

1 2

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PP, Q1'Q2 = M'P': M'Q'

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Überlegung. Sind P1' und Q, homologe Punkte, die den Punkten P' resp. unendlich nahe liegen, und fällt man von ihnen aus Lote PP2 resp. QQ auf den Strahl M'PQ', so entstehen unendlich kleine rechtwinkelige Dreiecke und es ist: und PP2 = Q'Q2, da P'Q' = P1'Q' = d ist. Wählt man nun endliche Dreiecke, die zu diesen ähnlich sind, und macht eine Kathete gleich M'P' resp. M'Q, so werden die anderen Katheten einander gleich. Daraus folgt, daß die Normale von in Q' und die von u' in P auf einer in M' zu M'P' errichteten Senkrechten den nämlichen Punkt N ausschneiden.

Die Aufrisse P" und Q" liegen auf einer Parallelen zur x-Achse, was man zur Konstruktion von u" verwerten kann, indem man zunächst die Höhe des Punktes Q" über der durch M" gezogenen Parallelen zur x-Achse aufsucht.

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Den Schlagschatten u, von u auf ПT, leitet man aus dem Schatten i von i ab. Offenbar ist P4Q = P'Q' = d und PQ || P'Q', ferner ist die Tangente in Q an i senkrecht zu QP. Denn PQ steht senkrecht auf der Tangente in Q an den zugehörigen Parallelkreis der Kugel, beide Geraden sind horizontal; ihre Schatten sind PQ und die Tangente von i in Q, sie sind also ebenfalls rechtwinkelig. Somit ist u eine äquidistante Kurve zur Ellipse i, und es kann im übrigen auf die in 538 geschilderten Verhältnisse hingewiesen werden. Bezüglich der Konstruktion von Krümmungskreisen in den Scheiteln von u' und u, der Spitzen von u und der entsprechenden Punkte auf u ist auf 552 und 554 zu verweisen.

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Das Rotationshyperboloid und seine Anwendung.

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541. Durch Rotation einer Geraden e um eine zu ihr windschiefe Achse a entsteht eine Fläche, die als Rotations hyperboloid bezeichnet wird; die Gerade e in ihren verschiedenen Lagen heißt Erzeugende der Fläche; alle Erzeugenden zusammen bilden eine Schar. Die gemeinsame Normale von e und a möge a in M und e in N treffen, dann beschreibt N von allen Punkten der Erzeugenden den kleinsten Parallelkreis k, der deshalb als Kehlkreis bezeichnet wird. Projizieren wir die Erzeugenden des Hyperboloids auf eine zur Achse senkrechte Ebene, so müssen sie die Tangenten eines Kreises k' mit dem Mittelpunkte M' und dem Radius MN bilden. Zwei Punkte von e, die gleich weit von N entfernt sind, liegen auf Parallelkreisen mit gleichem Radius, denn

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