K y H Co 2 671. Für alle Flächen 2. Grades lassen sich die Kreisschnitte durch folgende Überlegung gewinnen. Die Hauptebene, die auf den Ebenen der Kreisschnitte senkrecht steht, schneidet die Fläche in einem Kegelschnitte c; a sei eine Achse von c und einer ihrer Endpunkte (Fig. 437). Die Kreisschnitte k1 und k2 durch A treffen c außerdem noch in je einem der beiden Punkte K1 und K2, die zu x symmetrisch liegen; beide Kreise gehören einer Kugel an, für die der Kreis durch A, K1, K2 ein größter Kreis ist. Jeder Kreis dieser Kugel trifft die Fläche in vier Punkten, die paarweise auf k1 und k liegen. Insbesondere schneidet der Kugelkreis 7, dessen Ebene in x auf der Ebene von c senkrecht steht und den Hauptschnitt b enthält, die Fläche in vier zusammenfallenden Punkten, denn er berührt in A die beiden Kreise k, und k. Dieser Kugelkreis 7 hat mithin auch mit b vier unendlich nahe Punkte gemein, er ist also der Krümmungskreis von bim Scheitel A. In der Figur sind b und 7 um x in die Ebene von c als b und umgelegt; deckt sich aber mit dem Kugelkreise durch A, K1, K2, so daß K1 und K2 sich als Schnittpunkte von und c bestimmen. Nun sind für die Kurven, und e die Gerade K1K2 und die Tangente t in A gemeinsame Sehnen; demnach bilden sie nach 377 die Doppelstrahlen einer Involution, ihre Strahlenpaare gehen durch die Punktepaare, die in Bezug auf beide Kurven konjugiert sind. Als ein Paar konjugierter Punkte wählen wir einen unendlich fernen Punkt (eine bestimmte Richtung), etwa J und den Punkt J, in dem sich die zu der gewählten Richtung konjugierten Durchmesser von und c schneiden. Diese beiden Punkte 7 werden von t und KK, harmonisch getrennt, d. h. J hat von t und K1K2 gleichen Abstand. Fig. 437. 672. Ist die Fläche ein Ellipsoid mit dem Mittelpunkte 0, so sind b, und e Ellipsen mit der gleichen Halbachse 04 und den weiteren Halbachsen OC, resp. OB, wobei OC, > OB ist (Fig. 437). Der Mittelpunkt L von ergiebt sich nach 411 (GA|| CO, GC || 40, GL | AC); der Punkt J, der dem unendlich fernen Punkt von AB konjugiert ist, liegt auf dem Durchmesser JL von (JL | AB) K1K2 und auf dem Durchmesser HO von c (HA || BO, HB || AO). trifft HO in Q, wobei QJ = JH ist. Schneidet r die Kurven c und noch in A, resp. A,, so liegt offenbar der Schnittpunkt R von ÅВ mit Æ‚R (1 AB) auf KÖK2. B' N' M K2 Ist die Fläche ein elliptisches Paraboloid, so sind b。 und c Parabeln mit der gleichen Achse a und dem gleichen Scheitel 4, und es schließt b。 die Parabel c ein (Fig. 438). Ist P ein Punkt von c und L bekannt, so ist dem unendlich fernen Punkte von PA in Bezug auf beide Kurven der Punkt konjugiert, in dem sich die Geraden JL(IPA) und JM ( x) schneiden, wenn MP = MA ist. J steht von K1K2 und t gleich weit ab, ändert sich also J, bo R Fig. 438. so ändert sich K1K, und damit der Kreis ; liegt speziell J auf t, so wird der Kreis zum Krümmungskreise von c in A. Demnach bestimmt sich L als Mittelpunkt des Krümmungskreises, von b in A, indem man die Sehne AB in N halbiert (B。 ist ein beliebiger Punkt von b), von N das Lot auf t fällt und durch seinen Fußpunkt N' die Gerade N'LL AB zieht. Einfacher noch bestimmt sich der Punkt 42, der Schnittpunkt von und x, indem man von dem beliebigen Punkte B von b auf t ein Lot fällt und durch seinen Fußpunkt B' die Gerade B′A1⁄2 ¦ AB。 zieht. Offenbar liegt jetzt der Punkt R = PR × 4R auf KK, wenn PR || und A,RAP ist. 2 0 0 Ist die Fläche ein zweischaliges Hyperboloid mit dem Mittelpunkte O, so sind b, und c Hyperbeln mit der gleichen Halbachse OA und den Asymptoten OC, resp. OB, wobei OC > OB ist (Fig. 439), wenn man unter C und B die Schnittpunkte der bezüglichen Asymptoten mit der Tangente t in A versteht. Der Mittelpunkt des Krümmungskreises von b in A liegt auf der Geraden LC (1 C0). Dem unendlich fernen Punkte von OB gehört die Asymptote OB als Polare in Bezug auf b und LJ als Polare in Bezug auf zu; der ihm konjugierte Punkt J ist also der Fußpunkt des von L auf OB gefällten Lotes. K1K2 trifft OB in Q, Ο wobei QJJB_ist. Für das einschalige Hyperboloid ist die Konstruktion analog, an Stelle der Hyperbel b tritt nur eine 0 Ellipse bo mit der Halbachse 40 und der weiteren Achse Co, wobei CO> 40 ist (Fig. 440). Die Konstanten der Flächen zweiten Grades. Die Flächen durch neun, acht und sieben Punkte. 673. Kennt man von einer Fläche 2. Grades drei ebene Schnitte k, l und m, so ist ihre Schnittkurve u mit jeder anderen Ebene bestimmt, denn u enthält die sechs Punkte, in denen k, I und m von dieser Ebene geschnitten werden. Auch wenn die sechs Punkte teilweise oder insgesamt imaginär werden, ist nach 349 u. f. die Kurve u bestimmt. Wählt man die drei Kegelschnitte k, l, m beliebig, jedoch so daß sie sich paarweise in reellen oder imaginären Punkten schneiden, dann geht durch sie eine Fläche 2. Grades, wie weiterhin gezeigt werden soll. Die Annahme der Kegelschnitte k, l, m kann durch die Annahme von neun Punkten ersetzt werden; von diesen wählt man etwa fünf in der Ebene K und giebt dadurch k, drei weitere in der Ebene A und giebt dadurch 7, das ja die Schnittpunkte von ▲ mit k enthalten muß, den neunten Punkt nimmt man in der Ebene M und giebt dadurch m, das die Schnittpunkte von M mit k und enthalten muß. Es wird nun später gezeigt werden, daß auch durch neun ganz willkürlich gewählte Punkte eine Fläche 2. Grades gelegt werden kann, so dass die Zahl der Konstanten, oder der willkürlichen Punkte einer Fläche 2. Grades gleich neun ist. 1 2 2 2 2 674. Wir gehen jetzt von drei Kegelschnitten k, l, m aus, und nehmen an, daß sich 1, m in den Punkten 4, 4, ferner m, k in B1, B2, endlich k, l in C1, C2 schneiden. Wir werden beweisen, daß die Kegelschnitte k, l, m eine Fläche 2. Grades bestimmen, d. h. daß in zwei beliebigen Ebenen zwei Kegelschnitte liegen, die sich gegenseitig und jeden der Kegelschnitte k, l, m je zweimal schneiden. Die Geraden A12, B1B2, C1C2 haben den Punkt S gemein, der den drei Ebenen der drei Kegelschnitte angehört. Die vierten harmonischen Punkte zu Sund den Punktepaaren 4,42, resp. B1 B2, resp. CC, bestimmen eine Ebene Σ, welche die Polaren von S in Bezug auf jeden der drei Kegelschnitte enthält. Deshalb liegen die Punkte АВ1 × Ã„В„=P‚ ÂÂ1⁄2× Ã‚Â1=P' in E, denn PP' ist die Polare von 8 bezüglich m; ebenso liegen S die Punkte BC, × B2C2 = Q, B1C2 × B2C1 = Q, C111 × C242 = R, C12 × C2A1 = R' in Σ. Diese drei Punktepaare bilden die Gegenecken eines vollständigen Vierseits PQR, PQ'R', P'QR und P'QR sind seine Seiten denn die Punkte P, Q, R liegen in und der Ebene ABC1, die Punkte P, Q', R' liegen in Σ und der Ebene A,В1С2, etc. Es sei nun in Fig. 441 die Ebene Σ mit dem Vierseit dargestellt, seine Diagonalen PP', QQ', 1 1 29 K P B F R AERY L N RR' sind die Polaren von S in Bezug auf m, k und respektive; PP' × QQ = B, QQ × RR' -C, RR'X PP' = A sind die Schnittpunkte von Σ 1 27 mit den Geraden B1B2, С1С2, A12 respektive. Σ wird ferner von k, l, m in den Punktepaaren K, K2, LL2, MM2 geschnitten, von denen das erste durch Q und Q, das zweite durch R und R', das dritte durch P und P' harmonisch geteilt wird, da Q und Q harmonische Pole von k sind etc. Legen wir jetzt durch K1, K2, L1, L2, M1 den Kegelschnitt s, so sind QQ' und ebenso RR harmonische Pole von s, nach 381 folgt hieraus, daß auch PP' harmonische Pole von s sind, was weiter zur Folge hat, daß s auch durch M2 geht. Die sechs Schnittpunkte von Σ mit k, I und m liegen auf einem Kegelschnitte s. 2 2 2 2 2 2 2 2 Wir wählen eine neue Ebene durch S, die k, l, m in den Punktepaaren D1D2 resp. EE, resp. FF2 schneiden mag; die Punkte D, E, F, welche mit S zusammen diese Punktepaare harmonisch teilen, liegen wieder in E. Die drei Punktepaare liegen auf einem Kegelschnitten, der Σ in N1 und N2 schneiden mag, denn DEF ist die Polare von S in Bezug auf n; wir wollen nun zeigen, daß s durch N1 und N2 geht. Gehen wir von den Punktepaaren C1С2, D1D2 und EE aus und stellen die gleichen Uberlegungen wie vorher an, so erkennen wir, daß die Punkte CD1 × C2D2 = U und C1 D2 × C2D1 = U' die Sehne KK, harmonisch teilen und daß ebenso die Punkte C1E1 × C2E2 = V und CE2 × C2E1 =V' die Sehne LL, harmonisch teilen. U, U' und V, V' sind demnach Paare harmonischer Pole von s; sie bilden zwei Paar Gegenecken eines Vierseits, dessen drittes Paar die Punkte WD,E, X D2E, und W' = DE2 × DE bilden. W, W' sind also ebenfalls harmonische Pole von s, nach der Konstruktion liegen sie aber zu N12 harmonisch. In gleicher Weise schließen wir, daß die Punkte X=E1F1× E2F2 und X'=E1F2 XEF harmonische Pole von s sind, sie teilen auch die Sehne NN, harmonisch. Da aber N1N2 sowohl zu W, W' wie zu X, X' harmonisch sind, und da W, W' und X, X' harmonische Pole von s sind, so geht s durch N und N. Jede Ebene durch S schneidet somit die vier Kurven k, l, m, s in vier Punktepaaren, die auf einem Kegelschnitte liegen. Überhaupt schneiden sich je zwei Kegelschnitte, deren Ebenen durch & gehen und die k, l, m je zweimal treffen, in zwei Punkten. Denn eine beliebige Ebene durch S schneidet die fünf Kurven k, l, m, n, s in fünf Punktepaaren, und nach dem soeben gefundenen Resultate liegen sowohl die vier Punktepaare von k, l, m, s, als auch die vier Punktepaare von k, l, n, s auf einem Kegelschnitte; beide Kegelschnitte sind aber identisch, da sie sechs Punkte gemein haben. 1 2 2 2 1 Ist Tein Punkt von E, so werden alle Kegelschnitte, die k, l, m je zweimal treffen und deren Ebenen durch ST gehen, diese Gerade in den nämlichen beiden Punkten 7 und T2 schneiden, die ST harmonisch teilen. Ist n ein solcher Kegelschnitt, so ist der Schnittpunkt Z seiner Tangenten in 7 und T2 der Pol von TT; Z und T sind also harmonische Pole von n. Z und 7 sind aber |