...

B

B'

Durchmesser unserer Fläche. Sei P ein beliebiger Punkt der Fläche, und d die Parallele zu x H durch ihn, seien ferner g, und h, die Erzeugenden durch P, dann projizieren wir alle Erzeugenden durch Parallelstrahlen zu d auf die Ebene gh. Die Projektionen g1', 92', .. von 91, 92,... werden zu g, die Projektionen h, he' von h1, h2 werden zu h parallel. Es mag nun A'B'C'D' ein Parallelogramm mit dem Mittelpunkte P sein (Fig. 435), und zwar sei A'B' || C'D' || g; und B'C' || D' A' || hr. ; auf der Fläche liegt dann ein windschiefes Viereck ABCD, dessen Seiten Erzeugende sind und dessen Parallelprojektion A'B'C'D' ist. A'B' wird von h1 halbiert, die Punkte A und B haben deshalb gleichen Abstand von der Ebene gh und liegen zu verschiedenen Seiten dieser Ebene. Durch analoge Schlüsse finden wir, daß die Geraden AC und BD zu der Ebene gih parallel sind und die Gerade d in Punkten treffen die von P gleich weit abstehen. Zugleich ersehen wir, daß AC und BD von d halbiert werden, da PA' = PC' und PB' PD' ist. AC und BD sind harmonische Polaren unserer Fläche, so daß d außer P nur noch einen unendlich fernen Punkt mit ihr gemein hat, wie das auch aus dem weiter oben Gesagten folgt. Da A und damit A völlig willkürlich ist, so schließen wir, daß d alle zur Ebene gh parallelen Sehnen, die d treffen, halbiert; d ist somit ein Durchmesser der Fläche.

D

Fig. 435.

Beim Paraboloid sind die Erzeugenden der einen Schar einer Ebene parallel und die der anderen Schar einer zweiten Ebene H. In jeder Schar giebt es eine unendlich ferne Erzeugende, so daß jede Schar die Erzeugenden der anderen in ähnlichen Punktreihen trifft. Die Durchmesser der Fläche sind alle zu rx H parallel; jede zu rx H parallele Ebene ist eine Diametralebene und schneidet die Fläche in einer Parabel.

666. Zu den aufgezählten Flächen gelangen wir auch in einfachster Weise, wenn wir ihre Hauptschnitte in Betracht ziehen. Jede Fläche mit Mittelpunkt hat drei Achsen, die zugleich Achsen der Hauptschnitte sind. Treffen alle drei Achsen die Fläche in reellen Punkten, so sind die Hauptschnitte Ellipsen, die Fläche heißt Ellipsoid.

Schneidet die Fläche nur zwei Achsen in reellen, die dritte aber in imaginären Punkten, so sind die beiden Hauptschnitte durch die dritte Achse Hyperbeln, der andere Hauptschnitt ist eine Ellipse Im Endpunkte einer reellen Achse ist die Tangentialebene parallel zum Hauptschnitte durch die beiden anderen Achsen, der eine Hyperbel bildet; die Tangentialebene schneidet diese Hyperbel in ihren beiden unendlich fernen Punkten, d. h. durch ihren Berührungspunkt gehen zwei Erzeugende, die den Asymptoten der Hyperbel parallel laufen. Die vorliegende Fläche ist eine Regelfläche und heißt einschaliges Hyperboloid, da die ganze Fläche nur aus einem Stück besteht.

Schneidet die Fläche nur eine Achse in reellen Punkten, so sind die beiden Hauptschnitte durch diese Achse Hyperbeln, während der dritte Hauptschnitt ganz imaginär ist. Die Fläche besteht also aus zwei symmetrischen Teilen, die nicht miteinander zusammenhängen; die zur dritten Hauptebene parallelen Schnitte sind Ellipsen. Die Fläche heißt zweischaliges Hyperboloid.

Bei den Flächen ohne Mittelpunkt sind die Durchmesser parallel, es existiert nur eine Achse, und durch sie gehen zwei Hauptebenen, die die Fläche in Parabeln schneiden. Die Achse trifft die Fläche nur in einem im Endlichen liegenden Punkte, dem Scheitel der Fläche; er ist zugleich Scheitel jener beiden Parabeln, deren Achse die Flächenachse ist. Liegen die beiden Hauptparabeln auf der nämlichen Seite der Tangentialebene im Scheitelpunkte, so ist jeder zur Achse senkrechte Schnitt der Fläche eine Ellipse, deren Achsen von den Parabeln begrenzt werden. Die Fläche heißt elliptisches Paraboloid.

Liegen dagegen die beiden Hauptparabeln zu verschiedenen Seiten der Tangentialebene im Scheitelpunkte, so ist jeder zur Achse senkrechte Schnitt eine Hyperbel. Denn jede solche Ebene schneidet immer nur die eine Parabel in reellen Punkten, die dann die Endpunkte der Hauptachse der Hyperbel bilden, während ihre Nebenachse die Fläche nicht trifft. Die zur Achse normalen Hyperbelschnitte haben ihre Hauptachse in der einen oder anderen Hauptebene, je nachdem sie auf der einen oder anderen Seite der Tangentialebene im Scheitelpunkte liegen. In dieser Tangentialebene liegen zwei Erzeugende der Fläche, die den Asymptoten sämtlicher zur Achse normalen Hyperbelschnitte parallel sind; denn alle diese Parallelschnitte haben dieselben beiden unendlich fernen Punkte gemein. Die Fläche ist eine Regelfläche und heißt hyperbolisches Paraboloid.

Im XIV. Kapitel bringen wir die Abbildungen der genannten Flächen in schiefer Parallelprojektion; es sind dort jedesmal die Hauptschnitte und die Umrisse dargestellt, und es ermöglicht diese Art der Projektion eine bessere räumliche Vorstellung der Flächen als die Orthogonalprojektion.

667. Ein Mittel, um uns die allgemeinen Flächen 2. Grades vorzustellen, liefern uns auch die Rotationsflächen 2. Grades. Aus dem Rotationsellipsoid leitet man das allgemeine ab, indem man einen Hauptschnitt des letzteren als Meridianschnitt des ersteren wählt und alle zu dieser Meridianebene senkrechten Sehnen der Fläche in dem gleichen Verhältnisse vergrössert, oder verkleinert; natürlich bleiben dabei die Mittelpunkte der Sehnen ungeändert. Zwei Flächen, die in dieser Beziehung stehen, heißen affin. In gleicher Weise ist das einschalige Hyperboloid affin zu der Fläche, die durch Rotation einer Hyperbel um ihre Nebenachse entsteht, während das zweischalige Hyperboloid affin zu der Fläche ist, welche eine Hyperbel durch Rotation um ihre Hauptachse erzeugt. Zum Rotationsparaboloid ist das elliptische Paraboloid affin. Zum hyperbolischen Paraboloid giebt es keine affine Rotationsfläche. Denn jede Ebene schneidet die Fläche in einer Hyperbel, deren unendlich ferne Punkte auf den beiden unendlich fernen Erzeugenden der Fläche liegen, nur die der Achse parallelen Ebenen schneiden. in Parabeln; keine dieser Kurven aber kann durch Affinität in einen Kreis übergehen.

668. Wir wollen nun zeigen, daß auf den allgemeinen Flächen 2. Grades Kreise abgesehen vom hyperbolischen Paraboloid liegen, und daß man infolgedessen noch in einer zweiten, höchst einfachen Weise von den Rotationsflächen 2. Grades zu den allgemeinen gelangen kann. Nach früheren Darlegungen sind alle Parallelschnitte einer Fläche 2. Grades ähnliche Kegelschnitte, deren Mittelpunkte auf einem Durchmesser liegen; existiert also auf der Fläche ein Kreis, so sind alle Parallelschnitte auch Kreise, deren Mittelpunkte auf einem Durchmesser d liegen. Durch einen Punkt C von d ziehen wir eine Gerade a senkrecht zu den Ebenen der Parallelkreise und verschieben diese Kreise in ihren Ebenen so, daß ihre Mittelpunkte auf a rücken; dann bilden die Kreise in der neuen. Lage eine Rotationsfläche. Aus einem ebenen Schnitte der ursprünglichen Fläche durch d wird dabei ein ebener Schnitt der neuen Fläche durch a; denn die in den Parallelebenen liegenden Sehnen der ersten Kurve gehen bei der Verschiebung in parallele Sehnen der letzteren Kurve über, die natürlich a treffen. Da die

ROHN u. PAPPERITZ. II.

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Punkte der neuen Kurve aus denen der ursprünglichen durch eine Parallelverschiebung, nämlich parallel zu den Schnittgeraden der Ebene ad mit den Parallelebenen, hervorgehen, so erscheint jene als Parallelprojektion von dieser und ist somit ein Kegelschnitt. Die Rotationsfläche ist also vom 2. Grade.

Die Beziehung der allgemeinen Fläche 2. Grades zu der aus ihr abgeleiteten Rotationsfläche läßt sich auch in der folgenden Weise auffassen. Beide Flächen haben den Parallelkreis gemein, dessen Mittelpunkt in C = a × d liegt, seine Ebene sei г. Wir ordnen nun jedem Punkte P des Raumes einen Punkt P1 derart zu, daß die Parallele zu d durch P und die Parallele zu a durch P1 sich auf schneiden, und daß PP1 parallel zur Schnittlinie von ad und ist. Eine solche Beziehung der Punkte eines räumlichen Gebildes auf die Punkte eines anderen heißt Affinität; die beiden Gebilde sind affin und in affiner Lage. Die Verbindungslinien entsprechender Punkte sind parallel; die Schnittlinien entsprechender Ebenen liegen in г, ebenso die Schnittpunkte entsprechender Geraden.

669. Auf jeder Fläche 2. Grades liegen zwei Systeme von Parallelkreisen; ihre Konstruktion für die einzelnen Flächen gestaltet sich in der folgenden Weise. Ist k ein Kreisschnitt und d der Flächendurchmesser durch seinen Mittelpunkt, so ist die Ebene durch d senkrecht zur Kreisebene eine Hauptebene A unserer Fläche. Denn ein Durchmesser jenes Kreises steht auf A senkrecht und alle zu ihm parallelen Kreissehnen werden durch A halbiert; Gleiches gilt aber auch für die parallelen Sehnen der Parallelkreise. Jeder Kreisschnitt steht demnach auf einer Hauptebene senkrecht. Fällt man von den Mittelpunkten zweier Kreischnitte, deren Ebenen sich schneiden, Lote auf die Schnittgerade, so treffen sie dieselbe in dem nämlichen Punkte, liegen also in einer zu ihr normalen Ebene. Diese Ebene ist eine Hauptebene, da sie die zur Schnittgeraden parallelen Sehnen beider Kreise halbiert. Zugleich ersieht man, daß durch je zwei Kreise der Fläche 2. Grades, deren Ebenen nicht parallel sind, eine Kugelfläche gelegt werden kann. Diese kann mit der Fläche keine weiteren Punkte gemein haben, denn sonst würden alle Kugelkreise, die mit jenen Kreisen je zwei Punkte und mit der Fläche noch einen weiteren Punkt gemein haben, ganz auf der Fläche liegen. Daraus folgt weiter, daß es auf einer Fläche 2. Grades nicht drei Kreise geben kann, ohne daß zwei von ihnen Parallelschnitte sind. Denn im anderen Falle würden die drei Kreise auf einer Kugelfläche liegen, und die Fläche 2. Grades müßte mit ihr identisch sein. Die beiden Systeme von Parallel

kreisen sind zu einer Hauptebene normal und in Bezug auf die anderen symmetrisch.

2

1 2

670. Beim Ellipsoid giebt es drei verschieden lange Achsen abgesehen von Rotationsflächen - und durch die mittlere Achse giebt es zwei Kreisschnitte. Sind A12 > B1B2 > C12 die drei Achsen, so gehen zwei Kreisschnitte durch BB2 und treffen die Ellipse mit den Achsen 412, C1C2 in den vier Punkten, deren Abstände von ihrem Mittelpunkte O gleich B, B2 sind. Es sind also die Schnittpunkte dieser Ellipse mit einem koncentrischen Kreise vom Radius OB1 = OB2 zu suchen, was nach 29 oder 376 bewerkstelligt werden kann.

2

1

T'

--

陽

Beim einschaligen und zweischaligen Hyperboloid wird gleichzeitig die Fläche und ihr Asymptotenkegel in Kreisen geschnitten; es ist also die Aufgabe zu lösen: bei einem Kegel die Kreisschnitte zu bestimmen, wenn seine Achsen und seine Mantellinien in den Hauptebenen bekannt sind. Sei r die Kegelachse im Inneren des Kegelmantels, seien ferner a, a, resp. b1, b, die Mantelb1⁄2 linien in den beiden Hauptebenen durch x, und sei ▲ a1 α > <b1b2, dann wird eine Kugel, deren Mittelpunkt auf x liegt und die a1 und folglich auch a2 berührt, die Kegelfläche in zwei Kreisen schneiden. Ist in Fig. 436 M der Mittelpunkt der Kugel, so sind ihre Berührungspunkte 7 und T, mit und a2 Fußpunkte der von M auf a, resp. a, gefällten Lote; in der Figur ist die Ebene a12 um x in die Ebene b1b2 umgelegt (MT° a1°, 1° x). Die Kugel schneidet die Mantellinien b, und b, resp. in den Punkten D1, E, und D2, E2; die Kugelkreise mit den Durchmessern DE, resp. DE1, deren Ebenen also auf der Ebene b1b2 senkrecht stehen, liegen nun auf der Kegelfläche. Ein solcher Kreis hat nämlich mit dieser fünf Punkte gemein, liegt also ganz auf ihr; denn beide Kreise enthalten die Punkte 11, T2 der Kegelfläche und berühren sie noch in je zwei weiteren Punkten, der eine in D, und E, der andere in D2 und E. Daß die genannten Kreise durch T gehen, folgt aus der Relation: (TT) · (T2T') = I'D1 · T'E2 = T'D2 · T ́E ̧·

a1

die

2

2

Fig. 436.