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zeugende gg.„g, einer Schar völlig bestimmt. Denn legt man durch g, und g, Ebenenbüschel und läßt man je zwei Ebenen dieser Büschel durch den nämlichen Punkt von g, sich entsprechen, so schneiden sie sich in Erzeugenden der Regelfläche. Jede dieser Geraden trifft ja g, g, und g, hat also mit der Fläche drei Punkte gemein und liegt ganz auf ihr. Jede Ebene schneidet die projektiven Ebenenbüschel durch g, und g, in projektiven Strahlbüscheln, deren entsprechende Strahlen sich in den Punkten eines Kegelschnittes treffen; dieser ist die Schnittkurve der Ebene mit der Regelfläche. Die gemeinsamen Sekanten dreier beliebiger Geraden bilden eine Schar von Erzeugenden einer Regelfläche 2. Grades. Die Regelflächen verlaufen ins Unendliche, gehören also zu den Paraboloiden und Hyperboloiden. Um nun zu unterscheiden, welcher von beiden Flächengattungen eine Regelfläche angehört, bedenken wir, daß die Durchmesser eines Hyperboloides sich in seinem Mittelpunkte schneiden und daß die Durchmesser eines Paraboloides zu einander parallel laufen. Sind g, g, g, drei Erzeugende, die nicht der nämlichen Ebene parallel laufen, so giebt es zu jeder von ihnen eine parallele Erzeugende der anderen Schar, h, |g, h, |g, h, |g. Die Erzeugenden h schneiden ja die g in projektiven Punktreihen, h, verbindet also die Punkte von g, und g, die hierbei dem unendlich fernen Punkte von g, entsprechen; analog finden sich h, und h. In Fig. 434 sind die ersten Projektionen dieser Geraden dargestellt, G, Fig. 434. G, G, H%, H, H., seien ihre ersten Spurpunkte und Go, Go, Go, Ho, Ho, Ho, ihre Spurpunkte in einer Parallelebene. Macht man GJH GoG, so ist G+J die erste Spur einer Ebene durch g, die parallel zu g, liegt, ebenso ist G"K (GKH GoG) die erste Spur einer Ebene durch g, die parallel zu g, liegt. GJ x G„K = H, ist also der erste Spurpunkt der gesuchten Geraden h, (H„H“+ G„G“). Die sechs Punkte G, H, liegen auf der ersten Spurkurve c, der Fläche, ebenso liegen die sechs Punkte G, H auf der Spurkurve c' in der Parallelebene, die sechs Geraden g, h, berühren den scheinbaren Umriß u der Fläche. In der

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Figur sind die Striche, als Zeichen der ersten Projektion, weggelassen.

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Die Ebenen gh, und hg, sind dann parallele Tangentialebenen und die Verbindungslinie P„Q, ihrer Berührungspunkte P% =g, ×h, und Q,=h, ×g, ist ein Durchmesser der Fläche. Ganz ebenso sind PQ, und P„Q, Durchmesser dieser Fläche, wo P =g, × h, Q% =h, ×g, P% =g, × h, und Q% =h, X g sind. PPQQ, ist ein Parallelogramm, denn die Seiten P„Q, und Q„P, liegen auf den parallelen Geraden g, und h, und die Seiten P„P, und Q, Q, werden aus der Ebene gh, durch die parallelen Ebenen gh, und hig, ausgeschnitten. Die Durchmesser PQ, und P„Q, schneiden sich im Mittelpunkte O des Parallelogramms PPQ, Q, der zugleich Mittelpunkt der Fläche ist; die Fläche ist ein Hyperboloid. Beim Hyperboloid giebt es zu jeder Erzeugenden der einen Schar eine parallele Erzeugende der anderen Schar; zwei Paare paralleler Erzeugenden schneiden sich in den Endpunkten eines Durchmessers, dessen Mittelpunkt der Flächenmittelpunkt ist. Jede Ebene, die das Hyperboloid in zwei parallelen Erzeugenden schneidet, berührt seinen Asymptotenkegel längs einer Mantellinie, die in der Mitte zwischen den beiden Erzeugenden liegt. 665. Sind g, g, g, drei Erzeugende einer Regelfläche, und sind diese einer Ebene T parallel, so sind ihre gemeinsamen Sekanten h, h, h, . . . einer zweiten Ebene H parallel. Denn die Erzeugenden h treffen die Geraden g, g, g, in ähnlichen Punktreihen, da sie projektiv sind und ihre unendlich fernen Punkte sich gegenseitig entsprechen. Es kann nämlich keine Erzeugende h geben, die zu g, parallel ist, da dann h zu T parallel wäre und g, und g, treffen müßte, die in zwei verschiedenen, zu T parallelen Ebenen liegen. Die ähnlichen Punktreihen auf den Geraden g werden aber durch parallele Ebenen ausgeschnitten; denn enthält h, entsprechende Punkte der Reihen, und enthält auch h, entsprechende Punkte, so schneidet jede Ebene, die zu h, und h, parallel ist, die Geraden g in entsprechenden Punkten der ähnlichen Reihen. Jede zu T parallele Ebene schneidet die Fläche in einer Erzeugenden g, aber in keiner im Endlichen liegenden Erzeugenden h; diese müßte ja die Schnittpunkte aller Erzeugenden g mit T enthalten, die alle unendlich fern sind. Ebenso schneidet jede zu H parallele Ebene die Fläche in einer Erzeugenden h und in einer unendlich fernen Geraden, die zur Schar der Erzeugenden g gehört. Auf unserer Fläche liegen demnach zwei unendlich ferne Erzeugende, aus jeder Schar eine.

Jede zur Schnittlinie von T und H parallele Gerade ist ein

Durchmesser unserer Fläche. Sei P ein beliebiger Punkt der Fläche, und d die Parallele zu T x H durch ihn, seien ferner g, und h, die Erzeugenden durch P, dann projizieren wir alle Erzeugenden durch Parallelstrahlen zu d auf die Ebene gh. Die Projektionen g', g,“, ... von g, g, . . . werden zu g, die Projektionen h,“ h' . . . von h, h, . . . werden zu h, parallel. Es mag nun A“B"C/D" ein Parallelogramm mit dem Mittelpunkte Po sein (Fig. 435), und zwar sei A“B“ C/D"g, und BC“ [D/A“|h: auf der Fläche liegt dann ein wind- a Zoo schiefes Viereck ABCD, dessen Seiten Erzeugende sind und dessen Parallelprojektion A/B/C/D" ist. A“B” wird von h, halbiert, die Punkte A und B haben deshalb gleichen Abstand von Z der Ebene gh, und liegen zu verschiedenen Seiten dieser Ebene. Durch “ analoge Schlüsse finden wir, daß die Geraden AC und BD zu der Ebene Fig. 435. g/h, parallel sind und die Gerade d in Punkten treffen die von Po gleich weit abstehen. Zugleich ersehen wir, daß AC und BD von d halbiert werden, da PA“ = PC“ und PB = PD" ist. AC und BD sind harmonische Polaren unserer Fläche, so daß d außer P nur noch einen unendlich fernen Punkt mit ihr gemein hat, wie das auch aus dem weiter oben Gesagten folgt. Da A“ und damit A völlig willkürlich ist, so schließen wir, daß d alle zur Ebene gh, parallelen Sehnen, die d treffen, halbiert; d ist somit ein Durchmesser der Fläche.

Beim Paraboloid sind die Erzeugenden der einen Schar einer Ebene T parallel und die der anderen Schar einer zweiten Ebene H. In jeder Schar giebt es eine unendlich ferne Erzeugende, so daß jede Schar die Erzeugenden der anderen in ähnlichen Punkt reihen trifft. Die Durchmesser der Fläche sind alle zu T x H parallel; jede zu T x H parallele Ebene ist eine Diametralebene und schneidet die Fläche in einer Parabel.

666. Zu den aufgezählten Flächen gelangen wir auch in einfachster Weise, wenn wir ihre Hauptschnitte in Betracht ziehen. Jede Fläche mit Mittelpunkt hat drei Achsen, die zugleich Achsen der Hauptschnitte sind. Treffen alle drei Achsen die Fläche in reellen Punkten, so sind die Hauptschnitte Ellipsen, die Fläche heißt Ellipsoid.

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Schneidet die Fläche nur zwei Achsen in reellen, die dritte aber in imaginären Punkten, so sind die beiden Hauptschnitte durch die dritte Achse Hyperbeln, der andere Hauptschnitt ist eine Ellipse Im Endpunkte einer reellen Achse ist die Tangentialebene parallel zum Hauptschnitte durch die beiden anderen Achsen, der eine Hyperbel bildet; die Tangentialebene schneidet diese Hyperbel in ihren beiden unendlich fernen Punkten, d. h. durch ihren Berührungspunkt gehen zwei Erzeugende, die den Asymptoten der Hyperbel parallel laufen. Die vorliegende Fläche ist eine Regelfläche und heißt einschaliges Hyperboloid, da die ganze Fläche nur aus einem Stück besteht.

Schneidet die Fläche nur eine Achse in reellen Punkten, so sind die beiden Hauptschnitte durch diese Achse Hyperbeln, während der dritte Hauptschnitt ganz imaginär ist. Die Fläche besteht also aus zwei symmetrischen Teilen, die nicht miteinander zusammenhängen; die zur dritten Hauptebene parallelen Schnitte sind Ellipsen. Die Fläche heißt zweischaliges Hyperboloid.

Bei den Flächen ohne Mittelpunkt sind die Durchmesser parallel, es existiert nur eine Achse, und durch sie gehen zwei Hauptebenen, die die Fläche in Parabeln schneiden. Die Achse trifft die Fläche nur in einem im Endlichen liegenden Punkte, dem Scheitel der Fläche; er ist zugleich Scheitel jener beiden Parabeln, deren Achse die Flächenachse ist. Liegen die beiden Hauptparabeln auf der nämlichen Seite der Tangentialebene im Scheitelpunkte, so ist jeder zur Achse senkrechte Schnitt der Fläche eine Ellipse, deren Achsen von den Parabeln begrenzt werden. Die Fläche heißt elliptisches Paraboloid.

Liegen dagegen die beiden Hauptparabeln zu verschiedenen Seiten der Tangentialebene im Scheitelpunkte, so ist jeder zur Achse senkrechte Schnitt eine Hyperbel. Denn jede solche Ebene schneidet immer nur die eine Parabel in reellen Punkten, die dann die Endpunkte der Hauptachse der Hyperbel bilden, während ihre Nebenachse die Fläche nicht trifft. Die zur Achse normalen Hyperbelschnitte haben ihre Hauptachse in der einen oder anderen Hauptebene, je nachdem sie auf der einen oder anderen Seite der Tangentialebene im Scheitelpunkte liegen. In dieser Tangentialebene liegen zwei Erzeugende der Fläche, die den Asymptoten sämtlicher zur Achse normalen Hyperbelschnitte parallel sind; denn alle diese Parallelschnitte haben dieselben beiden unendlich fernen Punkte gemein. Die Fläche ist eine Regelfläche und heißt hyperbolisches Paraboloid.

Im XIV. Kapitel bringen wir die Abbildungen der genannten Flächen in schiefer Parallelprojektion; es sind dort jedesmal die Hauptschnitte und die Umrisse dargestellt, und es ermöglicht diese Art der Projektion eine bessere räumliche Vorstellung der Flächen als die Orthogonalprojektion.

667. Ein Mittel, um uns die allgemeinen Flächen 2. Grades vorzustellen, liefern uns auch die Rotationsflächen 2. Grades. Aus dem Rotationsellipsoid leitet man das allgemeine ab, indem man einen Hauptschnitt des letzteren als Meridianschnitt des ersteren wählt und alle zu dieser Meridianebene senkrechten Sehnen der Fläche in dem gleichen Verhältnisse vergrössert, oder verkleinert; natürlich bleiben dabei die Mittelpunkte der Sehnen ungeändert. Zwei Flächen, die in dieser Beziehung stehen, heißen affin. In gleicher Weise ist das einschalige Hyperboloid affin zu der Fläche, die durch Rotation einer Hyperbel um ihre Nebenachse entsteht, während das zweischalige Hyperboloid affin zu der Fläche ist, welche eine Hyperbel durch Rotation um ihre Hauptachse erzeugt. Zum Rotationsparaboloid ist das elliptische Paraboloid affin. Zum hyperbolischen Paraboloid giebt es keine affine Rotationsfläche. Denn jede Ebene schneidet die Fläche in einer Hyperbel, deren unendlich ferne Punkte auf den beiden unendlich fernen Erzeugenden der Fläche liegen, nur die der Achse parallelen Ebenen schneiden in Parabeln; keine dieser Kurven aber kann durch Affinität in einen Kreis übergehen.

668. Wir wollen nun zeigen, daß auf den allgemeinen Flächen 2. Grades – abgesehen vom hyperbolischen Paraboloid – Kreise liegen, und daß man infolgedessen noch in einer zweiten, höchst einfachen Weise von den Rotationsflächen 2. Grades zu den allgemeinen gelangen kann. Nach früheren Darlegungen sind alle Parallelschnitte einer Fläche 2. Grades ähnliche Kegelschnitte, deren Mittelpunkte auf einem Durchmesser liegen; existiert also auf der Fläche ein Kreis, so sind alle Parallelschnitte auch Kreise, deren Mittelpunkte auf einem Durchmesser d liegen. Durch einen Punkt C von d ziehen wir eine Gerade a senkrecht zu den Ebenen der Parallelkreise und verschieben diese Kreise in ihren Ebenen so, daß ihre Mittelpunkte auf a rücken; dann bilden die Kreise in der neuen Lage eine Rotationsfläche. Aus einem ebenen Schnitte der ursprünglichen Fläche durch d wird dabei ein ebener Schnitt der neuen Fläche durch a; denn die in den Parallelebenen liegenden Sehnen der ersten Kurve gehen bei der Verschiebung in parallele Sehnen der letzteren Kurve über, die natürlich a treffen. Da die

RoHN u. PAPPERITz. II. 12

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