dieser Flächen gegen das unendlich Ferne ist nun noch näher zu ergründen.

c

Seien a, b, c drei konjugierte Durchmesser der Fläche, so daß a zur Diametralebene Abc, b zu Bac und e zu rab konjugiert ist, sei ferner dem Durchmesser d die Diametralebene ▲ konjugiert, so kann man zu jedem weiteren Durchmesser e die konjugierte Diametralebene E konstruieren. Den vier Ebenen B, г, ad, ae durch a gehören ja als konjugierte Durchmesser vier Strahlen. in A zu, nämlich b, c, A X ▲ und A × E; die ersten drei sind bekannt und der vierte bestimmt sich durch das Doppelverhältnis dieser vier Strahlen, das demjenigen der vier Ebenen gleich ist. Damit ist die Schnittlinie von E mit A gefunden und analog finden sich die Schnittlinien von E mit B resp. г. Zwei konjugierte Durchmesser der Fläche sind auch konjugierte Durchmesser der in ihrer Ebene liegenden Schnittkurve. Die konjugierten Durchmesser eines Diametralschnittes bilden die Strahlenpaare einer Involution, deren Doppelstrahlen seine Asymptoten sind; die Asymptoten der Diametralschnitte (Hyperbeln) sind auch Asymptoten der Fläche 2. Grades, d. h. sie berühren sie im Unendlichen. Alle von dem

Mittelpunkte einer Fläche 2. Grades an sie gelegten Tangenten sind Asymptoten, d. h. sie berühren sie im Unendlichen; denn es ist das für alle Diametralschnitte der Fall. Es kann dies auch daraus gefolgert werden, daß alle zu O konjugierten Punkte unendlich fern liegen.

661. Die Asymptoten aller Diametralschnitte bilden einen Kegel, den Asymptotenkegel der Fläche. Es ergiebt sich dies schon daraus, daß die Flächentangenten aus einem beliebigen Raumpunkte einen Kegel bilden, wir wollen indes die Sache noch etwas weiter verfolgen. Schneiden wir die Durchmesser a, b, c, d und ihre konjugierten Diametralebenen A, B, г, ▲ mit einer beliebigen Ebene П, und sind Д1, B1, C1, D1 die zugehörigen Spurpunkte und a, b, c, d, die zugehörigen Spurlinien (Fig. 433), so läßt sich, analog wie vorher, zum Spurpunkte E, von e die Spurlinie e der konjugierten Diametralebene E finden. Es existiert nun in П ein Kegelschnitt u, für den der Spurpunkt eines jeden Durchmessers der Fläche der Pol der Spurlinie seiner konjugierten Diametralebene ist; es braucht das nur für 4,, B1, C1, D1, E1 und a, b, c, d, e1 gezeigt zu werden, da E, beliebig angenommen worden ist. Um nun den Kegelschnitt u zu konstruieren, für den A,B,C, ein Polardreieck und D1 der Pol von d ist, bedenke man, daß A, und Â1⁄2 = α1 × Â1⁄2Ð ̧ und ebenso D1 und D2 = d1 × Â ̧Ð ̧ harmonische

1

2

2

Pole von u sind; die Doppelpunkte J und K der Involution, der die Punktepaare D1, D2 und A1, 4, angehören, sind also Punkte von u, und §J, SK sind die zugehörigen Tangenten, wenn §1 =α1 × d1 ist. Der Kegelschnitt u kann also

Eu

AT

auch definiert werden durch einen Punkt J, die zugehörige Tangente SJ und das Polardreieck; durch ein Polardreieck und zwei Punkte ist aber ein Kegelschnitt eindeutig bestimmt. Den Geraden b1, C1, AD1 und ДЕ gehören als Pole von u vier Punkte von a, zu, nämlich B1, C1, S1, T1, wobei das Doppelverhältnis dieser vier Punkte gleich dem der Geraden ist. Die Polare von E, geht also durch den Punkt T von a1, ebenso findet man ihre Punkte auf b1 und c1; diese Gerade ist aber nach der vorangehenden Definition Definition nichts anderes als e1. u ist somit die Spurkurve des Asymptotenkegels in П. Offenbar existiert keine Kurve u, und damit auch kein Asymptotenkegel, wenn die Involutionen harmonischer Pole auf den drei Geraden A,D1, B1D1 und C1D1 gleichlaufend, d. h. ohne Doppelpunkte sind. Denn eine Ecke des Polardreiecks В1С1 muß im Innern von u liegen, falls u reell ist, und eine jener drei Geraden muß dann u in zwei reellen Punkten treffen.

Fig. 433.

662. Ein Hyperboloid und sein Asymptotenkegel werden von jeder Ebene in koncentrischen, ähnlichen und ähnlich gelegenen Kegelschnitten geschnitten. Denn jeder Durchmesser und seine ihm in Bezug auf die Fläche konjugierte Diametralebene sind auch hinsichtlich des Kegels konjugiert. Daraus folgt, daß eine zu einer Diametralebene parallele Ebene Fläche und Kegel in Kurven schneidet, deren gemeinsamer Mittelpunkt auf dem konjugierten Durchmesser liegt, und daß zwei Durchmesser dieser Kurven, die zu zwei konjugierten Durchmessern in der Diametralebene parallel sind, für beide Kurven konjugiert sind, woraus sich die Ähnlichkeit ergiebt. Unmittelbar fließt hieraus der weitere Satz: Auf jeder Geraden liegen zwei gleiche Strecken, die einerseits von dem Hyperboloid, andererseits von seinem

Asymptotenkegel begrenzt werden. Die Achsen des Hyperboloides sind zugleich die Achsen seines Asymptotenkegels.

663. Die Einteilung der Flächen 2. Grades in Ellipsoide, Paraboloide und Hyperboloide basiert auf ihrem Verhalten gegen die unendlich ferne Ebene. Einen zweiten Einteilungsgrund bildet ihr Verhalten gegen die Tangentialebenen, denn sie hat nach 645 mit denselben entweder zwei reelle Geraden oder nur einen reellen Punkt (zwei konjugiert imaginäre Geraden) gemein. Liegt auf einer Fläche 2. Grades eine reelle Gerade, so gehen durch jeden ihrer Punkte zwei Gerade oder Erzeugende; sie bilden zwei Scharen, deren Geraden sich gegenseitig schneiden, während die Geraden der nämlichen Schar zu einander windschief sind. Solche Flächen nennt man Regelflächen; die Erzeugenden jeder Schar können als Schnittlinien entsprechender Ebenen zweier projektiver Ebenenbüschel erhalten werden. In der That ist g1 eine Gerade unserer Fläche, so schneiden die Ebenen durch g, die Fläche je in einer weiteren Geraden, etwa h1, ha, ha, ha, . . ., alle diese Geraden treffen 91. Die Ebenen durch h1 schneiden unsere Fläche auch in je einer weiteren Geraden, etwa 91, 92, 93, 94, die alle die Gerade h, treffen. Aber jede dieser Geraden g schneidet jede der Geraden h, so schneiden sich g, und h; denn gh1 und hg, sind zwei ebene Schnittkurven der Fläche, beide müssen sich in zwei Punkten schneiden, das sind offenbar die Punkte g1 × hr und g, h, da g1, g, und ebenso h,, h sich nicht treffen. Legt man nun sowohl durch g, wie durch g2 Ebenen, die der Reihe nach die Erzeugenden h, ha, ha, h... enthalten, und läßt je zwei Ebenen durch die nämliche Gerade h, sich entsprechen, so sind die beiden Ebenenbüschel projektiv, denn sie schneiden die Gerade g3 in der nämlichen Punktreihe. Da diese Ebenenbüschel projektiv sind, schneiden sie alle Geraden g in projektiven Punktreihen, d. h. die Erzeugenden jeder Schar treffen die der anderen Schar in projektiven Punktreihen.

4

92

Der Berührungspunkt einer Ebene durch g mit dem Hyperboloid ist der Schnittpunkt von g mit der in ihr liegenden Erzeugenden der anderen Schar. Deshalb gilt der Satz: Die Ebenen durch eine Erzeugende eines Hyperboloides berühren dasselbe in Punkten dieser Erzeugenden, dabei ist der Büschel der Ebenen zu der Reihe der Berührungspunkte projektiv.

664. Eine Regelfläche 2. Grades ist durch drei Er

zeugende 91929, einer Schar völlig bestimmt. Denn legt man durch und 92 91 Ebenenbüschel und läßt man je zwei Ebenen dieser Büschel durch den nämlichen Punkt von g, sich entsprechen, so schneiden sie sich in Erzeugenden der Regelfläche. Jede dieser Geraden trifft ja 91, 92 und 9, hat also mit der Fläche drei Punkte gemein und liegt ganz auf ihr. Jede Ebene schneidet die projektiven Ebenenbüschel durch 91 und 92 in projektiven Strahlbüscheln, deren entsprechende Strahlen sich in den Punkten eines Kegelschnittes treffen; dieser ist die Schnittkurve der Ebene mit der Regelfläche. Die gemeinsamen Sekanten dreier beliebiger Geraden bilden. eine Schar von Erzeugenden einer Regelfläche 2. Grades.

P

G

G2

Die Regelflächen verlaufen ins Unendliche, gehören also zu den Paraboloiden und Hyperboloiden. Um nun zu unterscheiden, welcher von beiden Flächengattungen eine Regelfläche angehört, bedenken wir, daß die Durchmesser eines Hyperboloides sich in seinem Mittelpunkte schneiden und daß die Durchmesser eines Paraboloides zu einander parallel laufen. Sind g1, 92, 93 drei Erzeugende, die nicht der nämlichen Ebene parallel laufen, so giebt es zu jeder von ihnen eine parallele Erzeugende der anderen Schar, hg1, h2|| 921 hg || 98. Die Erzeugenden h schneiden ja die g in projektiven Punktreihen, h1 verbindet also die Punkte von g, und g, die hierbei dem unendlich fernen Punkte von g, entsprechen; analog finden sich h2 und h. In Fig. 434 sind die ersten Projektionen dieser Geraden dargestellt, G1, G2, Gз, H1, H2, H ̧ seien ihre

92

=

2

Gf

1/
ΧΟ

H'

JH2

Fig. 434.

ersten Spurpunkte und G1, G2, G3, H1, H2, H3, ihre Spurpunkte in einer Parallelebene. Macht man G1JG2G2, so ist G1J die erste Spur einer Ebene durch g1, die parallel zu g2 liegt, ebenso ist G3K (G3KG2G2) die erste Spur einer Ebene durch 93, die parallel zu 92 liegt. GJX GK H2 ist also der erste Spurpunkt der geG1J× suchten Geraden h2 (H2H2 G2G2). Die sechs Punkte G, H, liegen auf der ersten Spurkurve c, der Fläche, ebenso liegen die sechs Punkte G3, Hi auf der Spurkurve c1 in der Parallelebene, die sechs Geraden gir hi berühren den scheinbaren Umriß u der Fläche. In der Figur sind die Striche, als Zeichen der ersten Projektion, weggelassen.

2

3

2

2

3

Die Ebenen gh, und hg, sind dann parallele Tangentialebenen und die Verbindungslinie PQ, ihrer Berührungspunkte P2 =g1 × h2 und Q = h1 × 92 ist ein Durchmesser der Fläche. Ganz ebenso sind PQ und P2 Durchmesser dieser Fläche, wo P1 = 92 × h2, Q1 = h2 × 93, P2 = 93 × h1 und Q2 = h ̧ × g, sind. P12QQ2 ist ein Parallelogramm, denn die Seiten PQ, und QP, liegen auf den parallelen Geraden g, und h, und die Seiten PP, und Q1Q2 werden aus der Ebene gh, durch die parallelen Ebenen gh, und hög1 ausgeschnitten. Die Durchmesser P11 und P2Q2 schneiden sich im Mittelpunkte O des Parallelogramms P12Q1Q2, der zugleich Mittelpunkt der Fläche ist; die Fläche ist ein Hyperboloid. Beim Hyperboloid giebt es zu jeder Erzeugenden der einen Schar eine parallele Erzeugende der anderen Schar; zwei Paare paralleler Erzeugenden schneiden sich in den Endpunkten eines Durchmessers, dessen Mittelpunkt der Flächenmittelpunkt ist. Jede Ebene, die das Hyperboloid in zwei parallelen Erzeugenden schneidet, berührt seinen Asymptotenkegel längs einer Mantellinie, die in der Mitte zwischen den beiden Erzeugenden liegt.

92

665. Sind 91, 92, 93 drei Erzeugende einer Regelfläche, und sind diese einer Ebene parallel, so sind ihre gemeinsamen Sekanten h, ha, hz . . einer zweiten Ebene H parallel. Denn die Erzeugenden h treffen die Geraden 91, 92, 93 in ähnlichen Punktreihen, da sie projektiv sind und ihre unendlich fernen Punkte sich gegenseitig entsprechen. Es kann nämlich keine Erzeugende h geben, die zu g1 parallel ist, da dann h zu parallel wäre und g2 und 93 treffen müßte, die in zwei verschiedenen, zur parallelen Ebenen liegen. Die ähnlichen Punktreihen auf den Geraden g werden aber durch parallele Ebenen ausgeschnitten; denn enthält h entsprechende Punkte der Reihen, und enthält auch h2 entsprechende Punkte, so schneidet jede Ebene, die zu h, und h2 parallel ist, die Geraden 9 in entsprechenden Punkten der ähnlichen Reihen. Jede zu parallele Ebene schneidet die Fläche in einer Erzeugenden g, aber in keiner im Endlichen liegenden Erzeugenden h; diese müßte ja die Schnittpunkte aller Erzeugenden g mit enthalten, die alle unendlich fern sind. Ebenso schneidet jede zu H parallele Ebene die Fläche in einer Erzeugenden h und in einer unendlich fernen Geraden, die zur Schar der Erzeugenden g gehört. Auf unserer Fläche liegen demnach zwei unendlich ferne Erzeugende, aus jeder Schar eine.

Jede zur Schnittlinie von und H parallele Gerade ist ein