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können wir im Raume die Punkte sich wechselseitig entsprechen lassen, indem wir je zwei Punkte einander zuordnen, deren Verbindungslinie durch einen festen Punkt, das Centrum, geht und durch dieses und eine feste Ebene harmonisch geteilt wird. Diese Beziehung führt den Namen: involutorische Centralprojektion oder in volutorische Kollineation des Raumes. Eine Fläche 2. Grades entspricht sich selbst in Bezug auf jede involutorische Centralprojektion, deren Centrum ein beliebiger Punkt und deren feste Ebene seine Polarebene ist; dabei entsprechen sich die Punkte der Fläche und ebenso ihre Ebenen paarweise, die Verbindungslinie jener geht durchs Centrum, die Schnittlinie dieser liegt in der festen Ebene. Im allgemeinen entspricht bei der genannten Beziehung jeder Fläche zweiten Grades wieder eine solche. 659. Ist O, das Centrum und E, die feste Ebene einer involutorischen Centralprojektion und spielen O, und E, die gleiche Rolle für eine zweite derartige Projektion, wobei zugleich O, in E, und O, in E, liegen soll, so können wir jedem Punkte des Raumes denjenigen entsprechen lassen, der aus ihm hervorgeht, wenn wir beide Projektionen hintereinander auf ihn anwenden. Dabei wird sich zeigen, daß die Reihenfolge, in der wir diese Projektionen anwenden, gleichgültig ist. Sei in Fig. 432 P ein beliebiger Punkt, und schneidet die Ebene 0,0 P die Gerade E, × E,=s im Punkte J, so geht aus Po durch die erste ProFig. 432. jektion P. hervor, wenn PPO, K harmonisch liegen und K= P0, × OJ ist, und aus Po, geht durch die zweite Projektion Po" hervor, wenn PPO, L harmonisch liegen und L=PO, × 0J ist. Die Punkte O, KPP projizieren wir von J auf die Gerade LO„P, und erhalten vier harmonische Punkte, von denen drei mit L, O, P% resp. sich decken, so daß P" als vierter harmonischer Punkt zu ihnen auf JP liegt. Ist M = 0,0 x PP“, so liegen auch PP'JM harmonisch, denn sie liegen auf den harmonischen Strahlen OP, OP, OL, 0,0. Der

1+ 1 ) entsprechende Punkt P' zu Po wird also gefunden, indem man durch

P eine gemeinsame Sekante zu s und O, O, zieht (sie ist die Schmittlinie der Ebene O, O„P und SP) und auf ihr den Punkt P" sucht, der mit P in Bezug auf s und O, O, harmonisch liegt. Offenbar gelangt man zu demselben Punkte, wenn man erst den Punkt P,

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konstruiert, der mit Po harmonisch zu O, und E, liegt, und dann den Punkt Po, der mit P, harmonisch zu O, und E, liegt. Wir erhalten also das Resultat: Sind a und b zwei feste Achsen und läßt man je zwei Punkte sich gegenseitig entsprechen, die durch die Achsen harmonisch getrennt werden, deren Verbindungslinie also die Achsen schneidet, so entsteht das geschartinvolutorische System. Die hier definierte Zuordnung der Punktepaare läßt sich auch durch Anwendung zweier involutorischer Centralprojektionen hintereinander erzielen. Die Centren dieser Projektionen liegen dabei auf einer der Achsen, ihre festen Ebenen gehen durch die andere, und zwar muß die feste Ebene jeder Projektion das Centrum der anderen enthalten. Entsprechende Ebenen im geschart-involutorischen System werden durch die Achsen a und b harmonisch getrennt, d. h. ihre Schnittlinie trifft beide Achsen und bestimmt mit ihnen Ebenen, die zu jenen Ebenen harmonisch liegen. Denn verbindet man einen Punkt der einen Ebene mit dem entsprechenden Punkte der entsprechenden Ebene, so wird diese Verbindungslinie durch die Achsen harmonisch geteilt. Je zwei konjugierte Polaren einer Fläche 2. Grades bilden die Achsen eines geschartinvolutorischen Systems, in dem sich die Fläche selbst entspricht. Die Punkte der Fläche, wie ihre Tangentialebenen, liegen paarweise harmonisch zu den konjugierten Polaren und entsprechen sich im System. Einer Fläche 2. Grades entspricht in dem genannten System stets wieder eine Fläche 2. Grades.

Einteilung der Flächen zweiten Grades; ihre Beziehung zu den Rotationsflächen; Kreisschnitte.

660. Wir haben bereits eine Einteilung der Flächen in solche mit und solche ohne Mittelpunkt getroffen und haben den letzteren den Namen: Paraboloide beigelegt. Das Verhalten der Flächen mit Mittelpunkt gegen die unendlich ferne Ebene gestattet uns diese noch weiter einzuteilen, ganz wie das bei den Kegelschnitten der Fall war. Eine Ebene durch den Mittelpunkt der Fläche schneidet sie entweder gar nicht oder in einem Kegelschnitte, dessen Mittelpunkt mit dem der Fläche zusammenfällt. Sind alle solche Schnitte Ellipsen, so liegt die Fläche ganz im Endlichen und führt den Namen: Ellipsoid. Sind Hyperbeln unter den Diametralschnitten, so verläuft die Fläche ins Unendliche und wir haben es mit Flächen zu thun, die den Namen: Hyperboloide führen. Das Verhalten dieser Flächen gegen das unendlich Ferne ist nun noch näher zu ergründen. Seien a, b, c drei konjugierte Durchmesser der Fläche, so daß a zur Diametralebene A=bc, b zu B=ac und c zu T = ab konjugiert ist, sei ferner dem Durchmesser d die Diametralebene A konjugiert, so kann man zu jedem weiteren Durchmesser e die konjugierte Diametralebene E konstruieren. Den vier Ebenen B, T, ad, ae durch a gehören ja als konjugierte Durchmesser vier Strahlen in A zu, nämlich b, c, AXA und A × E; die ersten drei sind bekannt und der vierte bestimmt sich durch das Doppelverhältnis dieser vier Strahlen, das demjenigen der vier Ebenen gleich ist. Damit ist die Schnittlinie von E. mit A gefunden und analog finden sich die Schnittlinien von E mit B resp. T. Zwei konjugierte Durchmesser der Fläche sind auch konjugierte Durchmesser der in ihrer Ebene liegenden Schnittkurve. Die konjugierten Durchmesser eines Diametralschnittes bilden die Strahlenpaare einer Involution, deren Doppelstrahlen seine Asymptoten sind; die Asymptoten der Diametralschnitte (Hyperbeln) sind auch Asymptoten der Fläche 2. Grades, d. h. sie berühren sie im Unendlichen. Alle von dem Mittelpunkte O einer Fläche 2. Grades an sie gelegten Tangenten sind Asymptoten, d. h. sie berühren sie im Unendlichen; denn es ist das für alle Diametralschnitte der Fall. Es kann dies auch daraus gefolgert werden, daß alle zu O konjugierten Punkte unendlich fern liegen. 661. Die Asymptoten aller Diametralschnitte bilden einen Kegel, den Asymptotenkegel der Fläche. Es ergiebt sich dies schon daraus, daß die Flächentangenten aus einem beliebigen Raumpunkte einen Kegel bilden, wir wollen indes die Sache noch etwas weiter verfolgen. Schneiden wir die Durchmesser a, b, c, d und ihre konjugierten Diametralebenen A, B, T, A mit einer beliebigen Ebene TT, und sind A, B, C, D, die zugehörigen Spurpunkte und a, b, c, d, die zugehörigen Spurlinien (Fig. 433), so läßt sich, analog wie vorher, zum Spurpunkte E von e die Spurlinie e, der konjugierten Diametralebene E finden. Es existiert nun in TT ein Kegelschnitt u, für den der Spurpunkt eines jeden Durchmessers der Fläche der Pol der Spurlinie seiner konjugierten Diametralebene ist; es braucht das nur für A, B, C, D, E und a, b, c, d, e, gezeigt zu werden, da E beliebig angenommen worden ist. Um nun den Kegelschnitt u zu konstruieren, für den A, B, C, ein Polardreieck und D, der Pol von d ist, bedenke man, daß A, und A,=a, XAD und ebenso D. und D. =d X A, D, harmonische Pole von u sind; die Doppelpunkte J und K der Involution, der die Punktepaare D, D, und A, A, angehören, sind also Punkte von u, und SJ, SK sind die zugehörigen Tangenten, wenn S =a, Xd, ist. Der Kegelschnitt u kann also auch definiert werden durch einen Punkt J, die zugehörige Tangente SJ und das Polardreieck; durch ein Polardreieck und zwei Punkte ist aber ein Kegelschnitt eindeutig bestimmt. Den Geraden b, c, A, D, und A, E, gehören als Pole von zu vier Punkte von a, zu, nämlich B, C, S, T., wobei das Doppelverhältnis dieser vier Punkte gleich dem der Geraden ist. Die Polare von E, geht also durch den Punkt T. von a, ebenso findet man ihre Punkte auf b, und c; diese Gerade ist aber nach der vorangehenden Definition nichts Fig. 433. anderes als e,. u ist somit die Spurkurve des Asymptotenkegels in TT. Offenbar existiert keine Kurve zu, und damit auch kein Asymptotenkegel, wenn die Involutionen harmonischer Pole auf den drei Geraden A, D, B„D, und CD, gleichlaufend, d. h. ohne Doppelpunkte sind. Denn eine Ecke des Polardreiecks A, B, C, muß im Innern von zu liegen, falls zu reell ist, und eine jener drei Geraden muß dann u in zwei reellen Punkten treffen. 662. Ein Hyperboloid und sein Asymptotenkegel werden von jeder Ebene in koncentrischen, ähnlichen und ähnlich gelegenen Kegelschnitten geschnitten. Denn jeder Durchmesser und seine ihm in Bezug auf die Fläche konjugierte Diametralebene sind auch hinsichtlich des Kegels konjugiert. Daraus folgt, daß eine zu einer Diametralebene parallele Ebene Fläche und Kegel in Kurven schneidet, deren gemeinsamer Mittelpunkt auf dem konjugierten Durchmesser liegt, und daß zwei Durchmesser dieser Kurven, die zu zwei konjugierten Durchmessern in der Diametralebene parallel sind, für beide Kurven konjugiert sind, woraus sich die Ähnlichkeit ergiebt. Unmittelbar fließt hieraus der weitere Satz: Auf jeder Geraden liegen zwei gleiche Strecken, die einerseits von dem Hyperboloid, andererseits von seinem Asymptotenkegel begrenzt werden. Die Achsen des Hyperboloides sind zugleich die Achsen seines Asymptotenkegels. 663. Die Einteilung der Flächen 2. Grades in Ellipsoide, Paraboloide und Hyperboloide basiert auf ihrem Verhalten gegen die unendlich ferne Ebene. Einen zweiten Einteilungsgrund bildet ihr Verhalten gegen die Tangentialebenen, denn sie hat nach 645 mit denselben entweder zwei reelle Geraden oder nur einen reellen Punkt (zwei konjugiert imaginäre Geraden) gemein. Liegt auf einer Fläche 2. Grades eine reelle Gerade, so gehen durch jeden ihrer Punkte zwei Gerade oder Erzeugende ; sie bilden zwei Scharen, deren Geraden sich gegenseitig schneiden, während die Geraden der nämlichen Schar zu einander windschief sind. Solche Flächen nennt man Regelflächen; die Erzeugenden jeder Schar können als Schnittlinien entsprechender Ebenen zweier projektiver Ebenenbüschel erhalten werden. In der That ist g, eine Gerade unserer Fläche, so schneiden die Ebenen durch g, die Fläche je in einer weiteren Geraden, etwa h, h, h, h, . . ., alle diese Geraden treffen g. Die Ebenen durch h, schneiden unsere Fläche auch in je einer weiteren Geraden, etwa g, g, g', g, . . ., die alle die Gerade h, treffen. Aber jede dieser Geraden g schneidet jede der Geraden h, so schneiden sich g, und h; denn gh, und h„g, sind zwei ebene Schnittkurven der Fläche, beide müssen sich in zwei Punkten schneiden, das sind offenbar die Punkte g, × h, und g, × h, da g, g, und ebenso h, h, sich nicht treffen. Legt man nun sowohl durch g, wie durch g, Ebenen, die der Reihe nach die Erzeugenden h, h, h, h, . . . enthalten, und läßt je zwei Ebenen durch die nämliche Gerade h, sich entsprechen, so sind die beiden Ebenenbüschel projektiv, denn sie schneiden die Gerade g, in der nämlichen Punktreihe. Da diese Ebenenbüschel projektiv sind, schneiden sie alle Geraden g in projektiven Punktreihen, d. h. die Erzeugenden jeder Schar treffen die der anderen Schar in projektiven Punktreihen. Der Berührungspunkt einer Ebene durch g mit dem Hyperboloid ist der Schnittpunkt von g mit der in ihr liegenden Erzeugenden der anderen Schar. Deshalb gilt der Satz: Die Ebenen durch eine Erzeugende eines Hyperboloides berühren dasselbe in Punkten dieser Erzeugenden, dabei ist der Büschel der Ebenen zu der Reihe der Berührungspunkte projektiv. 664. Eine Regelfläche 2. Grades ist durch drei Er

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