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Fläche; er ist zugleich Mittelpunkt aller Diametralschnitte und der von der Fläche begrenzten Durchmesser. Ist nämlich a ein Durchmesser der Fläche, A die ihm konjugierte Diametralebene und l ihre Schnittkurve mit der Fläche, sind ferner b und c zwei beliebige konjugierte Durchmesser von l, so ist T = ab, die zum Durchmesser c konjugierte Diametralebene. Die Ebene T kann nun so gewählt werden, daß sie eine beliebige Gerade d durch O = a x A enthält, da b irgend ein Durchmesser von l sein kann. Bestimmt man aber zu d den konjugierten Durchmesser e in Bezug auf die in T liegende Kurve der Fläche, so ist cle diejenige Diametralebene, welche die zu d parallelen Sehnen halbiert, während d der zu ihr konjugierte Durchmesser ist, q. e. d. Da zu jedem Punkte eine Polarebene gehört, spricht man von einer unendlich fernen Ebene, der Polarebene des Mittelpunktes.

651. Die Beziehungen zwischen den Durchmessern und Diametralebenen einer Fläche 2. Grades ergeben sich auch durch Spezialisierung des Polartetraëders. Wird eine seiner Seitenflächen unendlich fern, so wird die Gegenecke zum Flächenmittelpunkte, der als Pol der unendlich fernen Ebene erscheint. Zugleich rücken drei Kanten ins Unendliche, während die drei übrigen zu Durchmessern werden und jeder enthält die Mittelpunkte der Schnitte, deren Ebenen den beiden anderen parallel laufen. Auch hier gruppieren sich die Punkte der Fläche wieder zu je acht zusammen; sie liegen zu je zwei auf vier Durchmessern der Fläche und bilden die Ecken eines Parallelepipedons, dessen Kanten jenen drei Durchmessern parallel sind (649).

652. Bei den voranstehenden Betrachtungen gingen wir von einem beliebigen Kegelschnitte v unserer Fläche und zwei konjugierten Durchmessern p und q desselben aus. Die zu p parallelen Sehnen werden dabei von einer Diametralebene A, die zu q parallelen Sehnen von einer Diametralebene B. halbiert; die Schnittkurven von A und B mit der Fläche waren l resp. k. Die weiteren Schlüsse basierten dann darauf, daß zu c = A × B konjugierte Durchmesser in Bezug auf k resp. l existierten; sie werden hinfällig, wenn k und l Parabeln sind. Offenbar ist auch hier c ein Durchmesser, indem er die Mittelpunkte aller Parallelschnitte zu v trägt; alle Ebenen durch c schneiden die Fläche in Parabeln. In diesem Falle kann die Fläche einen Mittelpunkt im Endlichen nicht haben, da sonst alle Diametralebenen durch ihn gehen und die Diametralschnitte ihn zum Mittelpunkte haben müßten. Deshalb werden hier alle Durchmesser und alle Diametralebenen zu c parallel; zu jeder Diametralebene giebt es eine konjugierte Richtung, die Richtung der von ihr halbierten Sehnen, zu jedem Durchmesser giebt es eine konjugierte Stellung, die Stellung der Ebenen der Schnitte, deren Mittelpunkte er trägt. Diese Fläche berührt die unendlich ferne Ebene im unendlich fernen Punkte von c, der als Pol dieser Ebene zugleich Flächenmittelpunkt ist. Die Flächen 2. Grades können demnach eingeteilt werden in solche mit Mittelpunkt und solche ohne Mittelpunkt. Im ersten Falle gehen die Durchmesser und Diametralebenen durch den Mittelpunkt; jedem Durchmesser ist eine Diametralebene konjugiert und umgekehrt. Im letzteren Falle sind alle Durchmesser und alle Diametralebenen zu einer Richtung parallel. Alle Diametralebenen schneiden diese Flächen in Parabeln, man bezeichnet sie deshalb als Paraboloide. 653. Die Mittelpunkte paralleler Schnitte liegen, wie wir gesehen haben, auf einem Durchmesser. Auf ihm liegen auch die Scheitel aller Tangentenkegel, deren Berührungskurven diese Parallelschnitte sind (vergl. Fig. 430); ferner liegen auf ihm die Scheitel der Kegel, die man durch je zwei Parallelschnitte legen kann. Je zwei Parallelschnitte sind deshalb ähnlich gelegene Kurven. Der Beweis für diese Sätze liegt darin, daß die unendlich ferne Gerade der Parallelebenen den bezüglichen Durchmesser zur harmonischen Polaren hat (646). 654. Halbiert eine Ebene die zu ihr normalen Sehnen, so heißt sie Hauptebene; trägt ein Durchmesser die Mittelpunkte der zu ihm normalen Schnitte, so heißt er Achse. Bei den Paraboloiden giebt es offenbar nur eine Achse, sie trägt die Mittelpunkte aller Schnitte, deren Ebenen zur gemeinsamen Richtung aller Durchmesser normal sind. Durch diese Achse giebt es zwei Hauptebenen, die die Achsen jener Normalschnitte enthalten. Denn jede dieser beiden Ebenen halbiert die Sehnen, die auf ihr senkrecht stehen. Andere Hauptebenen kann es im allgemeinen nicht geben, da jede die genannten Normalschnitte in Achsen schneiden müßte. Eine Ausnahme tritt nur ein, wenn die zur Achse normalen Schnitte Kreise sind, die Fläche also eine Rotationsfläche ist; hier ist jede Ebene durch die Achse eine Hauptebene. 655. Bei den Flächen mit Mittelpunkt giebt es drei zu einander senkrechte Achsen, je zwei Achsen liegen in einer Hauptebene. Der Beweis hierfür, sowie die Konstruktion der Achsen erfolgt ganz wie beim Kegel (vergl. 486 ff). Zu jedem Durchmesser giebt es einen konjugierten rechtwinkligen Durchmesser, er erscheint als Schnitt der zu ersterem Durchmesser konjugierten Diametralebene mit der bezüglichen Normalebene. Beschreibt ein Durchmesser einen Büschel, so beschreibt der ihm konjugierte rechtwinklige Durchmesser eine Kegelfläche 2. Grades. Denn zu jenem Büschel von Durchmessern ist der Büschel konjugierter Diametralebenen, sowie der Büschel der Normalebenen projektiv. Einem zweiten Büschel von Durchmessern gehört eine zweite Kegelfläche zu, deren Mantellinien zu jenen konjugiert und rechtwinklig sind. Beide Büschel haben einen Durchmesser gemein, dem eine gemeinsame Mantellinie beider Kegelflächen entspricht. Die Kegelflächen haben deshalb noch mindestens eine weitere Mantellinie gemein, zu dieser giebt es in jedem Büschel einen konjugierten rechtwinkligen Durchmesser. Die Ebene dieser beiden Durchmesser ist deshalb die konjugierte Diametralebene zu dem Durchmesser, der als gemeinsame Mantellinie beider Kegelflächen auftritt; d. h. diese Mantellinie ist eine Achse und jene Ebene eine Hauptebene unserer Fläche. Die konjugierten rechtwinkligen Durchmesser in dieser Hauptebene bilden die beiden anderen Achsen, und die Ebenen durch je zwei Achsen die Hauptebenen, was unmittelbar klar ist. Die vorher bestimmten Kegelflächen 2. Grades haben – abgesehen von der Mantellinie, der nur ein konjugierter rechtwinkliger Durchmesser entspricht – noch drei zu einander rechtwinklige Strahlen gemein, es sind die drei Achsen der Fläche 2. Grades. 656. Die Konstruktion der Achsen einer Fläche 2. Grades wird genau wie beim Kegel ausgeführt (vergl. 488 ff) In einer beliebigen Ebene TT, erhält man die Spurpunkte X, Y, Z der drei Achsen genau wie beim Kegel als Schnittpunkte einer gleichseitigen Hyperbel mit einem Kreise. Der einzige Unterschied besteht in folgendem. In der Ebene TT, erhält man bei der Kegelfläche den Spurpunkt eines Durchmessers (Polstrahls) und die Spurlinie seiner konjugierten Diametralebene (Polarebene) als Pol und Polare der Spurkurve u des Kegels in TT. Bei der Fläche 2. Grades ist dieses nicht mehr der Fall; um hier Spurpunkt und Spurlinie eines Durchmessers und seiner konjugierten Diametralebene zu finden verfährt man in folgender Weise (Fig. 431). Man bestimme zu einem beliebigen zu TT, parallelen Durchmesser die konjugierte Diametralebene, deren Spur a, sei, und zu dem zu a, parallelen Durchmesser die konjugierte Diametralebene mit der Spur b, außerdem suche man zu einem beliebigen Durchmesser mit dem Spurpunkte D, die konjugierte Diametralebene mit der Spur d. Dann gehört jedem Punkte von TI, eine bestimmte Gerade in TT, in der Weise zu, daß sie Spuren eines Durchmessers und seiner konjugierten Diametralebene sind. So gehört dem unendlich fernen Punkte von b, die Gerade a, dem unendlich fernen Punkte von a, die Gerade b, dem Punkte 0,=a, × b, die unendlich ferne Gerade und dem Punkte D, die % Gerade d zu. Man kann nun zu jedem Punkte von TT, die zugehörige Gerade finden, wenn man bedenkt, daß der Verbindungslinie Fig. 431. zweier Punkte derjenige Punkt zugehört, in dem sich ihre zugehörigen Geraden schneiden, und daß dem Schnittpunkte zweier Geraden diejenige Gerade zugehört, die durch ihre zugehörigen Punkte geht. Zu den Strahlen durch O, gehören die unendlich fernen Punkte; diese Strahlen ordnen sich in Paare einer Involution, indem zu jedem Strahle eines Paares der unendlich ferne Punkt des anderen gehört. So bilden ab, ein Strahlenpaar der Involution und ebenso OD, und die Parallele zu d durch O. Der Scheitel 0, und die Rechtwinkelstrahlen dieser Involution spielen hier die gleiche Rolle wie in Fig. 318 der Mittelpunkt und die Achsen der Spurkurve u des Kegels. Den Parallelen zu b, gehören die Punkte von a, zu; diese ordnen sich in Paare einer Involution, indem zu jedem Punkte eines Paares eine Gerade durch den anderen gehört. O, ist der Mittelpunkt dieser Involution, a, xd,=J, und K, wo D„K, |b, ist, bilden ein Punktepaar derselben. Ganz in gleicher Weise existiert auf b, eine Involution, O, ist wieder der Mittelpunkt, b, ×d,=G, und H., wo D„H% |a, ist, bilden ein Punktepaar. Zu einem Punkte P erhält man also die zugehörige Gerade p, indem man Q% auf a, und R, auf b, sucht (PQ% |b, PR |a), S, auf a, nach der Relation OJ - OK, = 0, Q, - OS und T, auf b, nach der Relation: OG-O, H = OR, -0,1% bestimmt, dann ist p,=ST. 657. Die Polareigenschaften der Flächen 2. Grades geben uns Veranlassung, einige Beziehungen des Raumes auf sich selbst kennen zu lernen. Indem man bei allen geometrischen Beziehungen räumlicher Figuren, die sich nur auf Lageverhältnisse stützen, die Begriffe Punkt und Ebene, und infolgedessen Punktreihe und Ebenenbüschel sowie Gerade und Gerade, miteinander vertauscht, erhält man zu der ursprünglichen Figur die duale Figur, die duale Eigenschaften zu jener aufweist (vergl. 341). So stellt sich jedem Satze, der sich über Lagebeziehungen ausspricht, ein dualer gegenüber. Dem Gesetze der Dualität sind insbesondere die Pole und Polarebenen jeder Fläche 2. Grades unterworfen, und diese besondere Beziehung heißt Reciprocität oder reciproke Raum verwandtschaft in Bezug auf die Fläche 2. Grades als Leitfläche. Zu jeder Figur F, kann eine reciproke Figur F, entworfen werden, indem man die Punkte, Ebenen und Geraden der einen durch Polarebenen, Pole und konjugierte Geraden in der anderen ersetzt. Vereinigte Elemente – Punkt auf einer Geraden oder einer Ebene, sowie Gerade in einer Ebene – gehen dabei wieder in vereinigte Elemente über. Den Punkten der Leitfläche 2. Grades entsprechen bei dieser Reciprocität die Tangentialebenen in den betreffenden Punkten, so dass diese Fläche – als Ort von Punkten – zu sich selbst reciprok ist – als Hüllfläche von Ebenen. Zu jedem Satze über Flächen 2. Grades, bei dem Lagebeziehungen maßgebend sind, giebt es also einen dualen Satz, wie auch die vorangehenden Sätze zeigen. Jeder Fläche 2. Grades entspricht eine andere Fläche 2. Grades als Reciprokalfläche; einem ebenen Schnitte der ersteren entspricht ein Tangentialkegel der zweiten und umgekehrt, den beiden Schnittpunkten mit einer Geraden entsprechen die beiden Tangentialebenen durch die reciproke Gerade. Den Tangenten der einen Fläche entsprechen also die Tangenten der anderen Fläche; umhüllen die Tangenten bei der einen Fläche einen Kegelschnitt, so beschreiben sie bei der anderen einen Kegel. Als Reciprokalfläche einer Kugel in Bezug auf eine zweite als Leitfläche erhält man eine Rotationsfläche. 658. Wir haben in der Ebene die Centralprojektion kennen gelernt, bei der die Verbindungslinien entsprechender Punkte durch ein festes Centrum gehen und die Schnittpunkte entsprechender Geraden auf einer festen Achse liegen. Speziell konnte die Beziehung zwischen den sich entsprechenden Figuren vertauschbar sein, indem je zwei entsprechende Punkte durch das Centrum und die Achse harmonisch getrennt werden (vergl. 244). Ganz ebenso

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