der Achsen erfolgt ganz wie beim Kegel (vergl. 486 ff.). Zu jedem Durchmesser giebt es einen konjugierten rechtwinkligen Durchmesser, er erscheint als Schnitt der zu ersterem Durchmesser konjugierten Diametralebene mit der bezüglichen Normalebene. Beschreibt ein Durchmesser einen Büschel, so beschreibt der ihm konjugierte rechtwinklige Durchmesser eine Kegelfläche 2. Grades. Denn zu jenem Büschel von Durchmessern ist der Büschel konjugierter Diametralebenen, sowie der Büschel der Normalebenen projektiv. Einem zweiten Büschel von Durchmessern gehört eine zweite Kegelfläche zu, deren Mantellinien zu jenen konjugiert und rechtwinklig sind. Beide Büschel haben einen Durchmesser gemein, dem eine gemeinsame Mantellinie beider Kegelflächen entspricht. Die Kegelflächen haben deshalb noch mindestens eine weitere Mantellinie gemein, zu dieser giebt es in jedem Büschel einen konjugierten rechtwinkligen Durchmesser. Die Ebene dieser beiden Durchmesser ist deshalb die konjugierte Diametralebene zu dem Durchmesser, der als gemeinsame Mantellinie beider Kegelflächen auftritt; d. h. diese Mantellinie ist eine Achse und jene Ebene eine Hauptebene unserer Fläche. Die konjugierten rechtwinkligen Durchmesser in dieser Hauptebene bilden die beiden anderen Achsen, und die Ebenen durch je zwei Achsen die Hauptebenen, was unmittelbar klar ist. Die vorher bestimmten Kegelflächen 2. Grades haben - abgesehen von der Mantellinie, der nur ein konjugierter rechtwinkliger Durchmesser entspricht noch drei zu einander rechtwinklige Strahlen gemein, es sind die drei Achsen der Fläche 2. Grades.

656. Die Konstruktion der Achsen einer Fläche 2. Grades wird genau wie beim Kegel ausgeführt (vergl. 488 ff.) In einer beliebigen Ebene П erhält man die Spurpunkte X1, Y1, Z1 der drei Achsen genau wie beim Kegel als Schnittpunkte einer gleichseitigen Hyperbel mit einem Kreise. Der einzige Unterschied besteht in folgendem. In der Ebene П, erhält man bei der Kegelfläche den Spurpunkt eines Durchmessers (Polstrahls) und die Spurlinie seiner konjugierten Diametralebene (Polarebene) als Pol und Polare der Spurkurve u des Kegels in П,. Bei der Fläche 2. Grades ist dieses nicht mehr der Fall; um hier Spurpunkt und Spurlinie eines Durchmessers und seiner konjugierten Diametralebene zu finden verfährt man in folgender Weise (Fig. 431). Man bestimme zu einem beliebigen zu П, parallelen Durchmesser die konjugierte Diametralebene, deren Spur a1 sei, und zu dem zu a1 parallelen Durchmesser die konjugierte Diametralebene mit der Spur b1, außerdem suche man zu einem beliebigen Durchmesser mit dem Spur

punkte D1 die konjugierte Diametralebene mit der Spur ɖ. Dann gehört jedem Punkte von П, eine bestimmte Gerade in П, in der Weise zu, daß sie Spuren eines Durchmessers und seiner konjugierten Diametralebene sind. So gehört dem unendlich fernen

sich ihre zugehörigen Geraden schneiden, und daß dem Schnittpunkte zweier Geraden diejenige Gerade zugehört, die durch ihre zugehörigen Punkte geht. Zu den Strahlen durch 01 gehören die unendlich fernen Punkte; diese Strahlen ordnen sich in Paare einer Involution, indem zu jedem Strahle eines Paares der unendlich ferne Punkt des anderen gehört. So bilden a,b, ein Strahlenpaar der Involution und ebenso O̟1D1 und die Parallele zu d1 durch O̟1. Der Scheitel O und die Rechtwinkelstrahlen dieser Involution spielen hier die gleiche Rolle wie in Fig. 318 der Mittelpunkt und die Achsen der Spurkurve u des Kegels.

Den Parallelen zu b1 gehören die Punkte von a, zu; diese ordnen sich in Paare einer Involution, indem zu jedem Punkte eines Paares eine Gerade durch den anderen gehört. O, ist der Mittelpunkt dieser Involution, a1×d1 =J1 und K1, wo D1K1||b1 ist, bilden ein Punktepaar derselben. Ganz in gleicher Weise existiert auf b1 eine Involution, O, ist wieder der Mittelpunkt, b1× d1 = G1 und H1, wo DH || a, ist, bilden ein Punktepaar. Zu einem Punkte P1 erhält man also die zugehörige Gerade p1, indem man Q, auf a1 und R1 auf b1 sucht (P1Q1||b1, P1R1|| a1), S1 auf a1 nach der Relation O̟11 · O̟1K1 = 01Q1 · 011 und 7, auf b1 nach der Relation: O1G1O2H1 = 01R.OT bestimmt, dann ist p1 = ST.

1

657. Die Polareigenschaften der Flächen 2. Grades geben uns

Veranlassung, einige Beziehungen des Raumes auf sich selbst kennen zu lernen. Indem man bei allen geometrischen Beziehungen räumlicher Figuren, die sich nur auf Lage verhältnisse stützen, die Begriffe Punkt und Ebene, und infolgedessen Punktreihe und Ebenenbüschel sowie Gerade und Gerade, miteinander vertauscht, erhält man zu der ursprünglichen Figur die duale Figur, die duale Eigenschaften zu jener aufweist (vergl. 341). So stellt sich jedem Satze, der sich über Lage beziehungen ausspricht, ein dualer gegenüber. Dem Gesetze der Dualität sind insbesondere die Pole und Polarebenen jeder Fläche 2. Grades unterworfen, und diese besondere Beziehung heißt Reciprocität oder reciproke Raumverwandtschaft in Bezug auf die Fläche 2. Grades als Leitfläche. Zu jeder Figur &, kann eine reciproke Figur & entworfen werden, indem man die Punkte, Ebenen und Geraden der einen durch Polarebenen, Pole und konjugierte Geraden in der anderen ersetzt. Vereinigte Elemente Punkt auf einer Geraden

oder einer Ebene, sowie Gerade in einer Ebene wieder in vereinigte Elemente über.

gehen dabei

Den Punkten der Leitfläche 2. Grades entsprechen bei dieser Reciprocität die Tangentialebenen in den betreffenden Punkten, so dass diese Fläche als Ort von Punkten zu sich selbst reciprok ist als Hüllfläche von Ebenen. Zu jedem Satze über Flächen 2. Grades, bei dem Lagebeziehungen maßgebend sind, giebt es also einen dualen Satz, wie auch die vorangehenden Sätze zeigen. Jeder Fläche 2. Grades entspricht eine andere Fläche 2. Grades als Reciprokalfläche; einem ebenen Schnitte der ersteren entspricht ein Tangentialkegel der zweiten und umgekehrt, den beiden Schnittpunkten mit einer Geraden entsprechen die beiden Tangentialebenen durch die reciproke Gerade. Den Tangenten der einen Fläche entsprechen also die Tangenten der anderen Fläche; umhüllen die Tangenten bei der einen Fläche einen Kegelschnitt, so beschreiben sie bei der anderen einen Kegel. Als Reciprokalfläche einer Kugel in Bezug auf eine zweite als Leitfläche erhält man eine Rotationsfläche.

658. Wir haben in der Ebene die Centralprojektion kennen gelernt, bei der die Verbindungslinien entsprechender Punkte durch ein festes Centrum gehen und die Schnittpunkte entsprechender Geraden auf einer festen Achse liegen. Speziell konnte die Beziehung zwischen den sich entsprechenden Figuren vertauschbar sein, indem je zwei entsprechende Punkte durch das Centrum und die Achse harmonisch getrennt werden (vergl. 244). Ganz ebenso

können wir im Raume die Punkte sich wechselseitig entsprechen lassen, indem wir je zwei Punkte einander zuordnen, deren Verbindungslinie durch einen festen Punkt, das Centrum, geht und durch dieses und eine feste Ebene harmonisch geteilt wird. Diese Beziehung führt den Namen: involutorische Centralprojektion oder involutorische Kollineation des Raumes. Eine Fläche 2. Grades entspricht sich selbst in Bezug auf jede involutorische Centralprojektion, deren Centrum ein beliebiger Punkt und deren feste Ebene seine Polarebene ist; dabei entsprechen sich die Punkte der Fläche und ebenso ihre Ebenen paarweise, die Verbindungslinie jener geht durchs Centrum, die Schnittlinie dieser liegt in der festen Ebene. Im allgemeinen entspricht bei der genannten Beziehung jeder Fläche zweiten Grades wieder eine solche.

02

M

2

2

=

659. Ist O1 das Centrum und E1 die feste Ebene einer involutorischen Centralprojektion und spielen 0, und E, die gleiche Rolle für eine zweite derartige Projektion, wobei zugleich 01 in E2 und O2 in E1 liegen soll, so können wir jedem Punkte des Raumes denjenigen entsprechen lassen, der aus ihm hervorgeht, wenn wir beide Projektionen hintereinander auf ihn anwenden. Dabei wird sich zeigen, daß die Reihenfolge, in der wir diese Projektionen anwenden, gleichgültig ist. Sei in Fig. 432 P ein beliebiger Punkt, und schneidet die Ebene 0,02P die Gerade E1 × E2s im Punkte J, so geht aus P durch die erste Projektion P1 hervor, wenn PP11K harmonisch liegen und KPO, × 0, ist, und aus P, geht durch die zweite Projektion P' hervor, wenn P,P'O2L harmonisch liegen und L-P10, x 0, ist. Die Punkte 0,KPP projizieren wir von J auf die Gerade LO,P, und erhalten vier harmonische Punkte, von denen drei mit L, O2, P1 resp. sich decken, so daß P' als vierter harmonischer Punkt zu ihnen auf JP liegt. Ist M 0,02 X PP', so liegen auch PP'JM harmonisch, denn sie liegen auf den harmonischen Strahlen O1P1, O̟1P', O̟1L, O̟12. Der entsprechende Punkt P' zu P wird also gefunden, indem man durch P eine gemeinsame Sekante zu s und 0,0, zieht (sie ist die Schnittlinie der Ebene O̟12P und sP) und auf ihr den Punkt P' sucht, der mit P in Bezug auf s und 012 harmonisch liegt. Offenbar gelangt man zu demselben Punkte, wenn man erst den Punkt P2

=

Fig. 432.

1

2

=

2

2

2

2

konstruiert, der mit P harmonisch zu O2 und E, liegt, und dann den Punkt P', der mit P, harmonisch zu 0, und E, liegt. Wir erhalten also das Resultat: Sind a und b zwei feste Achsen und läßt man je zwei Punkte sich gegenseitig entsprechen, die durch die Achsen harmonisch getrennt werden, deren Verbindungslinie also die Achsen schneidet, so entsteht das geschartinvolutorische System. Die hier definierte Zuordnung der Punktepaare läßt sich auch durch Anwendung zweier involutorischer Centralprojektionen hintereinander erzielen. Die Centren dieser Projektionen liegen dabei auf einer der Achsen, ihre festen Ebenen gehen durch die andere, und zwar muß die feste Ebene jeder Projektion das Centrum der anderen enthalten.

Entsprechende Ebenen im geschart-involutorischen System werden durch die Achsen a und b harmonisch getrennt, d. h. ihre Schnittlinie trifft beide Achsen und bestimmt mit ihnen Ebenen, die zu jenen Ebenen harmonisch liegen. Denn verbindet man einen Punkt der einen Ebene mit dem entsprechenden Punkte der entsprechenden Ebene, so wird diese Verbindungslinie durch die Achsen harmonisch geteilt. Je zwei konjugierte Polaren einer Fläche 2. Grades bilden die Achsen eines geschartinvolutorischen Systems, in dem sich die Fläche selbst entspricht. Die Punkte der Fläche, wie ihre Tangentialebenen, liegen paarweise harmonisch zu den konjugierten Polaren und entsprechen sich im System. Einer Fläche 2. Grades entspricht in dem genannten System stets wieder eine Fläche 2. Grades.

Einteilung der Flächen zweiten Grades; ihre Beziehung zu den Rotationsflächen; Kreisschnitte.

660. Wir haben bereits eine Einteilung der Flächen in solche mit und solche ohne Mittelpunkt getroffen und haben den letzteren den Namen: Paraboloide beigelegt. Das Verhalten der Flächen mit Mittelpunkt gegen die unendlich ferne Ebene gestattet uns diese noch weiter einzuteilen, ganz wie das bei den Kegelschnitten der Fall war. Eine Ebene durch den Mittelpunkt der Fläche schneidet sie entweder gar nicht oder in einem Kegelschnitte, dessen Mittelpunkt mit dem der Fläche zusammenfällt. Sind alle solche Schnitte Ellipsen, so liegt die Fläche ganz im Endlichen und führt den Namen: Ellipsoid. Sind Hyperbeln unter den Diametralschnitten, so verläuft die Fläche ins Unendliche und wir haben es mit Flächen zu thun, die den Namen: Hyperboloide führen. Das Verhalten