2 1 2 n mit der Ebene durch m einen sehr kleinen Winkel einschließt, weil sie dann aus den Ebenen von k und 7 Geraden ausschneidet, die sehr nahe bei C12 resp. D1D2 liegen, also k resp. 7 in reellen Punkten treffen. Sind FFAF und ebenso G, GAG harmonisch, so ist FG die Polare von A in Bezug auf n, und es treffen sich die Polaren CD und FG von A in Bezug auf m und n, da sich m und n in E1 und E, schneiden. Schneiden sich aber CD und FG, so thun dies auch die Geraden CF und DG, d. h. die Polaren von A in Bezug auf k und 1, und damit ist unsere Behauptung erwiesen. Hieraus folgt unmittelbar: Die Polaren eines Punktes A in Bezug auf alle Kegelschnitte der Fläche 2. Grades, deren Ebenen durch ihn hindurchgehen, liegen in einer Ebene A. Man nennt A den Pol der Ebene A, und A die Polarebene des Punktes A in Bezug auf die Fläche. Je zwei Punkte der Fläche, deren Verbindungslinie durch A geht, werden durch A und A harmonisch getrennt. Die Berührungspunkte aller von A an die Fläche gelegten Tangenten liegen falls es überhaupt solche Tangenten giebt auf dem Kegelschnitte, in dem seine Polarebene A die Fläche schneidet. Schneidet umgekehrt A die Fläche in einem Kegelschnitte, so geht die Tangentialebene in jedem seiner Punkte durch A hindurch. Liegt der Punkt A auf der Fläche, so ist seine Polarebene A nichts anderes als die Tangentialebene im Punkte 4. Liegt der Punkt A beliebig, so erhält man seine Polarebene, indem man drei Strahlen durch zieht, die die Fläche in den Punktepaaren CC2, D1D2, Е12 resp. schneiden; dann liegen C1D1 × С1⁄2Ð1⁄2, С1 D1⁄2 × C2D1, C11 × CE2, CE, × C2Е1, D11 × DE2, und DE, × DE1 auf der gesuchten Polarebene von A. 2 2 DE 2 1 27 2 2 2 643. Ein Punkt A und ein beliebiger Punkt B seiner Polarebene A heißen konjugierte oder harmonische Pole in Bezug auf die Fläche 2. Grades; sie sind harmonische Pole in Bezug auf jeden Kegelschnitt der Fläche, dessen Ebene AB enthält, denn die Polaren von A in Bezug auf diese Kegelschnitte gehen durch B, da sie alle in der Polarebene A von A liegen, wie soeben bewiesen wurde. Hierbei ist es gleichgültig, ob AB die Fläche schneidet oder nicht. Die Punkte einer beliebigen Geraden ordnen sich in Bezug auf eine Fläche 2. Grades paarweise zu harmonischen Polen an. Die auf einer Geraden g liegenden Paare harmonischer Pole bilden zwei involutorische Reihen. Denn legt man durch die Gerade g eine Ebene, die die Fläche in einem Kegelschnitte k schneidet, so sind jene Paare auch harmonische Pole in Bezug auf k, woraus nach 289 folgt, daß sie zwei involutorische Reihen bilden. Schneidet die Gerade g die Fläche, so gehören die Paare harmonischer Pole auf ihr ungleich laufenden involutorischen Reihen an, deren Doppelpunkte die Schnittpunkte von g mit der Fläche sind. Schneidet die Gerade g die Fläche nicht in reellen Punkten, so bilden die Paare harmonischer Pole auf ihr gleichlaufende involutorische Reihen, deren Doppelpunkte konjugiert imaginär sind (vergl. 348); sie stellen die konjugiert imaginären Schnittpunkte von g mit der Fläche dar. Jede Gerade schneidet somit die Fläche 2. Grades in zwei reellen oder konjugiert imaginären Punkten. Geht die Polarebene A des Punktes A durch den Punkt B, so geht auch dessen Polarebene B durch A. Denn da B in A liegt, sind A und B harmonische Pole und es muß auch A in der Polarebene von B liegen. 644. Beschreibt ein Punkt A eine Gerade g1, so dreht sich seine Polarebene A um eine Gerade g; beschreibt umgekehrt ein Punkt B die Gerade g2, so dreht sich seine Polarebene B um g1. Sind nämlich und ▲ zwei Ebenen durch g1 und C und D ihre Pole, so geht die Polarebene A eines beliebigen Punktes A von g, durch CD = 92. Denn da die Polarebenen von C und ▲ von D durch A gehen, muß auch die Polarebene A von A durch C und D gehen. Daraus folgt dann weiter, daß auch die Polarebene B eines Punktes B von CD den beliebigen Punkt A von g1 enthält, da B in A liegt. in Die Punktreihe auf g, ist projektiv zu dem Büschel der zugehörigen Polarebenen durch g, und die Punktreihe auf 92 ebenso zu dem Büschel der entsprechenden Polarebenen durch 91. Denn die Ebenen durch g2 schneiden 91 Punkten, die mit den Polen der bezüglichen Ebenen Paare harmonischer Pole bilden; diese Punktepaare aber gehören involutorischen, also projektiven Punktreihen an. Dieser Beweis ist natürlich nur dann richtig, wenn g1 und g2 sich nicht schneiden; schneiden sich dagegen g1 und g2 in einem Punkte S, so schließen wir in folgender Weise. Auf einer beliebigen Geraden h1 schneidet der Ebenenbüschel mit der Achse g2 eine zu ihm projektive Punktreihe aus; die zu den Punkten dieser Reihe gehörigen Polarebenen bilden einen dazu projektiven Ebenenbüschel mit der Achse h2. Die Ebenen des 92 92 letzteren Büschels schneiden aber g, in den zu den Ebenen des ersteren Büschels gehörigen Polen, die ja auf g, liegen müssen; der Büschel der Ebenen durch g2 ist somit projektiv zu der Punktreihe ihrer Pole auf g1. 91 92 645. Zwei Geraden g, und g2 heißen konjugierte oder harmonische Polaren in Bezug auf eine Fläche 2. Grades, wenn jede von ihnen die Achse eines Büschels von Ebenen bildet, deren Pole auf der anderen liegen. Schneidet also die Gerade g, die Fläche in zwei Punkten, so gehen die Tangentialebenen in diesen Punkten durch g2. Zu jeder Geraden giebt es eine harmonische Polare; zwei beliebige Punkte dieser Geraden bilden ein Paar harmonischer Pole. Sind 91 und 92 zwei harmonische Polaren, so ordnen sich die Punkte der Fläche paarweise derart zusammen, daß ihre Verbindungslinie sowohl g1 wie ga 92 schneidet; außerdem werden solche Punktepaare durch g1 und g harmonisch getrennt. 92 91 91 Schneiden sich zwei harmonische Polaren in einem 91 und Punkte S, so ist ihre Ebene Σ eine Tangentialebene der Fläche 2. Grades und ihr Schnittpunkt S der Berührungspunkt. Denn S liegt sowohl auf 91 wie auf 921 seine Polarebene Σ enthält also g2 und g1. Legen wir also durch S eine beliebige Ebene, die Σ in t und die Fläche in k schneidet, so ist S der Pol von t in Bezug auf k, und da S auf t liegt, so ist t eine Tangente von k und S ihr Berührungspunkt; t berührt somit auch die Fläche in S. 92 Beschreibt 91 einen Büschel mit dem Scheitel S, so beschreibt ihre harmonische Polare g, einen dazu projektiven Büschel mit dem Scheitel T; die Ebene T des ersteren Büschels ist die Polarebene von T, die Ebene Σ des zweiten Büschels die Polarebene von S. In der That gehört zu jeder Geraden durch S eine harmonische Polare, die in der Polarebene von S liegt, und zu jeder Geraden der Ebene T eine harmonische Polare, die den Pol T von T enthält. Ferner wird eine Gerade in der Ebene T von dem Strahlbüschel mit dem Scheitel S in den Punkten einer Reihe geschnitten, deren Polarebenen einen dazu projektiven Büschel bilden und aus Σ die harmonischen Polaren zu den Strahlen des erstgenannten Büschels ausschneiden, was unsere Behauptung beweist. Liegen zwei Strahlbüschel, deren entsprechende Strahlen harmonische Polaren in Bezug auf die Fläche 2. Grades sind, in der nämlichen Ebene, so müssen auch ihre Scheitel zusammenfallen, denn für Σ -T wird auch S = T Wir erkennen daraus, daß die = Tangenten in einem Punkte der Fläche sich in Paare harmonischer Polaren anordnen, die zwei involutorische Strahlbüschel bilden. Giebt es hier zwei Doppelstrahlen - also solche, die mit ihren harmonischen Polaren zusammenfallen so müssen dieselben ganz auf der Fläche liegen. Sind dagegen die involutorischen Strahlbüschel gleichlaufend, so definieren sie zwei konjugiert imaginäre Doppelstrahlen, die als auf der Fläche liegend anzusehen sind. Eine Fläche 2. Grades wird also von jeder Tangentialebene in zwei reellen oder konjugiert imaginären Geraden geschnitten; im letzteren Falle hat die Tangentialebene nur einen reellen Punkt, den Berührungspunkt, mit der Fläche gemein. Diese Punkte sind von elliptischer, jene von hyperbolischer Krümmung. 646. Je zwei beliebige ebene Schnitte k und einer Fläche 2. Grades liegen in doppelter Weise perspektiv; die Schnittlinie beider Ebenen und die Verbindungslinie der beiden Perspektivitätscentra sind harmonische Polaren. Ist g, die Schnittlinie der 91 Ebenen von k und 7, und dreht man die Ebene von / um g, bis sie mit der anderen sich deckt, so liegen k und lo, die gedrehte Kurve 7, nach 356 in zweifacher Art per spektiv, denn sie bestimmen auf g, die nämliche Involution harmonischer Pole. Daraus folgt aber, daß auch k und 7 zweifach perspektiv liegen und es mögen in Fig. 428 die Punkte 0, und 0, die Centren für die beiden Lagen sein. Eine beliebige Ebene durch 0,092 schneide k = H= CD × EF, in C und D, 7 in E und F, 9, in II und die Fläche 2. Grades in der Kurve m. Dann bilden die Punkte 01 - CE X DF, 02 = = 2 CF × DE ein Polardreieck des Kegelschnittes m; H ist also der Pol von 0,0, in Bezug auf m, d. h. die Polarebene von H in Bezug auf die Fläche geht durch 0,02. Da Gleiches für jeden Punkt von g, gilt, so sind g, und g, harmonische Polaren; zugleich sind die Centra 0, und O, harmonische Pole unserer Fläche. 2 92 In der Figur sind der Umriß u der Fläche und in der Umrißebene die Spuren k, l, m, der Ebenen durch k, l, m hinzugefügt. Legt man umgekehrt durch einen Kegelschnitt k auf der Fläche 2. Grades eine Kegelfläche mit dem beliebigen Scheitel 01, so durchdringt sie die Fläche noch in einem zweiten Kegelschnitte 7. Denn ist 1 die Polarebene von 0, und C ein Punkt von k, ist ferner 01C×1 =Q und liegen 0,QCE harmonisch, so ist E ein Punkt Daraus ersieht man, daß die ganze Kurve 7 in derjenigen Ebene liegt, die mit der Ebene von k zusammen O1 und 1 harmonisch trennt, d. h. jeder Strahl durch O̟, trifft die Ebenen von k und in Punkten, die von 0, und 2, harmonisch getrennt werden. von 7. 91 92 91 647. Zwei Ebenen, von denen jede den Pol der anderen bezüglich der Fläche 2. Grades enthält, heißen konjugierte oder harmonische Polarebenen dieser Fläche. Sie sind auch harmonische Polarebenen in Bezug auf jeden Tangentenkegel der Fläche, dessen Scheitel auf ihrer Schnittlinie liegt. Sind nämlich A und B die Ebenen, A und B ihre Pole, so sind: A X B = g1 und AB = g2 harmonische Polaren in Bezug auf die Fläche. Ist ferner O auf g, der Scheitel eines Tangentenkegels, so liegt seine Berührungskurve k in der Polarebene von O, die auch AB 92 enthält. Da nun A und A Pol und Polarebene in Bezug auf die Fläche sind, so sind auch A und und Ax Pol und Polare in Bezug auf k. OA und A sind demnach Polstrahl und Polarebene in Bezug auf den Tangentenkegel, und ebenso verhält es sich mit OB und B; A und B sind harmonische Polarebenen für diesen Kegel, da jede den Polstrahl der anderen enthält (vergl. 486). = Die durch eine Gerade g gehenden Paare harmonischer Polarebenen bilden zwei involutorische Ebenenbüschel. Denn sie schneiden auf der harmonischen Polaren von g involutorische Punktreihen aus, deren Paare harmonische Pole der Fläche sind. 648. Je zwei beliebige Tangentenkegel K und A einer Fläche 2. Grades liegen in doppelter Weise perspektiv. Dabei soll die perspektive Lage von K und A bedeuten, daß sich ihre Tangentialebenen einander so zuordnen lassen, daß sie sich in Geraden einer Ebene schneiden, die wir als Perspektivitätsebene bezeichnen. Es kann dieses Resultat leicht aus 646 abgleitet werden. Sind nämlich K und Z die Scheitel und k und 7 die Berührungskurven der Kegel K und A und ist 01 ein Perspektivitätscentrum für k und l, so liegt jeder Punkt von k mit einem Punkte von 7 auf einem Strahle durch 0,. Trifft nun ein solcher Strahl durch O1 |