laufen, so genügt eine angenäherte Konstruktion. Man bestimme nämlich nach dem in 600 gegebenen Verfahren auf den Gewindekanten r und s (und zwar im Grundriß) die Punkte des Umrisses für die zweite Projektion, übertrage sie in den Aufriß und verbinde je zwei zusammengehörige Punkte durch gerade Linien. Im Aufriß fallen diese geraden Linien annähernd mit den gemeinsamen Tangenten der beiden Sinuslinien r" und s" zusammen, die die Gewindekanten repräsentieren. Zu besserer Verdeutlichung der Lage und der Sichtbarkeit der Umrißlinien ist in Fig. 426 ein Teil der Aufrißfigur in beträchtlicher Vergrößerung gezeichnet; für die Scheitel der Linien " und s" sind die Krümmungscentra J und K angegeben; durch gestrichelte Linien ist der im Hauptmeridian gedachte Gewindeschnitt dargestellt. In derselben Figur sind gleichzeitig die Einzelheiten des Aufrisses der zu unserer Schraube gehörigen Schraubenmutter gezeichnet. Die zu ihr gehörigen Elemente sind von den entsprechenden der Schraube selbst durch den Index 1 unterschieden und, um beide auseinander zu halten, ist die eine Figur ein Stück seitwärts geschoben. = Die Lichtgrenze auf der Schraube (die unter der gewöhnlichen Annahme: l'ala 45° konstruiert werden mag) setzt Llx = sich aus den Lichtgrenzkurven der beiden schiefen Regelflächen zusammen, die das Gewinde nach oben und unten begrenzen. Ihre genaue Konstruktion erfolgt nach 622; aber auch hier genügt eine angenäherte Konstruktion mit Hilfe gerader Linien, die die Kurven selbst ersetzen können. Man bestimme also wiederum nur die Punkte der Lichtgrenze auf den Gewindekanten r und s nach 600, und verbinde die zusammengehörigen Punkte, z. B. X" und ", geradlinig. Die Lichtgrenzlinien auf der oberen Gewindefläche fallen sehr nahe an den Umriß der zweiten Projektion und liegen außerdem im Schlagschatten der Schraube auf sich selbst, so daß es zweckmäßig erschien, sie nicht besonders anzugeben. Im Hinblick auf Fig. 424 bedarf es nach dem Gesagten keiner Erläuterung mehr, um den Grundrißschatten der Schraube entwerfen zu können. Der Schlagschatten der Schraube auf sich selbst wird begrenzt von den Schatten der Lichtgrenzlinien der unteren Gewindefläche auf die obere des folgenden (tieferen) Ganges und von den Schatten der äußeren Gewindekante r. Dazu treten die Schatten der Kanten des Schraubenkopfes auf die Oberseite des Gewindes. Um auf einer Erzeugenden MN der oberen Gewindefläche den Punkt O der Schlagschattengrenze zu ermitteln, zeichne man M'N', M"N" und MN, gehe von dem Überschneidungspunkte O der O̟ * * Geraden MN mit dem Grundrißschatten der schattengebenden Linie aus und verfolge den zugehörigen Lichtstrahl in seinen beiden Projektionen bis zur Erzeugenden MN zurück. Auf diese Art findet man alle Kurvenzüge, wie XZ und UVW, die zur Begrenzung des Schlagschattens gehören. Man hat sein Augenmerk vornehmlich auf die Anfangs- und Endpunkte dieser Linien zu richten. Die Linie XZ rührt als Schatten von der Lichtgrenze XY und einem Teile der äußeren Gewindekante her, die gebrochene Linie UVW bildet den Schatten zweier Unterkanten des Schraubenkopfes, speziell V den einer Ecke desselben. 640. Darstellung der Schrauben mutter einer scharfgängigen Schraube mit Eigen- und Schlagschatten (Fig. 425). Für die Schraube und ihre Lage gegen die Projektionsebenen mögen ebenso wie für die Lichtstrahlen dieselben Annahmen gelten, wie vorhin. Die Schraubenmutter aber denken wir uns durch die Hauptmeridianebene (TT) gehälftet und zeichnen nur ihre hintere, nach dem Beschauer zu geöffnete Hälfte mit zwei Gängen; den Körper, aus welchem sie ausgehöhlt ist, denken wir uns durch die Ebene Ã1⁄2 und eine parallele Ebene, sowie durch ein regelmäßiges sechsseitiges Prisma begrenzt, dessen eine Seitenfläche ||П2 liegen mag. Da das darzustellende Gebilde in seinen wesentlichen Teilen mit dem vorhin betrachteten übereinstimmt, so ist in Bezug auf die Konstruktion des Grund- und Aufrisses, sowie des Grund rißschattens nichts neues zu bemerken. Wegen der Details im Aufriß ist auf Fig. 426 zu verweisen. Die Randlinien bestehen aus den archimedischen Spiralen CD und FG und den sie verbindenden vierfach gebrochenen Linien von C bis G und D bis F, die den Hauptmeridianschnitt des Gewindes bilden. Die Lichtgrenze auf der Gewindefläche im Inneren besteht aus den beiden Teilkurven, die der oberen und unteren Gewindefläche entsprechen und wird wie vorher bestimmt; sie wird nur auf der unteren Seite sichtbar. Auch die Verzeichnung der Schlagschattengrenzen auf der Innenfläche erfolgt ganz analog dem früheren. Diese Grenzkurven sind teils Schatten der inneren Gewindekante s, teils Schatten der Kanten des Gewindeschnittes im Hauptmeridian. Ihre Punkte werden auf Erzeugenden (z. B. MN) der betreffenden Schraubenflächen gefunden, indem man ihre Grundrißschatten mit denen der schattenwerfenden Kurven schneidet (z. B. in O) und den zugehörigen Lichtstrahl zurück verfolgt. ELFTES KAPITEL. Die Flächen zweiten Grades. Pole und Polarebenen, Durchmesser und Diametralebenen; Achsen. 641. Unseren Ausgangspunkt bildet die Definition: eine Fläche 2. Grades wird von jeder Ebene in einem Kegelschnitte (Ellipse, Parabel, Hyperbel, Geradenpaar) geschnitten, falls diese Ebene mit der Fläche überhaupt eine reelle Kurve gemein hat. Sehen wir von Kegel- und Cylinderflächen ab, so haben wir in der Kugel und in den Rotationsflächen 2. Grades spezielle Beispiele unserer Flächen. Aus der Definition können wir unmittelbar folgern, daß jede Gerade die Fläche in zwei Punkten trifft, falls sie überhaupt reelle Punkte mit ihr gemein hat. Denn eine Ebene durch diese Gerade schneidet die Fläche in einem Kegelschnitte, auf dem auch die Schnittpunkte der Geraden mit der Fläche liegen. müssen. Die beiden reellen Schnittpunkte einer Geraden mit einer Fläche 2. Grades können auch zusammenfallen, dann wird die Gerade zur Tangente und der Punkt zum Berührungspunkte. Die Eigenschaft, daß eine Fläche 2. Grades von jeder Geraden in zwei reellen oder konjugiert imaginären Punkten getroffen wird, wird meistens bei der Definition und Behandlung der Flächen 2. Grades an die Spitze gestellt; es bleibt dann immer zu zeigen, daß jede ebene Kurve ein Kegelschnitt ist, wenn sie von jeder Geraden in zwei reellen oder konjugiert imaginären Punkten geschnitten wird. Wir wollen die imaginären Punkte nicht direkt in die Definition der Flächen 2. Grades aufnehmen, umsoweniger, als wir erst im Anschlusse an die Kegelschnitte, allerdings unabhängig davon, die Definition der konjugiert imaginären Punkte gegeben haben (348). 642. Durch einen Ebenenbüschel wird auf einer Fläche 2. Grades ein System von Kegelschnitten bestimmt; trifft die Achse dieses Büschels die Fläche in zwei reellen Punkten P und Q, so gehen alle Kegelschnitte durch diese Punkte hindurch. Zwei Punkte der Geraden PQ, welche die Sehne PQ harmonisch teilen, sind (nach 284) konjugiert in Bezug auf alle Kegelschnitte der Fläche 2. Grades, die durch PQ gehen. Man nennt deshalb zwei Punkte kurzerhand konjugierte oder harmonische Pole der Fläche 2. Grades, wenn sie zu den Schnittpunkten ihrer Verbindungslinie mit der Fläche harmonisch liegen. Diese Definition bezieht sich zunächst nur auf Punktepaare, deren Verbindungslinie die Fläche in reellen Punkten schneidet; sie muß indes in analoger Weise wie bei den Kegelschnitten verallgemeinert werden (vergl. 288). Die Polaren eines Punktes A in Bezug auf zwei Kegelschnitte k und unserer Fläche, deren Ebenen enthalten, schneiden sich in einem Punkte B. Treffen sich k und 7 in zwei reellen Punkten B1 und B2, so gehen die Polaren von A durch den Punkt B, der mit A zusammen die Sehne B1B2 harmonisch teilt. Treffen sich k und 7 nicht, d. h. schneiden sich ihre Ebenen in einer Geraden s, die mit unserer Fläche keine reellen Punkte gemein hat, so machen wir folgende Überlegung. Sei (in Fig. 427) C, ein Punkt von k und D, ein Punkt von 7, so schneidet die Ebene AСD1 die Fläche in einem Kegelschnitte m und die Kurven k und 7 in je einem weiteren Punkte C, resp. D2, die auf m liegen. Sind die Punkte C1CAC harmonisch und ebenso auch die Punkte Ð ̧Ð1⁄2AD, so ist CD die Polare von A in Bezug auf m. Wir legen nun weiter durch A einen Strahl der m in E1 und E, trifft und durch ihn eine Ebene, die mit unserer Fläche einen Kegelschnitt n gemein hat. Diese Ebene kann aber stets so gewählt werden, daß sie sowohl in zwei reellen Punkten F1 und F2, als auch k in zwei reellen Punkten G1 und G2 schneidet. Es ist das z. B. der Fall, wenn die Ebene durch /m' Fig. 427. B' 2 1 |