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S(AS = h), dessen Grundkreis in TT, der mit dem Radius h, cotg 8 um A beschriebene Parameterkreis p. ist. Wir greifen die zu TT, parallele Erzeugende e, der Fläche heraus; die zu ihr parallele Mantellinie des Richtungskegels ist SR und die zu SR gehörige Tangentialebene des Kegels liegt parallel zur asymptotischen Ebene von e (vergl. 604). Letztere enthält e, selbst und erzeugt, indem sie zugleich mit e verschraubt wird, die asymptotische Fläche als Hüllfläche aller ihrer Lagen. Daher folgt (606):

Die asymptotische Fläche der allgemeinen Regelschraubenfläche ist die abwickelbare Fläche derjenigen Schraubenlinie, die über dem Parameterkreis p mit der Ganghöhe und im Sinne der gegebenen Fläche beschrieben ist. Denn ihre Tangentialebenen sind denen des Richtungskegels über dem Grundkreise p und von der Höhe h, parallel.

Im Centralpunkte einer Erzeugenden steht die Tangentialebene der gegebenen Fläche senkrecht auf der asymptotischen Ebene (604), mithin auf einer Tangentialebene des Richtungskegels und folglich parallel zur Achse a (104), also liegt (597) ihr Berührungspunkt, d. h. der Centralpunkt, auf der Kehlschraubenlinie. Daher der Satz:

Die Striktionslinie einer Regelschraubenfläche ist deren Kehl schraubenlinie.

629. Der wahre Umriß für die erste Projektion wird bei unserer Fläche von der Kehlschraubenlinie gebildet. Der wahre Umriß u für die zweite Projektion ergiebt sich nach 602. Der Pol der projizierenden Strahlen liegt in TT, unendlich fern in der Richtung der x-Achse. Ist daher g' der Grundriß einer Erzeugenden, W der Endpunkt des zu g/ normalen Radius des Parameterkreises p, so ziehe man durch V die Parallele zur r-Achse, die g' in U" schneidet. U" ist der Grundriß des Punktes U auf g, der dem wahren Umriß angehört (Fig. 405). Die Horizontalprojektion u“ des wahren Umrisses u ist eine aus zwei Zweigen bestehende Kurve 4. Ordnung. Jeder Zweig berührt den Kreis k“ in einem Scheitelpunkte (G", 11") und hat die zur x-Achse parallelen Tangenten des Kreises p zu Asymptoten. Die Kurve u“ hat die durch A parallel und senkrecht zu r gezogenen Geraden zu Symmetrieachsen und besitzt drei reelle Doppelpunkte M, M, L. Die beiden ersten, M und M, liegen im Endlichen symmetrisch zu AL auf der zu r senkrechten Achse, der letzte L ist der unendlich ferne Schnittpunkt ihrer Asymptoten. –

Der Umriß u“ der zweiten Projektion bildet die Hüllkurve der Aufrisse der Erzeugenden. Einzelne Punkte desselben (wie Ü") können mit Hilfe der letzteren aus den Punkten (U") von u“ abgeleitet werden. Die Kurve u“ besteht aus zwei Scharen hyperbelartig verlaufender Zweige, die k“ abwechselnd von links und rechts berühren und die Aufrisse der zu TT, parallelen Erzeugenden zu Asymptoten haben. Die Erzeugenden, deren Aufrisse parallel zu a“ liegen, treffen die Kehlschraubenlinie k in Punkten (G, I/), denen die Berührungspunkte von u“ mit k“ und von u“ mit k“ entsprechen. Dieselben bilden Scheitelpunkte von u“ und u“ wegen der Symmetrie dieser Kurven gegen ihre bezüglichen Normalen. 630. Die Eigen- und Schlagschattengrenzen der offenen schiefen Schraubenfläche bei Parallelbeleuchtung. In Fig. 406 sind von dem unteren zwischen der Kehlschraubenlinie k und der Randschraubenlinie s sich erstreckenden Flächenteil drei Viertelgänge dargestellt, die von den Erzeugenden BC und DE begrenzt werden. Letztere liegen in einer Normal- resp. Parallelebene zu TI, und speziell der Punkt B in TT. Der Lichtstrahl l sei durch seine Projektionen gegeben (Z l’ar =45%, Zl" =30%) und L sei sein Pol in TT, endlich p der Parameterkreis mit dem Radius AR =h, cotg 8, wo h, die reduzierte Ganghöhe und 8 die erste Tafelneigung der Erzeugenden bedeutet. Der Grundriß u“ der Lichtgrenze u wird konstruiert (602), indem man den Grundriß g/ einer Erzeugenden als Tangente an k” und den zu ihr normalen Radius des Kreises p zieht; die Verbindungslinie seines Endpunktes auf p mit L schneidet g' in einem Punkte der Kurve u. Von dieser Kurve, deren Formen im folgenden genauer betrachtet werden, kommen in der Figur die beiden Zweige T"U" und WoW“ zur Erscheinung. Der Aufriß u“ der Lichtgrenze u wird aus ihrem Grundriß u“ mit Hilfe der Erzeugenden ermittelt. Der Grundrißschatten der Fläche ist in der Figur über die x-Achse hinweg ungebrochen fortgesetzt worden. Er wird begrenzt von den Cykloiden k. und s, die als Schlagschatten der Randschraubenlinien k und s auftreten, von zwei Zweigen T„U, und W„W, des Schattens u. der Lichtgrenze zu und von den Schatten BC, D, E, der untersten und obersten Erzeugenden des dargestellten Flächenteiles. Für die graphische Ausführung bedarf es der Darstellung einer Anzahl äquidistanter Erzeugenden der Fläche in Grund- und Aufriß und ihrer Schatten auf TT. Die GrundrißDer Schlagschatten der Fläche auf sich selbst wird aus

schatten umhüllen die Kurve u. ROHN u. PAPPERITZ. II. 9

den Überschneidungen der Grundrißschatten der Randkurven mit

denen der Erzeugenden, sowie ersterer unter sich konstruiert. Als

Begrenzungen treten in der Figur die Linien TX und WK auf, die z

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beide auf der unteren Seite der Fläche liegen und von denen nur die erstere teilweise im Aufriß sichtbar ist. Sie bilden resp. die

Schatten der obersten Erzeugenden DB und der Kehlschraubenlinie k, auf der Fläche.

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631. Untersuchung der Kurven vierter Ordnung, die den Grundriß der Lichtgrenze einer offenen schiefen Schraubenfläche bilden (Fig. 407–414). Wir betrachten eine zur Achse der Schraubenfläche normale Ebene und bezeichnen in ihr mit A den Achsenspurpunkt, mit L den Pol der Lichtstrahlen, mit k den Grundkreis der Kehlschraubenlinie und mit r seinen Radius. Den Parameterkreis, d. h. den Grundkreis des Richtungskegels von der Höhe h, dürfen wir, ohne Verwechselungen befürchten zu müssen, mit demselben Buchstaben p benennen, der bereits früher (605) für seinen Radius p =h, cotgp gebraucht wurde. Endlich werde q=AL=h, cotg" gesetzt (p und bedeuten die erste Tafelneigung der Erzeugenden und des Lichtstrahles). Das Entstehungsgesetz der zu untersuchenden Kurven ist schon in 602 angegeben und lautet jetzt: Beschreiben die Punkte E und G, eines um A rotieren den Halbstrahles die Kreise p und k, so trifft die Verbindungslinie von E mit dem festen Punkte L die zu G gehörige Tangente des Kreises k in einem beweglichen Punkte P. Dieser durchläuft eine unikursale, zu AL symmetrische Kurve 4. Ordnung c. Wir zeigen zuerst, daß die entstehende Kurve c in L einen reellen Doppelpunkt hat. Nimmt man vorerst an, L liege außerhalb k, so überschreitet die Tangente des Kreise k bei einem vollen Umlauf um k zweimal den Punkt L, nämlich in den Lagen LJ und LK (Fig. 407); dabei fällt jedesmal der Punkt P mit L zusammen, es verläuft also auch die Kurve c zweimal durch L. Freilich werden, wenn L. innerhalb k liegt, die Tangenten LJ und LK konjugiert imaginär (347) und folglich auch die durch J und K verlaufenden Radien AB und Fig. 407. AC des Kreises p samt den Strahlen LB und LC. Es schneiden sich dann in L nicht mehr zwei reelle Äste der Kurve c und man hat L als einen isolierten Doppelpunkt zu betrachten (vergl. 430).

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Wir zeigen zweitens, daß ein beliebig durch den Doppelpunkt L gezogener Strahl noch zwei weitere Kurvenpunkte trägt, die reell getrennt, vereint oder konjugiert imaginär sein können. Hieraus folgt dann, daß die Kurve c von der 4. Ordnung ist, wie oben behauptet wurde. In der That, schneidet der gedachte Strahl den Kreis p. in den Punkten E und F und treffen die Radien AE und AF den Kreis k in G, resp. H, so bestimmen die zu G und H gehörigen Tangenten auf unserem Strahle die beiden Kurvenpunkte Pund Q, die von dem doppeltzählenden Punkte L im allgemeinen verschieden sind. Aus ihrer Entstehungsweise ist unmittelbar klar, daß die Kurve c un ikursal ist, d. h. daß sie stetig in einem geschlossenen Zuge beschrieben werden kann. Von isolierten Punkten wird natürlich hierbei abgesehen und man hat sich die Kurve, falls sie sich nicht im Endlichen schließt, im Unendlichen geschlossen zu denken (vergl. 169 und 279). Die allgemeine Theorie der algebraischen Kurven zeigt – worauf hier nicht näher eingegangen werden kann –, daß eine unikursale Kurve 4. Ordnung stets drei Doppelpunkte besitzt. Einer derselben ist in unserem Falle L, er ist stets reell; die beiden anderen, M und N, können reell und getrennt sein oder sich in einem besonderen Punkte der Kurve miteinander vereinen, oder sie sind konjugiert imaginär. Überdies können sie auch unendlich fern liegen. Wir werden gewöhnliche Doppelpunkte der Kurve, in denen sich zwei reelle Äste schneiden, kurz als Knotenpunkte bezeichnen. Als Berührungsknoten dagegen bezeichnen wir einen Doppelpunkt, in dem sich zwei Kurvenäste in der 1. Ordnung berühren. Man kann sich diese Singularität durch Vereinigung zweier Knotenpunkte entstanden denken. 632. Die Linie AL bildet offenbar stets eine Symmetrieachse unserer Kurve c. Falls L außerhalb des Kreises p liegt, lassen sich aus L die Tangenten LT und LU an p ziehen, sie bilden Asymptoten der Kurve c. Es fallen nämlich die auf LT" und LU nach der obigen Konstruktion zu bestimmenden, von L. verschiedenen, Kurvenpunkte jedesmal im unendlich fernen Punkte des betreffenden Strahles zusammen, weil die sie ausschneidenden Tangenten des

" Eine einfache analytische Untersuchung bestätigt dieses Resultat, indem sie zeigt, daß unsere Kurve durch eine algebraische Gleichung 4. Grades zwischen den rechtwinkligen Koordinaten x, y ihrer Punkte dargestellt wird. Macht man A zum Koordinatenanfang und legt die y-Achse durch L, so lautet diese Gleichung: p“ (x“+ y“ qy“ w“ (qy pr)“ – (qx“ + pry pqr)“ = 0.

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