wird; seine Diagonale PQ, ist die gesuchte Tangente t. sich aber aus der Figur: Es ergiebt = Hiernach hat man schließlich PS1 = PA, und PU Aus dieser Konstruktion erkennt man leicht, daß die Tangenten der Kurve c in ihrem Doppelpunkte B durch die Endpunkte D und E des zu AB senkrechten Durchmessers von p gehen. 626. Für eine genaue Zeichnung der Kurve empfiehlt es sich noch, die Krümmungsradien ihrer beiden Zweige in dem gemeinsamen Scheitelpunkte A derselben zu ermitteln. Sei (Fig. 404) HJ der auf AB liegende Durchmesser des Kreises p und LM ein benachbarter Durchmesser, der mit dem vorigen den unendlich kleinen Winkel ɛ einschließt. Der zu LM normale Durchmesser NO schneidet auf BL und BM zwei Nachbarpunkte und W von A auf beiden Kurvenzweigen aus. AV und AW sind also unendlich kleine Sehnen der Kurvenzweige, bezw. ihrer Krümmungskreise und da die Tangenten eines Kreises in den Endpunkten einer Sehne einen doppelt so großen Winkel einschließen als die Sehne mit einer von ihnen, so ist 2 als der zu den Elementen AV und AW gehörige Kontingenzwinkel zu nehmen. Sind 71 und r r2 die zugehörigen Krümmungsradien, so ist: Halbiert man die Strecke AB in Z und trägt auf einen Durchmesser des Kreises p von seinem Endpunkte E aus nach beiden Seiten die Strecke AB als EX und EY auf, so treffen die durch E geführten Parallelen zu XZ resp. YZ die Gerade AB in den gesuchten Krümmungscentren K, resp. K2. Speziell für die Strophoide (Fig. 402) wird r1 = 1 AB und r2 = ∞. — 627. Die offene schiefe Schraubenfläche von rechtsgängiger Windung soll mit Eigen- und Schlagschattengrenzen in orthogonaler Projektion dargestellt werden. Die Achse a sei wieder vertikal gestellt, A ihr Spurpunkt in П1. Als Berandung dienen die Schraubenlinien s und t, in denen die Fläche von einem koaxialen Rotationscylinder geschnitten wird, sowie zwei einen Flächengang begrenzende Erzeugende BC und DE, beide ПT2. Der Randpunkt B der untersten Erzeugenden e liegt auf dem Grundkreisest des Cylinders in П1. Ist S auf a die Spitze eines Richtungskegels von der Höhe ho, RS || e。 eine Mantellinie desselben und deren Neigung gegen TT,, so ist in П, der Kreis p mit dem Radius AR = h cotg ɛ zu schlagen. Endlich schlage man um ▲ den Kreis k' mit dem Radius r = AQ′ = (A − e), der den Grundriß der Kehlschraubenlinie k bildet. Hierauf werden die Schraubenlinien k, s, t im Aufrisse als Sinuslinien in bekannter Weise verzeichnet und ebenso beliebig viele (etwa äquidistante) Erzeugende der Fläche, deren Grundrisse die auf stendigenden Tangenten von k' bilden (Fig. 405). = Der Normalschnitt der Fläche ist nach 606 eine Kreisevolvente und zwar verschlungen, gespitzt, oder gestreckt, je nachdem Mh, cotg & ist. Die Doppelpunkte der Kreisevolvente erzeugen die Doppelkurven der Fläche. Der Meridianschnitt m der Fläche wird zweckmäßig im Hauptmeridian ||ПT2 dargestellt, so daß der Aufriß m" die wahre Gestalt zeigt. Er besteht aus unendlich vielen Zweigen, deren Aufrisse die Sinuslinie k" abwechselnd von rechts und links in ihren Scheiteln berühren und die sich in Punkten der Doppelkurven überschneiden. Den schon beim Normalschnitt unterschiedenen Eventualitäten rh, cotg & entsprechend besitzt der einzelne Zweig der Meridiankurve einen Doppelpunkt (wie F in der Figur) oder eine Spitze oder keines von beiden, so daß man ihn ebenfalls als verschlungen, gespitzt, bezw. gestreckt bezeichnen kann. Dem Doppelpunkte entspricht eine weitere Doppelkurve, der Spitze einer Rückkehrkurve der Fläche, die alsdann abwickelbar ist. Die Kurve m" wird einfach konstruiert, indem man die Schnittpunkte der Grundrisse von Erzeugenden mit der Hauptmeridianspur m' auf die Aufrisse überträgt. Die Aufrisse der zu П parallelen Erzeugenden (z. B. e") bilden Asymptoten von m". Fläche und der Striktionslinie der offenen schiefen Schraubenfläche dient die Betrachtung ihres Richtungskegels mit der Spitze 2 = S(AS h), dessen Grundkreis in П, der mit dem Radius h, cotg & um beschriebene Parameterkreis p ist. Wir greifen die zu П parallele Erzeugende e der Fläche heraus; die zu ihr parallele Mantellinie des Richtungskegels ist SR und die zu SR gehörige Tangentialebene des Kegels liegt parallel zur asymptotischen Ebene von e, (vergl. 604). Letztere enthält e, selbst und erzeugt, indem sie zugleich mit e, verschraubt wird, die asymptotische Fläche als Hüllfläche aller ihrer Lagen. Daher folgt (606): Die asymptotische Fläche der allgemeinen Regelschraubenfläche ist die abwickelbare Fläche derjenigen Schraubenlinie, die über dem Parameterkreis p mit der Ganghöhe und im Sinne der gegebenen Fläche beschrieben ist. Denn ihre Tangentialebenen sind denen des Richtungskegels über dem Grundkreise p und von der Höhe ho parallel. Im Centralpunkte einer Erzeugenden steht die Tangentialebene der gegebenen Fläche senkrecht auf der asymptotischen Ebene (604), mithin auf einer Tangentialebene des Richtungskegels und folglich parallel zur Achse a (104), also liegt (597) ihr Berührungspunkt, d. h. der Centralpunkt, auf der Kehlschraubenlinie. Daher der Satz: Die Striktionslinie einer Regelschraubenfläche ist deren Kehlschraubenlinie. 629. Der wahre Umriß für die erste Projektion wird bei unserer Fläche von der Kehlschraubenlinie gebildet. Der wahre Umriß u für die zweite Projektion ergiebt sich nach 602. Der Pol der projizierenden Strahlen liegt in TT, unendlich fern in der Richtung der x-Achse. Ist daher g' der Grundriß einer Erzeugenden, V der Endpunkt des zu g' normalen Radius des Parameterkreises p, so ziehe man durch die Parallele zur -Achse, die g' in U schneidet. U ist der Grundriß des Punktes U auf g, der dem wahren Umriß angehört (Fig. 405). Die Horizontalprojektion udes wahren Umrisses u ist eine aus zwei Zweigen bestehende Kurve 4. Ordnung. Jeder Zweig berührt den Kreis k' in einem Scheitelpunkte (G', 1') und hat die zur -Achse parallelen Tangenten des Kreises p zu Asymptoten. Die Kurve u hat die durch A parallel und senkrecht zu x gezogenen Geraden zu Symmetrieachsen und besitzt drei reelle Doppelpunkte M, N, L. Die beiden ersten, M und N, liegen im Endlichen symmetrisch zu AL auf der zu z senkrechten Achse, der letzte L ist der unendlich ferne Schnittpunkt ihrer Asymptoten. Der Umrißu" der zweiten Projektion bildet die Hüllkurve der Aufrisse der Erzeugenden. Einzelne Punkte desselben (wie U") können mit Hilfe der letzteren aus den Punkten (U') von u' abgeleitet werden. Die Kurve u" besteht aus zwei Scharen hyperbelartig verlaufender Zweige, die k′′ abwechselnd von links und rechts berühren und die Aufrisse der zu П2 parallelen Erzeugenden zu Asymptoten haben. Die Erzeugenden, deren Aufrisse parallel zu a" liegen, treffen die Kehlschraubenlinie k in Punkten (G, H), denen die Berührungspunkte von u' mit k' und von u" mit k" entsprechen. Dieselben bilden Scheitelpunkte von u' und u" wegen der Symmetrie dieser Kurven gegen ihre bezüglichen Normalen. 2 630. Die Eigen- und Schlagschattengrenzen der offenen schiefen Schraubenfläche bei Parallelbeleuchtung. In Fig. 406 sind von dem unteren zwischen der Kehlschraubenlinie k und der Randschraubenlinie s sich erstreckenden Flächenteil drei Viertelgänge dargestellt, die von den Erzeugenden BC und DE begrenzt werden. Letztere liegen in einer Normal- resp. Parallelebene zu П1⁄2 und speziell der Punkt В in П. Der Lichtstrahl 7 sei durch seine Projektionen gegeben (l'x=45°, l'x=30°) und L sei sein Pol in П1, endlich p der Parameterkreis mit dem Radius AR hcotg &, wo ho die reduzierte Ganghöhe und & die erste Tafelneigung der Erzeugenden bedeutet. = Der Grundriß u' der Lichtgrenze u wird konstruiert (602), indem man den Grundriß g' einer Erzeugenden als Tangente an k' und den zu ihr normalen Radius des Kreises p zieht; die Verbindungslinie seines Endpunktes auf p mit L schneidet g' in einem Punkte der Kurve u. Von dieser Kurve, deren Formen im folgenden genauer betrachtet werden, kommen in der Figur die beiden Zweige T'U' und 'W' zur Erscheinung. Der Aufriß u" der Lichtgrenze u wird aus ihrem Grundriß u' mit Hilfe der Erzeugenden ermittelt. * * * * Der Grundrißschatten der Fläche ist in der Figur über die x-Achse hinweg ungebrochen fortgesetzt worden. Er wird begrenzt von den Cykloiden k und s, die als Schlagschatten der Randschraubenlinien k und s auftreten, von zwei Zweigen TU und VW des Schattens u der Lichtgrenze u und von den Schatten BC, D E der untersten und obersten Erzeugenden des dargestellten Flächenteiles. Für die graphische Ausführung bedarf es der Darstellung einer Anzahl äquidistanter Erzeugenden der Fläche in Grund- und Aufriß und ihrer Schatten auf П. Die Grundrißschatten umhüllen die Kurve u ** ROHN u. PAPPERITZ. II. |