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Indem r" und t“ gleichzeitig unendlich klein werden, nähert sich M'N': M"M" dem Werte 1, man darf tang t“ durch r“ selbst ersetzen und findet den Grenzwert:

r" a) =tange. Sofern man beim Grenzübergange von unendlich kleinen Größen höherer Ordnung absehen kann, wird:

U7“K" N"K" M“R“

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Für r als Krümmungsradius von u“ in J" folgt aus 7):
U"K" = 4 U"J" =-r- r“,
ebenso, weil die Kurve u“ in J’ den Krümmungsradius -h, - cotge
hat (620):
U"K" =h, .cotgs - r“.

Aus der Relation 3) erhält man endlich mit Benutzung von a):
Ö) r = 2h, .tangs.
Hiernach ist der Krümmungsradius r leicht konstruierbar.

622. Die Eigen- und Schlagschattengrenzen der geschlossenen schiefen Schraubenfläche bei Parallelbeleuchtung (Fig. 400). Ein Gang des unteren Flächenteiles sei wie vorher dargestellt. Unter der Annahme:

Z_ l’ar = 4– l" r = 459

bezüglich der Richtung der Lichtstrahlen l werde zuerst von dem Punkte S. der Achse a, dessen erster Tafelabstand der reduzierten Ganghöhe h, gleich ist, der Grundrißschatten S. und aus diesem der Pol L der Lichtstrahlen bestimmt. Uber dem Grundkreise so denke man sich einen Richtungskegel der Fläche konstruiert. Seine Spitze ist C, ihr Grundrißschatten C, seine Mantellinien haben die erste Tafelneigung 8.

Der Grundriß u“ der Lichtgrenze u wird erhalten, indem man von L. aus Lote auf die Schatten der Erzeugenden in TT, (oder auf die parallelen Schatten der Mantellinien eines Richtungskegels) fällt, und dieselben mit den Grundrissen der Erzeugenden schneidet (602). Wird z. B. der Punkt U der Lichtgrenze auf der Erzeugenden e = DE gesucht, so ist E" der erste Spurpunkt der zu e parallelen Mantellinie des Richtungskegels und EC, deren Schatten; man findet also U" auf e” durch die Normale LU" zu E'C. – Die Kurve u“ kann, wie in der Folge noch erörtert wird, verschiedene Gestalten annehmen. Sie besitzt stets in L einen Doppelpunkt und in A einen Selbst berührungspunkt. Wenn sich aus dem Punkte L an den

Fig. 400.

um A mit dem Radius =h-cotgs geschlagenen Kreis p. Tangenten ziehen lassen, so hat u“ diese zu Asymptoten. Für die Bestimmung der Lichtgrenze auf dem unteren Flächenteile kommt nur die eine Hälfte der Kurve u“ in Betracht. Der Aufriß u“ der Lichtgrenze u wird aus dem Grundrisse u" mit Hilfe beider Risse der Erzeugenden bestimmt. So findet sich z. B. der Punkt U" auf e” senkrecht über U" = u“ X e. Um den Grundrißschatten der Fläche zu bestimmen, ist es zweckmäßig, zuerst den Schatten a, der Schraubenachse a und auf ihm den Schatten C„H, der Ganghöhe C// zu suchen. Letzteren teile man in ebensoviel (z. B. 16) gleiche Teile, wie C"H". Die Teilpunkte sind die Schatten der Achsenschnittpunkte äquidistanter Erzeugenden. Durch einen jeden Teilpunkt ziehe man den Schatten e, der betreffenden Erzeugenden e parallel zum Schatten der entsprechenden Mantellinie des Richtungskegels und erteile ihm auch die Länge desselben (z. B. D„E, + C„E'). Die Endpunkte. Er liegen auf einer Cykloide s, dem Schatten der Randschraubenlinie s. Die Schatten der Erzeugenden selbst umhüllen die Kurve zu, den Schatten der Lichtgrenze u. Diese Linie zu, berührt a, in den Punkten, welche den Schnittpunkten von u mit a entsprechen; solche sind X und Y. Den Punkten von u, deren Tangenten die Lichtstrahlrichtung haben, entsprechen Spitzen von u; so entspricht W", dem Punkte V. – Die Kurven zu und s, der Achsenschatten a. und die Schatten BC, resp. G„H, der untersten resp. obersten Erzeugenden des Flächenganges begrenzen zusammen den Grundrißschatten der Fläche. Um seine Form deutlicher erkennen zu lassen, ist seine Fortsetzung über die x-Achse hinweg in den vom Aufrisse eigentlich verdeckten Teil der Grundrißebene gezeichnet worden. Der Schlagschatten der Fläche auf sich selbst wird analog dem Früheren aus den Uberschneidungen der Grundrißschatten ermittelt. Zu seiner Begrenzung gehören die Linienzüge WM, PZ und die aus dem Achsenpunkte Y gezogene Erzeugende, deren Grundriß mit a, zusammenfällt. Sie bilden auf der Fläche resp. die Schlagschatten der Lichtgrenze zu, der obersten Erzeugenden GH und der Achse a. 623. Untersuchung der Kurven 4. Ordnung, die den Grundriß der Lichtgrenze einer geschlossenen schiefen Schraubenfläche bilden. Benutzt man statt des früheren den aus der Spitze S beschriebenen Richtungskegel der Fläche, der über dem Grundkreise p vom Radius =h-cotgs steht, so erhält man die Punkte der ersten Projektion der Lichtgrenze, wenn man den Grundriß einer Mantellinie dieses Kegels mit dem Lote aus L auf ihren Grundrißschatten schneidet. – Der Achsenspurpunkt A, der Pol L der Grundebene TT, ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck. Der Grundriß jeder Erzeugenden ist ein Durchmesser des um A beschriebenen Kreises p und ihr Schatten verbindet einen seiner Endpunkte mit S. Das Entstehungsgesetz der hier zu untersuchenden Kurve c läßt sich daher unabhängig von ihrer Beziehung zu der Schraubenfläche folgendermaßen aussprechen. Sind die Schenkel AB und AC eines rechten Winkels einander gleich, so wird jeder Durchmesser MMW eines um seinen Scheitel A beschriebenen Kreises p von den Loten aus B auf MC und NC in zwei Punkten Po und Q der Kurve c getroffen. Die beiden Lote fallen zusammen, wenn sich der Durchmesser MN mit AC oder AB deckt; daher sind A und B Doppelpunkte der Kurve und zwar charakterisiert sich ersterer als Selbstberührungspunkt (d. h. als Vereinigung zweier Doppelpunkte). Die Gerade AB bildet eine Symmetrieachse der Kurve; denn liegt ein Kreisdurchmesser MN, mit MN zu AB und folglich auch zu AC symmetrisch, so schließen die Geraden NC und MC, sowie ihre Lote mit AB gleiche Winkel ein. – Weil die Fig. 401. durch A gezogenen Strahlen außer diesem doppelt zählenden Punkte noch je zwei weitere Punkte der Kurve tragen, schließt man, daß die Kurve c von der 4. Ordnung ist (denn als Ordnung einer ebenen Kurve bezeichnet man die Anzahl ihrer Schnittpunkte mit irgend einer Geraden der Ebene). Den drei Annahmen, daß B innerhalb des Kreises p, auf demselben oder außerhalb liegt, entsprechen die drei verschiedenen in Fig. 401, 402 und 403 dargestellten Formen der Kurve c. Im zweiten Falle besitzt sie unendliche Zweige; sie zerfällt nämlich in die gerade Linie AC und eine Kurve 3. Ordnung, die sog. Strophoide. Im letzten Falle verläuft die Kurve wiederum durchs Unendliche. 624. Die obige Konstruktion läßt offenbar folgende Umkehrung zu: Schneidet ein durch B gezogener Strahl m den Kreis p in F" und G, so treffen ihn die zu AF" und AG normalen Durchmesser in Punkten Po und R der Kurve c. Hieraus ist für den Fall, daß B außerhalb p liegt, zu schließen, daß die aus B an den Kreis p. gelegten Tangenten BT"= t und

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BU = u Asymptoten der Kurve c bilden. Denn für eine solche Tangente t fallen die beiden Durchmesser, die ihre Schnittpunkte mit c bestimmen in den Parallelstrahl zu t durch A zusammen. Für den zweiten der obigen Fälle folgt, daß alle Punkte R der zu AB normalen Geraden CE der Kurve c angehören, weil stets der eine Endpunkt G der durch B gezogenen Sehne des Kreises p mit B selbst zusammenfällt. Die Halbierungslinie des Winkels NAC steht auf der Strecke PR in ihrem Mittelpunkte J senkrecht. Daher gehören diese Mittelpunkte J dem Kreise i an, der über dem Durchmesser AB be

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