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der Randschatten in TI, mit den Schatten der Erzeugenden abgeleitet und bilden die Kurvenzüge PK, XX, ZK und STO. Ersterer rührt von dem Stücke P/ der obersten Erzeugenden her, die beiden folgenden von t und der letzte von s. 618. Wir gehen zur Darstellung einer geschlossenen schiefen Schraubenfläche in orthogonaler Projektion über (Fig. 397). Die Achse a der rechtsgängigen Fläche sei vertikal gestellt, A ihr Spurpunkt in TT,; sie teilt die Fläche in einen oberen und unteren Teil. Wir stellen nur den unteren Teil dar; er wird von dem Teile einer Erzeugenden e beschrieben, der von der Achse abwärts geht. Als Berandung desselben diene eine (auf koaxialem Rotationscylinder mit dem Grundkreis so liegende) Schraubenlinie s in Verbindung mit a und zwei einen Flächengang begrenzenden Erzeugenden BC und GH, beide |TI. Der Randpunkt B der untersten Erzeugenden e liege in TT. Durch den Aufriß e“ ist der Neigungswinkel 8 der Erzeugenden gegen die Normalebenen bestimmt. Die

Strecke C"H" auf a” giebt die Ganghöhe h an, aus welcher h,

bestimmt und als A"S" aufgetragen wird. RS|e, ist eine Mantellinie des Richtungskegels der Fläche mit der Spitze S und der mit dem Radius AR in TT, beschriebene Kreis p sein Grundkreis. Nach diesen Festsetzungen können die beiderlei Projektionen aller Randlinien der Fläche in bekannter Weise konstruiert werden. Es ist zweckmäßig, eine hinreichend große Anzahl von Erzeugenden in Grund- und Aufriß zu zeichnen. Zu diesem Zwecke teile man etwa den Kreis so von B anfangend in 16 gleiche Teile und ebenso die Ganghöhe C“H". Die in den Teilpunkten von so endigenden Radien bilden die Grundrisse äquidistanter Erzeugenden. Projiziert man ihre Endpunkte auf die x-Achse und zieht Strahlen durch die successiven Teilpunkte von C"H" parallel und gleich den Verbindungslinien der Punkte auf x mit C“, so bilden diese die zugehörigen Aufrisse. Letztere umhüllen den Umriß u“ der zweiten Projektion; u“ berührt a” in den Punkten Jo“ und K“, die von C“ resp. H“ je um "h entfernt sind. 619. Die Meridiankurve der vollständigen Schraubenfläche wird von zwei Scharen paralleler Erzeugenden BC, GH, . . . und EF, . . . gebildet, die gegen die Achse a abwechselnd nach links und rechts unter dem Winkel R – 8 geneigt, sie in Punkten von der gegenseitigen Entfernung = " h schneiden. Sie schneiden einander in unendlich vielen Doppelpunkten (z. B. D), die bei der Schraubenbewegung die Doppelkurven (d) der Fläche beschreiben, in denen Die Normalkurve der Fläche ist nach 606 eine Archimedische Spirale, deren Parameterkreis (580) der mit dem Radius h-cotge um A beschriebene Kreis p. ist. Wir konstruieren die Normalkurve n in einer durch den Punkt J der Achse gelegten Normalebene. Ihr Grundriß n‘ hat dann den vertikalen Durchmesser des Parameterkreises zur Tangente im Scheitelpunkte A. Der zu A gehörige Krümmungsradius der Spirale ist h, - cotge. Man findet weitere Punkte derselben, wenn man von A aus auf die rechts von der genannten Scheiteltangente liegenden Radien die successiven Vielfachen eines Sechszehntels der Peripherie von p aufträgt. Der erste Doppelpunkt D" der Spirale ist der Grundriß von D = BC x EP" und liegt auf der Doppelkurve d. Die Normale der Kurve n' in einem Punkte P" geht durch den Endpunkt Q des zu PA senkrechten Radius von p.

sich der obere und untere Flächenteil durchsetzen. ROHN u. PAPPERITZ. II. 8

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Die Tangentialebene T in einem Punkte Po der Erzeugenden e enthält außer e auch die Tangente t der durch P gelegten Normalkurve n. Ihre erste Spur , geht durch den ersten Spurpunkt E, von e parallel zum Grundrisse t“, also senkrecht zu PQ, ihre zweite Spur t, geht durch den zweiten Spurpunkt T., von t. Man schließt hieraus den Satz:

Einer Reihe von Punkten Po auf der Erzeugenden e entspricht ein zu ihr projektives Büschel von Tangentialebenen mit der Achse e.

Denn die Reihe der Po ist zu der Reihe der Po“, diese zu dem Büschel der Strahlen PQ, dieser zu dem der Normalen t, (der Spurlinien) und der letzte endlich zu dem Büschel der Tangentialebenen projektiv.

Zur Konstruktion der Durchstoßpunkte einer Geraden und der Schnittkurve einer Ebene mit der Fläche können die in 609 und 608 gegebenen Methoden dienen.

620. Um den wahren Umriß zu der Schraubenfläche für die zweite Projektion zu finden, benutzt man die in 602 angegebene allgemeine Konstruktion, indem man in TT, den Pol L. der projizierenden Strahlen in der Richtung der x-Achse unendlich fern annimmt. Ist daher (Fig. 398) g/= AW der Grundriß einer Erzeugenden g und V der Endpunkt des zu g/ normalen Radius von p, so schneide man g' mit der Parallelen zu r durch V in U". U" ist der Grundriß des Punktes U der Umrißkurve, sein Aufriß U" findet sich senkrecht darüber auf g”.

Die Horizontalprojektion u“ des wahren Umrisses zu be

steht aus zwei Zweigen, die sich in dem gemeinsamen Scheitel

punkte A berühren und die zur x-Achse parallelen Tangenten des Kreises p zu Asymptoten haben. Auf den Radien AW und AW", des Kreises p seien die Nachbarpunkte U" und U", der Kurve zu nach obigem Verfahren bestimmt. Ferner sei AY LU"V, XZH U'A, J/J), UV und z. UAW =o. Das durch die Hilfslinien gebildete

Viereck U"U"U"U“ nähert sich der Parallelogrammform, wenn das mit seiner Diagonale zusammenfallende Kurvenelement U"U" unendlich klein wird. Daher wird (436) die Kurventangente in U" als U" V erhalten, wenn man Y auf MZ so bestimmt, daß das Verhältnis XY: U"X dem Grenzwerte von U"U": U"U“ gleich wird. Für den Grenzübergang darf man setzen: U"U" = VW = WW. und findet daher, wenn Y den Schnittpunkt MZ X AW bedeutet: T717 III, WW, . cos do A W. cos ao XIV XY

FF FF - - - - - - - - - -

Hierin liegt eine einfache Tangentenkonstruktion. Ist U" der gegebene Kurvenpunkt auf u“, so zeichne man das rechtwinklige Dreieck U"AV, schneide seine Hypotenuse U"W mit AM in X und projiziere X senkrecht auf die Kathete AV nach K" so ist YU" die gesuchte Tangente.

Der Kreis um 0,, welcher u“ in A berührt und außerdem in U" schneidet, geht in den Krümmungskreis k des Scheitels A über, wenn U" sich unbegrenzt A nähert. Dabei ist stets z. WALM = - z. U’0, A, während der zum Centriwinkel WAM gehörige Bogen J/M des Kreises p der Konstruktion zufolge dem Kurvenelemente U'A, also auch dem zum Centriwinkel U’0, A gehörigen Bogen des Kreises k gleich wird. Folglich ist AO = - AR der Krümmungsradius im Scheitel der Kurve u“.

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fläche wurde bereits als Hüllkurve der Aufrisse ihrer Erzeugenden bestimmt. Die zugehörigen Berührungspunkte ergeben sich aus dem Grundrisse. Er besteht aus zwei Scharen hyperbelartig verlaufender Zweige, die den Achsenaufriß a“ abwechselnd von links und rechts berühren und die Aufrisse der zu TT, parallelen Erzeugenden zu Asymptoten zhaben. Die Erzeugenden, deren Aufrisse sich mit a” decken, treffen a in Punkten, deren zweite Projektionen die Berührungspunkte von a” und ze u“ bilden. Jeder solche Punkt ist ein Scheitel von u“, weil irgend zwei gleich weit von ihm entfernte Erzeugende sich als Gerade projizieren, die zur Normalen von a” symmetrisch liegen.

Es soll noch der Krümmungsradius von u“ in einem Scheitel konstruiert werden. Sei i eine Erzeugende der Fläche, deren Aufriß i“ mit a” zusammenfällt und J= iX a, so ist J" ein Scheitel von u“. Sei ferner k eine benachbarte Erzeugende, K=k X a und Uder auf k gelegene Punkt des wahren Umrisses zu, setzt man endlich:

r“ = Z. i k“, r“ = Z - "k“, so gehören zu den Bogenelementen U"J" und U"J" der Kurven u“ und zu resp. die Kontingenzwinkel v“ und 2“ (620). Auf der Achse a werde von K aus abwärts die reduzierte Ganghöhe h, abgetragen und durch ihren Endpunkt eine Parallelebene zum Grundrisse gelegt, die k in N und die Parallele zu i durch K in M schneiden mag. Dann ist: K"M" = K'N' =h, . cotgs. und man findet (Fig. 399): M'N' = " h, - cotga, M'N' =h, .tangt“,

also: M“N/ r

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