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letzteres den über dem Durchmesser AL geschlagenen Kreis m in AK = MX = MY. Daher zeigt sich, daß die

M, so hat man: AJ:

=

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Kurve u eine Pascal'sche Schnecke (Konchoide) ist (vergl. 440). L ist ihr reeller Doppelpunkt.

Der Abstand der Erzeugenden e von ihrem Grundrisse e ist =h, wenn ≤ QAJ = 9 und Q der Berührungspunkt der in П, liegenden Erzeugenden e, mit k', J der von e' mit k' ist. Der Grundrißschatten e geht aus e durch eine Parallelverschiebung in der Richtung von l

ex

hervor, deren Größe
für λ= (Neigung
des Lichtstrahles

gegen П1)
ho-op - cotg 2

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durch

ge

messen wird. Schnei

den AQ und AJ den

mit dem Radius AL

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Fig. 396.

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Linie e ergiebt sich ex als Endlage der mit dem Kreisen fest verbundenen Geraden eo, wenn n auf der durch L parallel zu ľ gezogenen Geraden i um die Bogenlänge Q11 fortrollt. Oder: Die Schattengrenze u in П, ist die Hüllkurve der Geraden e, die mit dem auf i rollenden Kreise n fest verbunden bleibt. Der Berührungspunkt X von u mit e wird nach 568 als Fußpunkt des aus dem augenblicklichen Drehpunkte Lauf e gefällten Lotes bestimmt. Ist P der Fußpunkt des Lotes von L auf e, so begrenzen die Schenkel des Winkels PLX auf dem Kreise m einen Bogen NM = Bogen Q11 Q11 LL Rollt daher m ebenfalls auf i, so gelangt der Punkt N, indem er eine gespitzte Cykloide c beschreibt, in die Lage M auf LX. Letztere Gerade ist die Normale der Cykloide und MX MX dem Radius von k, gleich. Hieraus folgt: Der Schlagschatten der offenen geraden Schraubenfläche auf eine Normalebene П, wird durch die Parallelkurve (Äquidistante) u einer gespitzten Cykloide

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=

*

*

c begrenzt. Die Cykloide c entsteht beim Rollen eines Kreises m vom Radius=h.cotg 2 auf dem Grundrisse i eines Lichtstrahles; die auf ihren Normalen abzutragende konstante Strecke ist dem kürzesten Abstande 4Q einer Erzeugenden von der Achse der Fläche gleich. - Die ersten Spurpunkte der die Lichtgrenze u berührenden Lichtstrahlen sind Spitzen von u; sie liegen auf der Doppeltangente l' der Kurve u. Die erste Spitze entspricht dem BeV * rührungspunkte V', die zweite W dem Berührungspunkte W', u. s. f. Die Spitzentangenten von c liegen rechtwinklig zu l', die der Parallelkurve u abwechselnd rechtwinklig zu LV und LW'.

*

617. Der Aufriß u" der Lichtgrenze auf der Schraubenfläche wird von einer wellenförmigen Kurve gebildet, die den Aufriß k" der Kehlschraubenlinie in den Punkten R", U", B", D" schneidet, deren Grundrisse auf k' die Endpunkte der und || gezogenen Durchmesser bilden. Der Schnittpunkt von u" mit dem Aufrisse einer Erzeugenden liegt senkrecht über dem Schnittpunkte ihres Grundrisses mit u'.

Die durch den Pol L parallel zur Achse a gezogene Gerade b bildet die Polachse der Schraubenfläche. Die gemeinsamen Normalen der Polachse b und der Erzeugenden erzeugen ihrerseits eine zweite gerade Schraubenfläche; dieselbe ist geschlossen und hat denselben Windungssinn und dieselbe Ganghöhe wie die gegebene. Die Lichtgrenze u ist der Durchschnitt dieser Polarschraubenfläche mit der gegebenen (601). Die Schlagschattengrenze der Polarschraubenfläche in П1 ist eine gespitzte Cykloide und bildet die gemeinsame Evolute der Kurven u und c; sie ist also mit letzterer kongruent (571) und trägt die Spitzen V, W... der ersteren (450).

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t unserer Fläche Sie gehen aushervor, deren

Die Schlagschatten der Randkurven s und in П, sind die verschlungenen Cykloiden s, und t. einander durch eine Verschiebung in der Richtung Größe sich zu AL verhält, wie der Bogen FG des Grundkreises s' zu seinem Radius. Zu ihnen tritt noch der Grundrißschatten JH * der obersten Erzeugenden JH.

Der Schlagschatten der Fläche auf sich selbst ist nach der schon in 614 angewandten Methode bestimmt. Zu seiner Begrenzung gehören zunächst zwei Zweige VM und WN des Schattens. der Lichtgrenze u auf die Fläche. Diese setzen tangential an u in den Berührungspunkten und W der Lichtstrahlen an und endigen auf den Randlinien s und t. Sodann gehören hierzu die Schatten der Randkurven auf die Fläche. Diese sind aus den Schnittpunkten

der Randschatten in П, mit den Schatten der Erzeugenden abgeleitet und bilden die Kurvenzüge PK, XY, ZK und STO. Ersterer rührt von dem Stücke PJ der obersten Erzeugenden her, die beiden folgenden von t und der letzte von s.

618. Wir gehen zur Darstellung einer geschlossenen schiefen Schraubenfläche in orthogonaler Projektion über (Fig. 397). Die Achse a der rechtsgängigen Fläche sei vertikal gestellt, ihr Spurpunkt in TT,; sie teilt die Fläche in einen oberen und unteren Teil. Wir stellen nur den unteren Teil dar; er wird von dem Teile einer Erzeugenden e beschrieben, der von der Achse abwärts geht. Als Berandung desselben diene eine (auf koaxialem Rotationscylinder mit dem Grundkreis s' liegende) Schraubenlinie s in Verbindung mit a und zwei einen Flächengang begrenzenden Erzeugenden BC und GH, beide ||П. Der Randpunkt B der untersten Erzeugenden e liege in П. Durch den Aufriß e," ist der Neigungswinkel ɛ der Erzeugenden gegen die Normalebenen bestimmt. Die Strecke C"H" auf a" giebt die Ganghöhe h an, aus welcher ho bestimmt und als "S" aufgetragen wird. RS || e。 ist eine Mantellinie des Richtungskegels der Fläche mit der Spitze S und der mit dem Radius AR in П, beschriebene Kreis p sein Grundkreis. Nach diesen Festsetzungen können die beiderlei Projektionen aller Randlinien der Fläche in bekannter Weise konstruiert werden.

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Es ist zweckmäßig, eine hinreichend große Anzahl von Erzeugenden in Grund- und Aufriß zu zeichnen. Zu diesem Zwecke teile man etwa den Kreis s' von B anfangend in 16 gleiche Teile und ebenso die Ganghöhe C"H". Die in den Teilpunkten von s' endigenden Radien bilden die Grundrisse äquidistanter Erzeugenden. Projiziert man ihre Endpunkte auf die x-Achse und zieht Strahlen durch die successiven Teilpunkte von C"H" parallel und gleich den Verbindungslinien der Punkte auf x mit C", so bilden diese die zugehörigen Aufrisse. Letztere umhüllen den Umriß u" der zweiten Projektion; u berührt a" in den Punkten J" und K", die von C" resp. H" je um 1h entfernt sind.

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619. Die Meridiankurve der vollständigen Schraubenfläche wird von zwei Scharen paralleler Erzeugenden BC, GII,... und EF,... gebildet, die gegen die Achse a abwechselnd nach links. und rechts unter dem Winkel R geneigt, sie in Punkten von der gegenseitigen Entfernung hschneiden. Sie schneiden einander in unendlich vielen Doppelpunkten (z. B. D), die bei der Schraubenbewegung die Doppelkurven (d) der Fläche beschreiben, in denen sich der obere und untere Flächenteil durchsetzen.

ROHN u. PAPPERITZ. II.

=

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Die Normalkurve der Fläche ist nach 606 eine Archimedische Spirale, deren Parameterkreis (580) der mit dem Radius

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