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eine gespitzte Cykloide. Letztere entsteht, wenn der Kreis u“ auf der durch L gezogenen Lichtstrahlenprojektion l“ abrollt als Bahnlinie des Punktes U, den u“ mit der tiefsten Erzeugenden g gemein hat.

Die Spitzen folgen einander im Abstande cog 7. – Die beiden

Randschraubenlinien s und t ergeben als Schatten s, und t, in TI, ebenfalls Cykloiden. Diese entstehen, wenn der um A mit dem Radius AL beschriebene Kreis auf der Geraden l“ abrollt, als Bahnkurven der Endpunkte D und E von g. Unter der Annahme AD = AE > AL sind es verschlungene Cykloiden; ihre Ganglänge ist doppelt so groß, als die der Cykloide u; sie sind gegeneinander um ihre halbe Ganglänge verschoben und umschließen mit ihren Schleifen abwechselnd die Spitzen von u. Zur Begrenzung des Schlagschattens auf die Grundrißebene gehören schließlich noch die Erzeugende g und der Schatten h, der Erzeugenden h. Man erhält die zu u., s, t, gehörigen Elemente am einfachsten, wenn man von einer hinreichenden Anzahl äquidistanter Erzeugenden der Fläche die Schlagschatten in TI, zeichnet, weil diese ohnehin noch benutzt werden müssen. Wenn, wie in unserer Figur, ein Teil des Schlagschattens nicht in TT, sondern in TI, sichtbar wird, so erscheint er an der x-Achse gebrochen. Man konstruiert dann mit Hilfe der Affinität zwischen den Schattenprojektionen in beiden Tafeln. Die Affinitätsachse ist x, die Affinitätsstrahlen werden durch die Schatten H. und H“ eines Punktes H der Erzeugenden h leicht bestimmt (bei unserer Annahme liegen sie | x).

614. Der Schlagschatten der Schraubenfläche auf sich selbst wird von den Kurven v, w, y, z begrenzt, die auf ihr als Schatten der Lichtgrenze u, sowie der Randlinien s, t und h entstehen. Die Kurve v geht tangential von der Lichtgrenze u aus und zwar in den Punkten, deren Tangenten die Richtung der Lichtstrahlen haben. Der Pol L bildet den Grundriß dieser Punkte. In dem dargestellten Flächengange besitzt v zwei Zweige, deren Grundrisse zusammenfallen; der untere endigt auf der Randlinie g in ihrem Schnittpunkte mit u., der obere auf der Randlinie s in V (W. =u, »« s). Man bestimmt Punkte ihres Grundrisses, indem man zu den Schnittpunkten von u. mit den Schatten erzeugender Geraden die entsprechenden Punkte auf ihren Grundrissen sucht. Um den Randschatten auf der Fläche zu finden, denke man sich durch die Schnittpunkte von s, t, und h, mit den Grundrißschatten der Erzeugenden Lichtstrahlen gezogen und verfolge dieselben in beiden Projektionen zurück bis zu den betreffenden Erzeugenden selbst. Auf diese Weise ergeben sich Punkte der Grenzlinien w, y, x. Die Kurven w und y schneiden die Achse a, ihre Grundrisse sind identisch. Die Kurve w beginnt auf u in dem Punkte W, dessen Schatten W. =u, x s, ist, und endigt in dem zu J. =s, x h, gehörigen Punkte J. Der Anfangspunkt der (im Grundriß völlig verdeckten) Kurve y liegt senkrecht unter W auf u, ihr Endpunkt X auf s entspricht dem Schnittpunkte Y. =s, x t. Die Kurve z beginnt in dem vertikal über U auf h gelegenen Punkte und endigt in J; ihr Aufriß fällt mit der durch C“ gezogenen Lichtstrahlprojektion l“ zusammen.

615. Die offene gerade Schraubenfläche mit ihren Schattengrenzen soll unter den bisherigen Annahmen über die Richtung der Achse a und der Lichtstrahlen dargestellt werden, also für a LTT, und z / r = z. " = 45°. Ein rechtsgewundener Flächengang sei begrenzt durch die Erzeugenden FG (in TT) und HJ (in TT) und die auf einem koaxialen Rotationscylinder liegenden Schraubenlinien s und t, deren Endpunkte resp. F, H und G, J. sind. Die Kehlschraubenlinie k hat das vom Achsenspurpunkte A auf FG gefällte Lot AQ zum Radius; der in TT, um A mit diesem Radius beschriebene Kreis k“ ist ihr Grundriß, ihr Aufriß eine Sinuslinie k“. Ebenso bildet der mit dem Halbmesser AF" beschriebene Kreis so zugleich den Grundriß von s und t, während die Aufrisse dieser Kurven zwei kongruente Sinuslinien so“ und t“ sind, die sich in den Scheitelpunkten B“ und D“ der Kurve k“ überschneiden. Es ist zweckmäßig, am Aufrisse a’ der Achse die Ganghöhe h=A“E“ in eine hinreichende Anzahl (16) gleicher Teile zu teilen und durch die Teilpunkte Parallelen zu x als Aufrisse von Erzeugenden zu ziehen, die man numerieren mag. Die Grundrisse derselben berühren den Kreis k“; ihre Berührungspunkte werden durch entsprechende Teilung der Peripherie, die im Berührungspunkte Q von FG beginnt, erhalten. Schließlich bestimme man noch, wie vorher

(596) aus der reduzierten Ganghöhe h, = den Pol L. des Lichtstrahles in TI (AL =h,-/2, z. AL, r =45). 616. Der Grundriß u“ der Lichtgrenze u wird von den Fußpunkten der Lote aus dem Pole L auf die Tangenten des Kreises k" gebildet. Diese Kurve 4. Ordnung u“ (deren Konstruktion in Fig. 396 wiederholt ist) heißt daher eine Fußpunktkurve des Kreises k“ und L ihr Pol. Sind e” und f” zwei parallele Tangenten von k., J und K ihre Berührungspunkte, X und Y die auf ihnen liegenden Fußpunkte des gemeinsamen Lotes aus L. und schneidet letzteres den über dem Durchmesser AL geschlagenen Kreis m in M, so hat man: AJ = AK = MY = MY. Daher zeigt sich, daß die

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Kurve u“ eine Pascal'sche Schnecke (Konchoide) ist (vergl. 440) L ist ihr reeller Doppelpunkt.

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Der Abstand der Erzeugenden e von ihrem Grundrisse e” ist =h-p, wenn z. QA/=q und Q der Berührungspunkt der in TT, liegenden Erzeugenden er mit k“, J der von e’ mit k’ ist. Der Grundrißschatten e, geht aus e durch eine Parallelverschiebung in der Richtung von / hervor, deren Größe für – Zll" (Neigung des Lichtstrahles gegen TT,) durch h, - qp - Cotg - gemessen wird. Schneiden AQ und AJ den mit dem Radius AL = h, - cotg 1 beschriebenen Kreis in resp. in Q% und J., so ist der Bogen QJ, der Verschiebungsgröße gleich. Die Linie e. ergiebt sich als Endlage der mit dem Kreisen fest verbundenen Geraden e, wenn in auf der durch L parallel zu l“ gezogenen Geraden ium die Bogen- Fig. 396. länge = QJ, fortrollt. Oder: Die Schattengrenze u. in TT, ist die Hüllkurve der Geraden e, die mit dem auf i rollenden Kreise in fest verbunden bleibt. Der Berührungspunkt X, von u. mit e, wird nach 568 als Fußpunkt des aus dem augenblicklichen Drehpunkte L, auf e, gefällten Lotes bestimmt. Ist Po der Fußpunkt des Lotes von L auf e, so begrenzen die Schenkel des Winkels PLX auf dem Kreise im einen Bogen NM = Bogen QJ, = LL. Rollt daher im ebenfalls auf i, so gelangt der Punkt N, indem er eine gespitzte Cykloide c beschreibt, in die Lage M. auf L, X. Letztere Gerade ist die Normale der Cykloide und MX = MX dem Radius von k., gleich. Hieraus folgt: Der Schlagschatten der offenen geraden Schraubenfläche auf eine Normalebene TT, wird durch die Parallelkurve (Äquidistante) u. einer gespitzten Cykloide c begrenzt. Die Cykloide c entsteht beim Rollen eines Kreises im vom Radius = 4 h. cotg" auf dem Grundrisse i eines Lichtstrahles; die auf ihren Normalen abzutragende konstante Strecke ist dem kürzesten Abstande AQ einer Erzeugenden von der Achse der Fläche gleich. – Die ersten Spurpunkte der die Lichtgrenze zu berührenden Lichtstrahlen sind Spitzen von u; sie liegen auf der Doppeltangente l“ der Kurve u. Die erste Spitze. V. entspricht dem Berührungspunkte Wo, die zweite W., dem Berührungspunkte W", u. s. f. Die Spitzentangenten von c liegen rechtwinklig zu l, die der Parallelkurve u. abwechselnd rechtwinklig zu LV” und LW. 617. Der Aufriß u“ der Lichtgrenze auf der Schraubenfläche wird von einer wellenförmigen Kurve gebildet, die den Aufriß k“ der Kehlschraubenlinie in den Punkten R“, U“, B“, D“ schneidet, deren Grundrisse auf k“ die Endpunkte der L 1" und |x gezogenen Durchmesser bilden. Der Schnittpunkt von u“ mit dem Aufrisse einer Erzeugenden liegt senkrecht über dem Schnittpunkte ihres Grundrisses mit u“. Die durch den Pol L parallel zur Achse a gezogene Gerade b bildet die Polachse der Schraubenfläche. Die gemeinsamen Normalen der Polachse b und der Erzeugenden erzeugen ihrerseits eine zweite gerade Schraubenfläche; dieselbe ist geschlossen und hat denselben Windungssinn und dieselbe Ganghöhe wie die gegebene. Die Lichtgrenze u ist der Durchschnitt dieser Polarschraubenfläche mit der gegebenen (601). Die Schlagschattengrenze der Polarschraubenfläche in TI, ist eine gespitzte Cykloide und bildet die gemeinsame Evolute der Kurven u. und c; sie ist also mit letzterer kongruent (571) und trägt die Spitzen W, W., . . . der ersteren (450). Die Schlagschatten der Randkurven s und t unserer Fläche in TI, sind die verschlungenen Cykloiden s, und t. Sie gehen auseinander durch eine Verschiebung in der Richtung l“ hervor, deren Größe sich zu AL verhält, wie der Bogen FG des Grundkreises so zu seinem Radius. Zu ihnen tritt noch der Grundrißschatten J„H, der obersten Erzeugenden JH. Der Schlagschatten der Fläche auf sich selbst ist nach der schon in 614 angewandten Methode bestimmt. Zu seiner Begrenzung gehören zunächst zwei Zweige WM und WN des Schattens der Lichtgrenze u auf die Fläche. Diese setzen tangential an u in den Berührungspunkten V und W der Lichtstrahlen an und endigen auf den Randlinien s und t. Sodann gehören hierzu die Schatten der Randkurven auf die Fläche. Diese sind aus den Schnittpunkten

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