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dessen Lichtgrenze bilden. Hiernach gestaltet sich die Schattenkonstruktion für die in Rede stehende Fläche besonders einfach; wir wollen sie für einen in bestimmter Weise begrenzten Teil unserer

Fig. 393.

Fläche vollständig durchführen und zwar in orthogonaler Projektion durch zwei parallele Erzeugende EF" und GH, durch den zwischen ihnen liegenden Gang FMNOH von s und den Gang EJKLG einer zweiten mit s koaxialen Schraubenlinie t begrenzt. Die Richtung eines Lichtstrahles l sei durch seine Projektionen / und l“ festgelegt (Fig. 393).

unter der Annahme einer vertikalen Schraubenachse. Wir betrachten nur den einen der beiden in der Rückkehrkante

s zusammenstoßenden Mäntel der Fläche und denken uns denselben

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Die Berandung unserer (rechtsgängigen) Schraubenfläche wird im Grundriß durch die koncentrischen Kreise s” und t“ mit der Tangente EF" des ersteren, im Aufriß durch die Sinuslinien so“ und t“ und die Tangenten E"F“ und G"H“ von so“ dargestellt (G" = E, H" = F"), zu denen noch als Umrißlinie M "K“ kommt (M"K" |2). Irgend ein Punkt S (etwa mit dem ersten Tafelabstand = 2h) werde als Spitze eines Richtungskegels gewählt und für diesen in bekannter Weise (483) die Eigen- und Schlagschattengrenze (in TT) konstruiert. Hierauf sind parallel zu den ersten Projektionen der Mantellinien, die auf dem Kegel die Lichtgrenze bilden, in geeignetem Sinne die Tangenten u“ und v“ des Kreises so zu ziehen. Sie bilden die Grundrisse zweier Erzeugenden u und v, aus denen in Verbindung mit s die Lichtgrenze auf der Schraubenfläche besteht; ihre Aufrisse u“ und v“, die unter Benutzung der Randpunkte leicht konstruiert werden, liegen wieder zu den Aufrissen der entsprechenden Kegelkanten parallel. Man zeichne jetzt die Schatten der Schraubenlinien s und t in TT, als Cykloiden (588). In der Figur ist s, eine gestreckte, t, eine verschlungene Cykloide; die beschreibenden Kreise sind so und t“, der rollende Kreis ist dadurch bestimmt, daß sein Umfang der Länge des Schattens der Ganghöhe h = FH gleichkommt und seine Bahnlinie ist parallel zu l". Die Scheitel der Cykloiden sind die Schatten der Punkte N, O, J, L, deren Grundrisse auf so resp. t“ und einem zu l“ senkrechten Durchmesser liegen. Begrenzt werden die Kurven durch die Punkte E = E und G., bezw. F. und H. Die Verbindungslinien dieser Punktepaare bilden die Schatten der Erzeugenden EF" und GH, die zur Berandung gehören. Schließlich sind parallel zu den Schlagschattengrenzen des Richtungskegels die Geraden u. und v, zu ziehen, welche die Kurven s, und t, in den Punkten berühren, die den Endpunkten der Geraden zu und v aufs und t als Schatten zugehören. Aus den Linien s, t, u, v, EF. und GH, setzt sich die Grenze des Schlagschattens der Fläche auf die Grundrißebene ZU1S2100/100G10,

" Die in 602 erwähnte Kurve 4. Ordnung ist hier in den Kreis s” und seine Tangenten u“ und v“ zerfallen.

Den Punkten, in denen der Randschatten t, sich selbst und die Kurve s, überschneidet, entsprechen Punkte der Linien t und s, die von der Randlinie t Schatten empfangen. Man findet sie, indem man die zu den Überschneidungspunkten gehörigen Lichtstrahlen rückwärts bis zu den fraglichen Kurven verfolgt. Die gefundenen Punkte liegen auf einer ersten Grenzlinie w des Schlagschattens der Fläche auf sich selbst. Will man eine größere Anzahl von Punkten der Grenzlinie w konstruieren, so hat man die Überschneidungspunkte von t, mit den Schatten geeigneter Erzeugenden der Fläche in analoger Weise zu benutzen. Ferner entspricht dem Punkte Z., in welchem s, die Kurve t, überschneidet, ein Punkt Z des Randes t, der von dem Rande s Schatten erhält. In Z endigt eine zweite Grenzkurve z des Schlagschattens der Fläche auf sich selbst. Dieselbe berührt s in demselben Punkte wie zu. Der von v aufsteigende Teil der Fläche wirft Schatten auf ihre Oberseite zwischen w und u, auf ihre Unterseite zwischen z und v. Der von u absteigende Teil beschattet die Unterseite zwischen u und z.

Windschiefe Regelschraubenflächen.

612. Wir betrachten zuerst die geschlossene gerade Schraubenfläche. Ihre die Achse a senkrecht schneidenden Erzeugenden bilden gleichzeitig die Normal- und Meridiankurven. Wir denken uns die Fläche rechtsgängig. Um eine einfache Darstellung zu geben, sei ein Gang derselben durch zwei Erzeugende g und h, die in den Normalebenen TT, und TT, senkrecht zu TT, liegen sollen, und durch zwei einem koaxialen Cylinder (Grundkreis s) angehörige Schraubenlinien s und t begrenzt.

Der Umriß der ersten Projektion besteht dann aus dem Kreise s' (= t) und der Geraden g (= h), der Umriß der zweiten Projektion aus zwei kongruenten Sinuslinien s” und t“, die sich in den Punkten A“, B“, C“ auf a” schneiden (Fig. 394). Die Striktionslinie der Fläche wird von ihrer Achse a gebildet. Die Tangentialebene in einem Punkte der Achse verbindet diese mit der durch ihn gezogenen Erzeugenden, ist also eine Meridianebene; schreitet der Berührungspunkt auf der Erzeugenden fort, so dreht sich die Tangentialebene um diese und geht schließlich (als asymptotische Ebene) in die zugehörige Normalebene über. Man konstruiert eine Tangentialebene mittels der Tangente der durch den Berührungspunkt gezogenen koaxialen Schraubenlinie.

Die Durchstoßpunkte einer gegebenen Geraden mit einem Flächengange können nach der in 607 angegebenen Methode gefunden werden. Zur Konstruktion eines ebenen Schnittes der Fläche teile man die auf der Achse abgetragene Ganghöhe h = AC in eine hinreichende Anzahl gleicher Teile und denke sich durch die Teilpunkte. Normalebenen gelegt, welche auf der schneidenden Ebene E Streichlinien |e, und e, bestimmen. Jede solche Streichlinie schneide man mit der in der zugehörigen Normalebene liegenden Erzeugenden. Die so gefundenen Punkte liegen auf der gesuchten Schnittkurve. Letztere besitzt in jedem Flächengange zwei Asymptoten. Dieselben werden durch Normalebenen bestimmt, welche die beiden zur Ebene E parallelen (eine Ganghälfte begrenzenden) Erzeugenden enthalten. Die angedeutete Konstruktion ist zuerst im Grundrisse auszuführen und hieraus der Aufriß der Schnittkurve abzuleiten. 613. Die Schattengrenzen der geschlossenen geraden Schraubenfläche werden nach 601 dargestellt. Wird von TI, aus auf die Achse a die reduzierte Ganghöhe bis nach S abgetragen

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links um 90° bis in die Lage L gedreht, so ist L. der Pol des Lichtstrahles, die Neigung von l gegen TT, heiße . In Fig. 394 sind die Projektionen 1 und l“ des Lichtstrahles l beide gegen die x-Achse unter 45" gezogen. Von dem Pole L. aus 1älle man die Lote auf die um A sich drehende Gerade g. Der geometrische Ort ihrer Fußpunkte ist der Kreis über dem Durchmesser AL und bildet den Grundriß u“ der Lichtgrenze u. Diese wird auf der Fläche durch den über u“ stehenden Rotationscylinder ausgeschnitten und bildet eine Schrauben

linie von der Ganghöhe = # Durchläuft ein Punkt die Licht

grenze eines Flächenganges, so beschreibt sein Grundriß den Kreis u' doppelt. Ist nämlich U auf der Erzeugenden g der erste Spurpunkt der Lichtgrenze u, U, ein höherer Punkt derselben und M der Achsenspurpunkt jenes Cylinders, so ist Z UMU“ = 2 p, wenn z. UAU“ = q ist. Die Höhe des Punktes U, über TT, ist =h, q, sie wächst proportional dem Winkel z. UMU“. Hieraus folgt: Jeder Rotationscylinder, der die Achse der geschlossenen geraden Schraubenfläche zur Mantellinie hat, schneidet

auf ihr eine Schraubenlinie von der Ganghöhe # aus. Dem

nach ergiebt sich der Aufriß u“ der Lichtgrenze als eine Sinuslinie, welche die Punkte A“, B“, C“ aufa“ enthält. Da die Neigung dieser Schraubenlinie u mit übereinstimmt (tangl. = „h,: LM =h: LA), so hat sie Lichtstrahlen zu Tangenten und ihr Schatten u. in TI, wird

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