Indem man den Punkt U zugleich mit g und e die zur Erzeugung der Fläche dienende Schraubenbewegung in geeignetem Sinne (abwärts) ausführen läßt, wird e die Fläche selbst und U auf ihr eine Schraubenlinie u beschreiben, deren Spurpunkt in π durch X bezeichnet werden mag. X gehört dann zugleich den beiden Spurkurven an, welche die bewegten Geraden e und g in П1 bestimmen. Von diesen ist die eine die gespitzte Kreisevolvente f1, die andere eine (allgemeine) Kreisevolvente g1 durch den Punkt G1, die nach 606 gefunden wird. Man bestimme nämlich den Kreis k als Horizontalprojektion aller zu der genannten Bewegung gehörigen Schraubenlinien, welche Parallelen zu g als Tangenten haben und ziehe als Projektion einer solchen an k die Tangente t'. Rollt ť auf k, so beschreibt der fest mit verbundene Punkt G1 die Kurve 91 Demnach kann X als einer der Schnittpunkte von f und g1 gefunden werden. Da umgekehrt X durch Schraubenbewegung (aufwärts) in den gesuchten Punkt U übergehen muß, so findet man dessen Grundriß U' auf g' mittels eines durch X um den Achsenspurpunkt S' geschlagenen Kreises. Die Horizontalprojektion e' der durch U gehenden Erzeugenden e ist eine aus U' an den Kreis s' gelegte Tangente. Die Geraden EG1 und E,G, sind als erste und dritte Spur der Ebene eg parallel. Der in der Figur gezeichnete Flächengang hat mit der Geraden g außer U noch einen weiteren Punkt V (auf der Erzeugenden d) gemein, der in analoger Weise bestimmt ist. Das hier zur Bestimmung der Schnittpunkte einer gegebenen Geraden Gesagte läßt sich mit geringen Abänderungen bei allen Schraubenflächen anwenden, deren Normalkurven bekannt sind. 610. Für die Abwickelung der Schraubenfläche sind die in 458 bis 460 entwickelten Sätze zu benutzen. Bei der Ausbreitung der Fläche in eine Ebene geht die Rückkehrschraubenlinie s in eine ebene Kurve s。 über, die mit jener in entsprechenden Punkten den gleichen Krümmungsradius o hat. Dieser ist für die Schraubenlinie konstant (586) und wird (nach 589) aus dem Grundkreisradius r und der Neigung a gemäß der Formel = r leicht gefunden (Fig. 392a). Man zeichnet nämlich ein rechtwinkliges Dreieck QRS mit r und h, als Katheten und dem Winkel a Q = bei und zieht ST QS, so ist QT o. Demnach ist hier die Verwandelte So der Rückkehrkurve s ein Kreis vom Radius o. Die Erzeugenden der Fläche werden als Tangenten von s in die Tangenten von so übergeführt. Die beiden längs s zusammen stoßenden Mäntel der Fläche werden daher in der Abwickelung die Außenfläche des Kreises s doppelt überdecken. Wir stellen die zu dem in Fig. 390 gezeichneten Flächengange gehörigen Flächenteile mit der dort angegebenen Berandung dar. Die Länge eines Ganges der Schraubenlinie s wird durch Abwickelung des Schraubencylinders gefunden, nämlich als Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks QUV, dessen Katheten resp. die Peripherie 2rл des Grundkreises und die Ganghöhe h bilden (Fig. 392a); 7 bildet zugleich die wahre Länge der zur Berandung gehörigen Erzeugenden h und k. Man zeichne daher zuerst (Fig. 3926) einen Kreisbogen vom Radius und der ୧ Länge 1, ziehe in den Endpunkten 4, Bo seine Tangenten ho und k und gebe ihnen dieselbe Länge. Die Randkurven f1 und f, der Fläche sind (587) Evolventen der Schraubenlinie s und geben daher in der Abwickelung Evolventen des Kreises s, deren Ursprungspunkte A und B sind. Man teilt daher zweckmäßig den Kreisbogen AB, in eine hin 0 R T Fig. 392 a. h reichende Anzahl n (= 16) gleicher Teile, zieht in den Teilpunkten die Tangenten und trägt auf ihnen vom mten Teilpunkt aus nach der einen Seite die Strecke 7, nach der anderen m n-m n 7 auf. Diese Teilstrecken werden aus der Hilfsfigur 392 a entnommen. Die so gefundenen Endpunkte liegen auf den verwandelten Kreisevolventen fund f°. Um eine auf der Schraubenfläche gezogene Schraubenlinie, also ihren Schnitt mit einem koaxialen Cylinder in die Abwickelung zu übertragen, hat man auf irgend einer Erzeugenden die Strecke zwischen jener Schraubenlinie und dem Berührungspunkte auf der Rückkehrkurve in wahrer Länge abzutragen. Es ergiebt sich hieraus, daß die Verwandelten aller Schraubenlinien der Fläche koncentrische Kreise bilden. So ist die zu so koncentrische Kreislinie do als Verwandelte der Doppelkurve durch Abtragen der Strecke BC, B"C" (vergl. Fig. 390) auf der Erzeugenden k。 bestimmt. = Um schließlich in die Abwickelung die Verwandelte m。 der Meridiankurve m einzutragen, bestimme man zuerst ihre Spitze R auf so, indem man den Bogen BR dem vierten Teile des Bogens B4 gleichmacht. Ferner übertrage man die Schnittpunkte der Kurve m mit einzelnen Erzeugenden der Fläche und insbesondere ihre Endpunkte auf den Randkurven f1 und f. Ersteres geschieht, indem man den wahren Abstand des gesuchten Punktes von einem bekannten Punkte der durch ihn gehenden Erzeugenden mißt, letzteres durch Übertragung von Bögen der Randkurven. Die in der Abwickelung verzeichneten Erzeugenden i, und k, bilden die Asymptoten der Kurve m。. 611. Die Eigenschatten- und Schlagschattengrenzen der abwickelbaren Schraubenfläche bei Parallelbeleuchtung. Die Grenzkurve u zwischen Licht und Eigenschatten wird auf der Fläche durch die Berührungspunkte aller der Tangentialebenen gebildet, welche Lichtstrahlen enthalten. Da jede solche Ebene die Fläche in allen Punkten einer Erzeugenden berührt, so folgt: die Lichtgrenze u auf der abwickelbaren Schraubenfläche besteht aus erzeugenden Geraden; dieselben sind den Mantellinien des Richtungskegels parallel, welche dessen Lichtgrenze bilden. Hiernach gestaltet sich die Schattenkonstruktion für die in Rede stehende Fläche besonders einfach; wir wollen sie für einen in bestimmter Weise begrenzten Teil unserer Fläche vollständig durchführen und zwar in orthogonaler Projektion unter der Annahme einer vertikalen Schraubenachse. Wir betrachten nur den einen der beiden in der Rückkehrkante s zusammenstoßenden Mäntel der Fläche und denken uns denselben Die Richtung durch zwei parallele Erzeugende EF und GH, durch den zwischen ihnen liegenden Gang FMNOH von s und den Gang EJKLG einer zweiten mit s koaxialen Schraubenlinie t begrenzt. eines Lichtstrahles sei durch seine Projektionen gelegt (Fig. 393). = und fest = = Die Berandung unserer (rechtsgängigen) Schraubenfläche wird im Grundriß durch die koncentrischen Kreises und mit der Tangente EF des ersteren, im Aufriß durch die Sinuslinien s" und tund die Tangenten E" F" und G"H" von s" dargestellt (G' E, H' F'), zu denen noch als Umrißlinie M"K" kommt (M'K' || x). Irgend ein Punkt S (etwa mit dem ersten Tafelabstand 2hp) werde als Spitze eines Richtungskegels gewählt und für diesen in bekannter Weise (483) die Eigen- und Schlagschattengrenze (in TT1) konstruiert. Hierauf sind parallel zu den ersten Projektionen der Mantellinien, die auf dem Kegel die Lichtgrenze bilden, in geeignetem Sinne die Tangenten u' und v' des Kreises s' zu ziehen. Sie bilden die Grundrisse zweier Erzeugenden u und v, aus denen in Verbindung mit s die Lichtgrenze auf der Schraubenfläche besteht;1 ihre Aufrisse u" und v", die unter Benutzung der Randpunkte leicht konstruiert werden, liegen wieder zu den Aufrissen der entsprechenden Kegelkanten parallel. Man zeichne jetzt die Schatten der Schraubenlinien s und t in П, als Cykloiden (588). In der Figur ist seine gestreckte, teine verschlungene Cykloide; die beschreibenden Kreise sind s' und ', der rollende Kreis ist dadurch bestimmt, daß sein Umfang der Länge des Schattens der Ganghöhe h = FH gleichkommt und seine Bahnlinie ist parallel zu l. Die Scheitel der Cykloiden sind die Schatten der Punkte N, O, J, L, deren Grundrisse auf s' resp. t und einem zu senkrechten Durchmesser liegen. Begrenzt werden die Kurven durch die Punkte. EE und G, bezw. F und H. Die Verbindungslinien dieser Punktepaare bilden die Schatten der Erzeugenden EF und GH, die zur Berandung gehören. Schließlich sind parallel zu den Schlagschattengrenzen des Richtungskegels die Geraden u und v zu ziehen, welche die Kurven s und t in den Punkten berühren, die den Endpunkten der Geraden u und v auf s und t als Schatten zugehören. Aus den Linien s t u v EF und GH setzt sich die Grenze t* U * * des Schlagschattens der Fläche auf die Grundrißebene zusammen. * * * * 1 Die in 602 erwähnte Kurve 4. Ordnung ist hier in den Kreis s' und seine Tangenten u' und v' zerfallen. |