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zu TT, geht. Die erste Spur m' derselben ist durch S parallel zur ar-Achse zu ziehen. Hieraus ergeben sich sofort die Grundrisse ihrer Durchschnittspunkte mit den Erzeugenden e der Fläche, wie Q" auf e, und daraus die Aufrisse, wie Q“ auf e”. Die von den letzteren gebildete Kurve m" zeigt die wahre Gestalt des Meridianschnittes; sie bildet in R“ eine (auf der Rückkehrkante befindliche) Spitze und hat die Aufrisse i“, k“ der zu TT, parallelen Erzeugenden zu Asymptoten. Die vollständige Meridiankurve besitzt unendlich viele Doppelpunkte, in denen sich ihre den verschiedenen Gängen der Fläche entsprechenden Zweige schneiden und die zugleich den Doppelkurven der Fläche angehören, z. B. U = m × d (Fig. 390). Mit fast ebenso großer Leichtigkeit kann die Schnittkurve der abwickelbaren Schraubenfläche mit einer beliebigen Ebene 92 konstruiert werden. Man benutzt dabei die parallelen Spuren o, und o, der Ebene in TI, und TT. Um dann ihren Schnittpunkt V mit einer bestimmten Erzeugenden e zu finden, lege man durch diese als Hilfsebene die Tangentialebene T der Fläche, deren erste und dritte Spur t, und t, auf e in ihren gleichnamigen Spurpunkten senkrecht stehen (und mithin die Kreisevolventen f bezw/, berühren). Die Hilfslinie l=Tx E, welche durch L,=t, × o, und L, = t“, × o, bestimmt wird, schneidet e in dem gesuchten Punkte V. Die Asymptoten der Schnittkurve liegen in den Tangentialebenen der Fläche durch die zur Schnittebene parallelen Erzeugenden; sie besitzt auf der Rückkehrkante Spitzen, auf den Doppelkurven Doppelpunkte. Die Hilfslinien l bilden, weil sie auf Tangentialebenen der Fläche liegen, zugleich Tangenten der Schnittkurve. In die Figur ist, um sie nicht zu komplizieren, keine Darstellung eines solchen ebenen Schnittes der abwickelbaren Schraubenfläche eingetragen. 609. Wir sind, um die abwickelbare Schraubenfläche zu erzeugen, von einer bestimmten Schraubenbewegung einer ihrer Erzeugenden ausgegangen, die man auch dadurch vollständig definieren kann, daß man sagt: die Erzeugende g gleitet ohne Rollen als Tangente an der Rückkehr kurve. Hierbei beschreiben alle ihre Punkte koaxiale Schraubenlinien, welche die Schnitte der Fläche mit koaxialen Rotationscylindern bilden. Die Fläche wird aber auch von der Erzeugenden g beschrieben, wenn diese auf der Rückkehrkurve ohne Gleiten rollt und dann beschreiben alle ihre Punkte (wie aus 587 hervorgeht) gespitzte Kreisevolventen, welche die Schnitte der Fläche mit den Normalebenen bilden.

Im Anschluß an diese Betrachtung kann die Aufgabe gelöst werden: die Schnittpunkte einer gegebenen Geraden g mit einem Gange einer abwickelbaren Schraubenfläche zu konstruieren; oder auch: an einen Gang einer Schraubenlinie

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die Tangenten zu ziehen, die eine gegebene Gerade g schneiden (Fig. 391). Die Gerade g sei durch ihre Spurpunkte G. und G., in TT und TT, bestimmt. Ist U ein Schnittpunkt derselben mit der Fläche, so geht durch ihn eine Erzeugende e, deren Spurpunkte. Er und E, resp. auf den Spurkurven f und f der Fläche liegen.

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Indem man den Punkt U zugleich mit g und e die zur Erzeugung der Fläche dienende Schraubenbewegung in geeignetem Sinne (abwärts) ausführen läßt, wird e die Fläche selbst und U auf ihr eine Schraubenlinie u beschreiben, deren Spurpunkt in TT, durch X bezeichnet werden mag. X gehört dann zugleich den beiden Spurkurven an, welche die bewegten Geraden e und g in TI, bestimmen. Von diesen ist die eine die gespitzte Kreisevolvente fi, die andere eine (allgemeine) Kreisevolvente g, durch den Punkt G, die nach 606 gefunden wird. Man bestimme nämlich den Kreis k als Horizontalprojektion aller zu der genannten Bewegung gehörigen Schraubenlinien, welche Parallelen zu g als Tangenten haben und ziehe als Projektion einer solchen an k die Tangente t“. Rollt t“ auf k, so beschreibt der fest mit t“ verbundene Punkt G, die Kurve g. Demnach kann X als einer der Schnittpunkte von f und g, gefunden werden. Da umgekehrt X durch Schraubenbewegung (aufwärts) in den gesuchten Punkt U übergehen muß, so findet man dessen Grundriß U" aufg/ mittels eines durch X um den Achsenspurpunkt S“ geschlagenen Kreises. Die Horizontalprojektion e” der durch U gehenden Erzeugenden e ist eine aus U" an den Kreis so gelegte Tangente. Die Geraden E„G, und E„G, sind als erste und dritte Spur der Ebene eg parallel. Der in der Figur gezeichnete Flächengang hat mit der Geraden g außer U noch einen weiteren Punkt V (auf der Erzeugenden d) gemein, der in analoger Weise bestimmt ist.

Das hier zur Bestimmung der Schnittpunkte einer gegebenen Geraden Gesagte läßt sich mit geringen Abänderungen bei allen Schraubenflächen anwenden, deren Normalkurven bekannt sind.

610. Für die Abwickelung der Schraubenfläche sind die in 458 bis 460 entwickelten Sätze zu benutzen. Bei der Ausbreitung der Fläche in eine Ebene geht die Rückkehrschraubenlinie s in eine ebene Kurve s, über, die mit jener in entsprechenden Punkten den gleichen Krümmungsradius o hat. Dieser ist für die Schraubenlinie konstant (586) und wird (nach 589) aus dem Grund

kreisradius r und der Neigung a gemäß der Formel 9 =

leicht gefunden (Fig. 392a). Man zeichnet nämlich ein rechtwinkliges Dreieck QRS mit rund h, als Katheten und dem Winkel an bei Q und zieht ST"_L QS, so ist QT" =g. Demnach ist hier die Verwandelte s, der Rückkehrkurve s ein Kreis vom Radius o. Die Erzeugenden der Fläche werden als Tangenten von s in die Tangenten von s, übergeführt. Die beiden längs s zusammenstoßenden Mäntel der Fläche werden daher in der Abwickelung die Außenfläche des Kreises s, doppelt überdecken. Wir stellen die zu dem in Fig. 390 gezeichneten Flächengange gehörigen Flächenteile mit der dort angegebenen Berandung dar. Die Länge l eines Ganges der Schraubenlinie s wird durch Abwickelung des Schraubencylinders gefunden, nämlich als Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks QUV, dessen Katheten resp. die Peripherie 2rn des Grundkreises und die Ganghöhe h bilden (Fig. 392a); l bildet zugleich die wahre Länge der zur Berandung gehörigen Erzeugenden h und k. Man zeichne daher zuerst (Fig. 392b) einen Kreisbogen vom Radius o und der Länge l, ziehe in den Endpunkten A, B, seine Tangenten h, und k und gebe ihnen dieselbe Länge. Die Randkurven f, und f der Fläche sind (587) Evolventen der Schraubenlinie s und geben daher in der Abwickelung Evolventen des Kreises s, deren Ursprungspunkte A und B, sind. Man teilt daher zweckmäßig den Fig. 392a. Kreisbogen A, B, in eine hin- S reichende Anzahl n (= 16) gleicher Teile, zieht in den Teilpunkten die Tangenten und trägt auf ihnen vom m'en Teilpunkt aus nach

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der einen Seite die Strecke " , nach der anderen
Diese Teilstrecken werden aus der Hilfsfigur 392a entnommen.

Die so gefundenen Endpunkte liegen auf den verwandelten Kreisevolventen f' und f'. Um eine auf der Schraubenfläche gezogene Schraubenlinie, also ihren Schnitt mit einem koaxialen Cylinder in die Abwickelung zu übertragen, hat man auf irgend einer Erzeugenden die Strecke zwischen jener Schraubenlinie und dem Berührungspunkte auf der Rückkehrkurve in wahrer Länge abzutragen. Es ergiebt sich hieraus, daß die Verwandelten aller Schraubenlinien der Fläche koncentrische Kreise bilden. So ist die zu s, koncentrische Kreislinie d als Verwandelte der Doppelkurve durch Abtragen der Strecke B„C, = B"C" (vergl. Fig. 390) auf der Erzeugenden k bestimmt.

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Um schließlich in die Abwickelung die Verwandelte m, der Meridiankurve m einzutragen, bestimme man zuerst ihre Spitze R, auf s, indem man den Bogen B„R, dem vierten Teile des Bogens B„A, gleichmacht. Ferner übertrage man die Schnittpunkte

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der Kurve m mit einzelnen Erzeugenden der Fläche und insbesondere ihre Endpunkte auf den Randkurven f und f. Ersteres geschieht, indem man den wahren Abstand des gesuchten Punktes von einem bekannten Punkte der durch ihn gehenden Erzeugenden mißt, letzteres durch Übertragung von Bögen der Randkurven. Die in der Abwickelung verzeichneten Erzeugenden , und k bilden die Asymp

toten der Kurve m.

611. Die Eigenschatten- und Schlagschattengrenzen der abwickelbaren Schraubenfläche bei Parallelbeleuchtung. – Die Grenzkurve u zwischen Licht und Eigenschatten wird auf der Fläche durch die Berührungspunkte aller der Tangentialebenen gebildet, welche Lichtstrahlen enthalten. Da jede solche Ebene die Fläche in allen Punkten einer Erzeugenden berührt, so folgt: die Lichtgrenze u auf der abwickelbaren Schraubenfläche besteht aus erzeugenden Geraden; dieselben sind den Mantellinien des Richtungskegels parallel, welche

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