Abbildungen der Seite
PDF
EPUB
[blocks in formation]

903. Perspektive eines Obelisken mit Unterbau in schräger Ansicht 463 904. Schräge Ansicht einer gewölbten Halle

466

905. Schräge Ansicht einer Nische.

469

906. Perspektive eines runden Säulenstumpfes .

473

Centralkollineation räumlicher Figuren (Reliefperspektive).

907. 908. Grundgesetze der räumlichen Centralkollineation. Centrum, Kollineationsebene, Gegenebenen

909. 910. Reliefperspektive. Auge, Spurebene, Fluchtebene, Verschwin-
dungsebene, Grundebene, Grundlinie, Hauptpunkt, Distanz,
Tiefe des Reliefs.

911. Reliefbild einer Geraden, eines Punktes, einer Ebene
912. Beziehungen zwischen den Grund- und Aufrissen von Original
und Reliefbild. Beispiel (Obelisk)

475

476

478

478

913. Affinität, Ähnlichkeit und Kongruenz räumlicher Figuren als
Spezialfälle der Centralkollineation des Raumes. Anwendung
der Kollinearverwandtschaft auf die Theorie der Flächen

479

XVII. Kapitel. Beleuchtung von Flächen.

914-916. Allgemeines. Definition der Lichtgleichen 917. Der gerade Cylinder senkrecht zum Grundriß

918. Der gerade Cylinder in schiefer Lage .

919. Der schiefe Cylinder, insbesondere der schiefe Kreiscylinder
920. Der Rotationskegel mit einer zum Grundriß normalen Achse
921. Der Rotationskegel in schiefer Lage

922. Der schiefe Kreiskegel

923. Die Kugel .

924-926. Rotationsflächen; Kugel-, Kegel- und Cylinderverfahren

480

484

485

487

489

490

491

493

494

927. Die Ringfläche

498

928. Die Schraubenflächen; die Punkte ihrer Lichtgleichen auf den
Schraubenlinien

499

929. Schraubenfläche mit kreisförmigem Meridianschnitt

502

930. Die Punkte der Lichtgleichen auf den Erzeugenden der Regel-
schraubenflächen.

[blocks in formation]

ACHTES KAPITEL.

Rotationsflächen.

Allgemeines. Eigen- und Schlagschatten, ihr gegenseitiges Verhalten.

525. Ist eine Kurve mit einer festen Geraden starr verbunden, und läßt man sie um diese rotieren, so beschreibt sie eine Rotationsfläche; die feste Gerade heißt die Rotationsachse. Jeder Kurvenpunkt beschreibt bei dieser Bewegung einen Kreis, dessen Mittelpunkt auf der Achse liegt und dessen Ebene senkrecht zur Achse steht. Alle Ebenen senkrecht zur Achse schneiden die Rotationsfläche in einem oder mehreren Kreisen, die man kurz als Parallelkreise bezeichnet. Alle Ebenen durch die Achse schneiden die Fläche in kongruenten Kurven; man nennt sie Meridiankurven und die sie enthaltenden Ebenen Meridianschnitte. Zieht man auf einer Rotationsfläche irgend eine ebene oder Raumkurve, die jeden Parallelkreis einmal schneidet, so kann die Fläche durch Rotation dieser Kurve um die feste Achse erzeugt werden; speziell kann man die Meridiankurve zur Erzeugung der Fläche verwenden.

Durch jeden Punkt der Rotationsfläche geht ein Parallelkreis und eine Meridiankurve; man kennt deshalb in jedem Flächenpunkte zwei Tangenten, nämlich eine an die bezügliche Meridiankurve, sie trifft die Achse, und eine an den bezüglichen Parallelkreis, sie ist senkrecht zur Richtung der Achse. Dieses lehrt uns, daß jede Tangentialebene der Rotationsfläche senkrecht steht zu der Meridianebene durch ihren Berührungspunkt. Wir erkennen also, daß die Tangentialebenen in allen Punkten einer Meridiankurve eine Cylinderfläche umhüllen, deren Leitkurve die Meridiankurve ist und deren Mantellinien senkrecht zur Ebene dieser Kurve sind. Alle Tangentialebenen in den Punkten eines Parallelkreises umhüllen

ROHN u. PAPPERITZ. II.

1

einen geraden Kreis kegel, der diesen zum Grundkreis hat und dessen Spitze auf der Achse liegt. Die Mantellinien des Kreiskegels sind die Tangenten der Meridiankurven, deren Berührungspunkte auf jenem Parallelkreise liegen. Alle Normalen einer Rotationsfläche treffen ihre Achse.

526. Läßt man eine Fläche um eine mit ihr starr verbundene Gerade als Achse rotieren, so giebt es eine Hüllfläche, die alle Lagen der rotierenden Fläche einhüllt und die offenbar eine Rotationsfläche ist. Die Kreise, deren Mittelpunkte auf der Achse liegen und deren Ebenen zur Achse senkrecht stehen, verhalten sich nämlich gegen die rotierende Fläche verschieden, indem sie dieselbe entweder schneiden, oder nicht schneiden. Die Hüllfläche bildet die Grenze zwischen den beiden Arten von Kreisen; auf ihr liegen die Parallelkreise, die die rotierende Fläche in einer Lage - und somit in allen Lagen - berühren. Die hier als Hüllfläche definierte Rotationsfläche berührt jede der eingehüllten Flächen, d. h. jede Lage der rotierenden Fläche, längs einer Kurve; in den Punkten dieser Berührungskurve stimmen die Tangentialebenen der Hüllfläche und der eingehüllten Fläche überein. Hieraus folgt aber, daß alle Punkte der rotierenden Fläche, deren Normalen die Rotationsachse treffen, auf ihrer Berührungskurve mit der Hüllfläche und somit auf dieser selbst liegen. Hiermit ist auf der rotierenden Fläche die Berührungskurve definiert, durch deren Rotation die Hüllfläche entsteht. Jede zur Achse senkrechte Ebene schneidet die rotierende Fläche in einer Kurve; diese berührt die Hüllfläche in den Punkten, deren Normalen durch den Achsenschnittpunkt der Ebene gehen.

527. Bei allen Fragestellungen, die sich auf Rotationsflächen beziehen, spielen die Parallelkreise und Meridiankurven eine besondere Rolle; nur bisweilen finden andere einfache Kurven der Fläche Verwendung. So verwendet man Parallelkreise, um die Schnittkurve der Rotationsfläche mit einer Ebene oder mit einer anderen Fläche zu zeichnen. So kann man Parallelkreise bei der Bestimmung des wahren Umrisses der Rotationsfläche oder der Grenzkurve von Licht und Eigenschatten auf ihr mit größtem Vorteil benutzen. Auf einem Parallelkreise gehören die beiden Punkte dem wahren. Umrisse an, deren Tangentialebenen die Projektionsrichtung enthalten; ebenso gehören zwei Punkte der Grenzkurve an; ihre Tangentialebenen sind dem Lichtstrahl parallel. Die Tangentialebenen in den Punkten eines Parallelkreises umhüllen aber einen geraden Kreiskegel, der diesen zum Basiskreise hat; auf ihm suchen wir die

Mantellinien, die den wahren Umriß resp. die Grenze von Licht und Schatten bilden, sie treffen den Parallelkreis in den Punktepaaren, die dem Umriß resp. der Grenzkurve auf der Rotationsfläche angehören. In der That sind die Tangentialebenen in diesen Punkten der Rotationsfläche zugleich Tangentialebenen des genannten Kegels und enthalten projizierende, resp. Lichtstrahlen. Diese Methode heißt das Kegelverfahren. In ähnlicher Weise kann man der Bestimmung des Umrisses sowie der Lichtgrenze die Meridiankurven zu Grunde legen. Da alle Tangentialebenen in den Punkten der Meridiankurve einen Cylinder umhüllen, heißt diese Methode das Cylinderverfahren. Die Mantellinien des Umrisses und der Lichtgrenze auf dem geraden Cylinder, der die Meridiankurve zur Basiskurve hat, treffen diese in Punkten, die dem Umrisse resp. der Lichtgrenze auf der Rotationsfläche angehören. Diesen beiden Methoden reiht sich noch ein drittes, ebenfalls stets verwendbares Verfahren, das Kugelverfahren an, das wir später kennen lernen werden. Bei einzelnen Flächen werden sich noch besondere Methoden darbieten.

Auch die Bestimmung des Schlagschattens auf eine Rotationsfläche, mag dieser von der Fläche selbst oder einem anderen Gegenstande herrühren, stützt sich auf die Parallelkreise. Die Schatten dieser Parallelkreise auf eine dazu parallele Ebene sind kongruente Kreise. Entwirft man nun den Schatten des Flächenteiles oder Körpers, dessen Schlagschatten auf der Rotationsfläche gesucht wird, auf die nämliche Ebene, so wird derselbe die Schatten der Parallelkreise teilweise überdecken; die entsprechenden Teile der Parallelkreise selbst werden dann in dem gesuchten Schlagschatten liegen.

528. Es soll hier noch das Verhalten des Eigen- und Schlagschattens in den Punkten untersucht werden, in denen beide aufeinander stoßen. Diese Untersuchung werden wir indessen nicht auf die Rotationsflächen beschränken, sondern ganz allgemein durchführen, die gefundenen Resultate haben dann für jede beliebige Fläche Gültigkeit. Zunächst gilt der Satz: Trifft die Kurve, die den auf eine Fläche fallenden Schlagschatten umschließt, die Kurve der Lichtgrenze, so sind in den Treffpunkten die Tangenten der Schlagschattenkurve dem Lichtstrahl parallel. Die Kurve des Schlagschattens erscheint nämlich als Schnitt der betreffenden Fläche mit einem Cylinder, dessen Mantellinien den Lichtstrahlen parallel sind. Die Tangente dieser Kurve in einem beliebigen Punkte liegt in den

beiden Tangentialebenen, die daselbst die gegebene Fläche resp. den genannten Cylinder berühren. Die Tangentialebenen des Cylinders sind alle der Lichtrichtung parallel, und in den Punkten der Lichtgrenze thun dies auch die Tangentialebenen der gegebenen Fläche; es ist deshalb auch die gemeinte Tangente zur Lichtrichtung parallel.

[ocr errors]

R

[ocr errors]

Hat die gegebene Fläche eine Randkurve, die von der Lichtgrenze in zwei oder mehr Punkten getroffen wird, so geht der Schlagschatten der Randkurve auf die Fläche ebenfalls von diesen Punkten aus; dabei liegen in jedem solchen Punkte die Tangenten der Randkurve und ihres Schattens harmonisch zur Tangente der Lichtgrenze und dem Lichtstrahle. Das Gleiche gilt dann natürlich auch für die gleichartigen Projektionen dieser Geraden. Sei c der Rand und c* sein Schatten auf die Fläche, sei ferner u die Lichtgrenze und P ein gemeinsamer Punkt von c und u, endlich bedeute 7 den durch P verlaufenden Lichtstrahl (Fig. 339a). Die Kurven c und c* liegen auf einem Cylinder mit zu 7 parallelen Mantellinien; die Ebene, die den Cylinder längs berührt, berührt auch aie Fläche in P, da sie und die Tangente von e im Punkte P enthält und beide die Fläche tangieren. Hiernach geht also die Kurve c* in der That durch P. Nun betrachten wir eine zu benachbarte Mantellinie des Cylinders, die c und c* in den Punkten Q und Q schneidet; die Strecken PQ, PQ*, QQ* seien unendlich klein von der 1. Ordnung. Ist R der Mittelpunkt der Strecke QQ*, so liegen die Strahlen PQ, PQ*, I und PR harmonisch. Beim Grenzübergange werden aber PQ und PQ die Tangenten von c und c*, so daß unser Satz bewiesen ist, sobald hierbei der Strahl PR in die Tangente von u übergeht. Um dies zu zeigen legen wir durch QQ* eine Ebene senkrecht zur Ebene PQQ*; in ihr befindet sich der unendlich kleine, unserer Fläche angehörige Kurvenbogen QQ*, und auf diesem liegt ein Punkt S, dessen Tangente zu QQ* oder 7 parallel ist. In der Figur ist der Bogen QQ* mit dem Punkt S umgelegt. Der Punkt S gehört der Kurve u an und der Strahl PS wird beim Grenzübergange zur Tangente von u; schließen also PS und PR einen unendlich kleinen Winkel ein, d. h. ist RS unendlich klein von der 2. Ordnung, so fällt beim Grenzprozeß auch PR mit der

[ocr errors]

Fig. 339 a.

« ZurückWeiter »