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835. Das Ellipsoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387 836. Das einschalige Hyperboloid . . . . . . . . . . . . 388 837. Das zweischalige Hyperboloid . . . . . . . . . . . . 389 838. Hilfssatz, betreffend die Konstruktion einer Parabel . . . . 390 839. Das elliptische Paraboloid . . . . . . . . . . . . . 390 840. Das hyperbolische Paraboloid . . . . . . . . . . . . 391 841. Rotationskörper, Eigen- und Schlagschatten . . . . . . . 393

Das Verfahren der orthogonalen axonometrischen Projektion.

842. Die Bestimmung der orthogonalen axonometrischen Projektion durch Bildebene und Koordinatensystem . . . . . . . 396 843. Das Achsenkreuz und sein Bild. Verkürzungsverhältnisse.

Verhältniszahlen. Spurendreieck . . . . . . . . 397 844. Bestimmung des Koordinatensystems aus dem Spurendreieck und der Verkürzungsverhältnisse aus den Richtungen der Achsenbilder . . . . . . . . . . . . . . . . . 397 845. Bestimmung des Bildes vom Achsenkreuz aus den Verhältniszahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398 846. Natürlicher Maßstab. Maßstab des Bildes. Achsenmaßstäbe. Sinusmaßstab . . . . . . . . . . . . . . . . . 400 847. Isometrische, dimetrische und trimetrische Projektion. Vergleichung der axonometrischen Projektionsarten in Bezug auf ihre Bildwirkung . . . . . . . . . . . . . . 401 848. Punkt, Gerade und Ebene in axonometrischer Projektion . . 402 849. Lot aus einem Punkte auf eine Gerade, wenn beide in einer Koordinatenebene liegen . . . . . . . . . . . . . 402 - 850. Wahre Länge einer Strecke . . . . . . . . . . . . 403 851. Lot aus einem Punkte auf eine Ebene . . . . . . . . 404 852. Umlegung einer Ebene um ihre Bildspur in die Bildebene . 404 853. Winkel zweier Geraden . . . . . . . . . . . . . . 405 854. Krystallformen (Rhombendodekaëder und Trapezoëder) . . . 406 855. Die Kugel, Eigen- und Schlagschatten . . . . 407

856. Darstellung eines auf TT, stehenden Rotationskegels und eines liegenden Rotationscylinders mit Eigen- und Schlagschatten 409

XV. Kapitel. Freie Perspektive.

Perspektive Darstellung von Ebene, Gerade und Punkt.

857. 858. Augpunkt, Bildebene und Distanz: reelle und virtuelle Bilder 411 859. Darstellung der Ebene; Spur-, Flucht- und Verschwindungs

linie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413 860. Darstellung der Geraden; Spur-, Flucht- und Verschwindungspunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414 861. Vereinigte Lage von Gerade und Ebene; Parallelismus . . 415 862. Umlegung einer Ebene in die Bildebene . . . . . . . . 415 863. Die wahre Gestalt eines Dreiecks . . . . . . . . . . 416 864. 865. Die wahre Länge einer Strecke; Teilungspunkt . . . . . 417 866. Darstellung des Punktes durch Bild und orthogonale Projektion, oder Abstand . . . . . . . . . . . . . . 418

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890.

891.

892.

893,

894 – 896.

897.

898.

899.

Abbildung von Ebenen. Bestimmung der Fluchtlinien

Streckenteilung . . . . .

Die reduzierten Elemente - - - - -

Abbildung eines horizontalen Kreises . . .

Abbildung einer Ellipse mit vertikaler Achse

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900. Schattenkonstruktion. Central- und Parallelbeleuchtung,

Sonnenbeleuchtung . . . . . . . . . . . . 458

901. Schatten von Punkten und Geraden 459

Anwendungen der Perspektive.

902. Perspektive eines Säulenganges in gerader Ansicht 460

903. Perspektive eines Obelisken mit Unterbau in schräger Ansicht 463

904. Schräge Ansicht einer gewölbten Halle . . . . . . . . 466

905. Schräge Ansicht einer Nische . - - 469

906. Perspektive eines runden Säulenstumpfes . 473

Centralkollineation räumlicher Figuren (Reliefperspektive).

907. 908. Grundgesetze der räumlichen Centralkollineation. Centrum,

Kollineationsebene, Gegenebenen . . . . . . . . . . 475

909. 910. Reliefperspektive. Auge, Spurebene, Fluchtebene, Verschwin-

dungsebene, Grundebene, Grundlinie, Hauptpunkt, Distanz,

Tiefe des Reliefs . s - - - - - - - - - - 476

911. Reliefbild einer Geraden, eines Punktes, einer Ebene 478

912. Beziehungen zwischen den Grund- und Aufrissen von Original

und Reliefbild. Beispiel (Obelisk) . . . . . . . . . 478

913. Affinität, Ähnlichkeit und Kongruenz räumlicher Figuren als

Spezialfälle der Centralkollineation des Raumes. Anwendung

der Kollinear verwandtschaft auf die Theorie der Flächen . 479

XVII. Kapitel. Beleuchtung von Flächen.

914–916. Allgemeines. Definition der Lichtgleichen 480

917. Der gerade Cylinder senkrecht zum Grundriß . 484

918. Der gerade Cylinder in schiefer Lage . . . . . . . . . 485

919. Der schiefe Cylinder, insbesondere der schiefe Kreiscylinder 487

920. Der Rotationskegel mit einer zum Grundriß normalen Achse 489

921. Der Rotationskegel in schiefer Lage 490

922. Der schiefe Kreiskegel 491

923. Die Kugel . . . . . . . . . . . . . . . . . 493

924–926. Rotationsflächen; Kugel-, Kegel- und Cylinderverfahren 494

927. Die Ringfläche . . . . . . . . . . . . . . . . . 498

928. Die Schraubenflächen; die Punkte ihrer Lichtgleichen auf den

Schraubenlinien - - - - - - . . . . . . . 499

929. Schraubenfläche mit kreisförmigem Meridianschnitt . . 502

930. Die Punkte der Lichtgleichen auf den Erzeugenden der Regel-

schraubenflächen . . . . . . . . . . . . . . . . 504

931. Die geschlossene schiefe Regelschraubenfläche . 506

932. 933. Das Ellipsoid . 510

934. Die Hyperboloide 514

935. 936. Die Paraboloide . - 516

937. Die Regelflächen . . . 521

938. 939. Das Plückersche Konoid 523

940. Verschiedene Flächen 526

ACHTES KAPITEL.

Rotationsflächen.

Allgemeines. Eigen- und Schlagschatten, ihr gegenseitiges Verhalten.

525. Ist eine Kurve mit einer festen Geraden starr verbunden, und läßt man sie um diese rotieren, so beschreibt sie eine Rotationsfläche; die feste Gerade heißt die Rotationsachse. Jeder Kurvenpunkt beschreibt bei dieser Bewegung einen Kreis, dessen Mittelpunkt auf der Achse liegt und dessen Ebene senkrecht zur Achse steht. Alle Ebenen senkrecht zur Achse schneiden die Rotationsfläche in einem oder mehreren Kreisen, die man kurz als Parallelkreise bezeichnet. Alle Ebenen durch die Achse schneiden die Fläche in kongruenten Kurven; man nennt sie Meridiankurven und die sie enthaltenden Ebenen Meridianschnitte. Zieht man auf einer Rotationsfläche irgend eine ebene oder Raumkurve, die jeden Parallelkreis einmal schneidet, so kann die Fläche durch Rotation dieser Kurve um die feste Achse erzeugt werden; speziell kann man die Meridiankurve zur Erzeugung der Fläche verwenden.

Durch jeden Punkt der Rotationsfläche geht ein Parallelkreis und eine Meridiankurve; man kennt deshalb in jedem Flächenpunkte zwei Tangenten, nämlich eine an die bezügliche Meridiankurve, sie trifft die Achse, und eine an den bezüglichen Parallelkreis, sie ist senkrecht zur Richtung der Achse. Dieses lehrt uns, daß jede Tangentialebene der Rotationsfläche senkrecht steht zu der Meridianebene durch ihren Berührungspunkt. Wir erkennen also, daß die Tangentialebenen in allen Punkten einer Meridiankurve eine Cylinderfläche umhüllen, deren Leitkurve die Meridiankurve ist und deren Mantellinien senkrecht zur Ebene dieser Kurve sind.

Alle Tangentialebenen in den Punkten eines Parallelkreises umhüllen ROHN u. PAPPERITZ. II. 1

einen geraden Kreiskegel, der diesen zum Grundkreis hat und dessen Spitze auf der Achse liegt. Die Mantellinien des Kreiskegels sind die Tangenten der Meridiankurven, deren Berührungspunkte auf jenem Parallelkreise liegen. Alle Normalen einer Rotationsfläche treffen ihre Achse. 526. Läßt man eine Fläche um eine mit ihr starr verbundene Gerade als Achse rotieren, so giebt es eine Hüllfläche, die alle Lagen der rotierenden Fläche einhüllt - und die offenbar eine Rotationsfläche ist. Die Kreise, deren Mittelpunkte auf der Achse liegen und deren Ebenen zur Achse senkrecht stehen, verhalten sich nämlich gegen die rotierende Fläche verschieden, indem sie dieselbe entweder schneiden, oder nicht schneiden. Die Hüllfläche bildet die Grenze zwischen den beiden Arten von Kreisen; auf ihr liegen die Parallelkreise, die die rotierende Fläche in einer Lage – und somit in allen Lagen – berühren. Die hier als Hüllfläche definierte Rotationsfläche berührt jede der eingehüllten Flächen, d. h. jede Lage der rotierenden Fläche, längs einer Kurve; in den Punkten dieser Berührungskurve stimmen die Tangentialebenen der Hüllfläche und der eingehüllten Fläche überein. Hieraus folgt aber, daß alle Punkte der rotierenden Fläche, deren Normalen die Rotationsachse treffen, auf ihrer Berührungskurve mit der Hüllfläche und somit auf dieser selbst liegen. Hiermit ist auf der rotierenden Fläche die Berührungskurve definiert, durch deren Rotation die Hüllfläche entsteht. Jede zur Achse senkrechte Ebene schneidet die rotierende Fläche in einer Kurve; diese berührt die Hüllfläche in den Punkten, deren Normalen durch den Achsenschnittpunkt der Ebene gehen. 527. Bei allen Fragestellungen, die sich auf Rotationsflächen beziehen, spielen die Parallelkreise und Meridiankurven eine besondere Rolle; nur bisweilen finden andere einfache Kurven der Fläche Verwendung. So verwendet man Parallelkreise, um die Schnittkurve der Rotationsfläche mit einer Ebene oder mit einer anderen Fläche zu zeichnen. So kann man Parallelkreise bei der Bestimmung des wahren Umrisses der Rotationsfläche oder der Grenzkurve von Licht und Eigenschatten auf ihr mit größtem Vorteil benutzen. Auf einem Parallelkreise gehören die beiden Punkte dem wahren Umrisse an, deren Tangentialebenen die Projektionsrichtung enthalten; ebenso gehören zwei Punkte der Grenzkurve an; ihre Tangentialebenen sind dem Lichtstrahl parallel. Die Tangentialebenen in den Punkten eines Parallelkreises umhüllen aber einen geraden Kreiskegel, der diesen zum Basiskreise hat; auf ihm suchen wir die

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