Nommons x, y, z les coordonnées obliques d'un point de l'espace; x', y', z' les nouvelles coordonnées obliques qui ont même origine que les premières, et supposons que chaque axe des nouvelles coordonnées soit donné par les trois angles qu'il forme avec les plans des coordonnées primitives, en remarquant que de ces trois angles, deux seulement sont nécessaires. Ayant mené par l'origine des coordonnées, trois axes auxiliaires perpendiculaires aux désignons ces axes par les trois lettres Z, Y, X. Les angles que les axes auxiliaires et les axes des nouvelles coordonnées font entre eux, sont connus, puisqu'ils sont les complémens de ceux que ces derniers axes font avec les plans des coordonnées primitives.

plans primitifs des xy, des xz, des 7%,

Supposons que les cosinus de ces angles soient représentés par les neuf lettres a, a', a", b, b','b", c, c', c'', de sorte qu'on ait:

a= cos (x', X), b = cos (y', X), c=cos (z', X),

a'=cos (x', Y),
b'=cos (y', Y),
c'= cos (z', Y),

a"= cos (x', Z),

b" = cos (y', Z), c" = cos (z', Z).

La droite menée par l'origine des coordonnées a un point déterminé de l'espace, et les trois coordonnées primitives x, y, z de ce point

forment un quadrilatère (xyz) (art. 79): cette même droite et les trois nouvelles coordonnées x', ', forment un second quadrilatère (xy). Ces deux quadrilatères (xyz), (xy), qui ont un côté commun, élant projettés (art. 60) sur l'un quelconque des trois axes auxiliaires Z, Y, X, leurs projections seront égales. Or, la projection des trois coordonnées x, y, z sur l'un de ces axes se réduit toujours à la projection de l'ordonnée qui n'est pas dans le plan perpendiculaire à cet axe; d'où il suit que les projections du quadrilatère (xyz), sur les axes auxiliaires Z, Y, X, se réduisent aux projections des côtés z, y, x de ce quadrilatère. Les projections de ces côtés ont (art. 61) pour expressions :

z cos (z, Z), y cos (y, x), I cos(x, X); donc, en égalant les projections des deux quadrilatères (xyz), (xyz) sur chacun des axes Z, Y, X, on aura les trois équations suivantes :

x cos ( x, X) = ax' + by' + cz',
y cos (y, Y) = α'x' + b'y' + c'z',
z cos (z, Z) = a" x' + bly' + ellz'.
e"

Lorsque les axes primitifs des x,

sont perpendiculaires entre eux,

des y, des z

ils se con

fondent avec les axes auxiliaires X, Y, Z, de

sorte qu'on a :

cos (x, X)=1, cos(x, y) =1,

cos (*, Z) = 1ệ

et les trois équations précédentes ne different pas des équations de l'art. 79.

les

90. Dans le cas général, les axes primitifs sont déterminés par les trois constantes cos(x, X), cos (ƒ, Y), cos (z, Z), qui sont égales aux trois sinus sin(x, z), sin (y, xz), sin (3, xy). Des neuf constantes a, b, c, a', etc., relatives au second systême de coordonnées obliques, six seulement sont nécessaires, et, par formules de la trigonométrie sphérique, on établirait des relations entre les lignes trigonométriques des angles qui déterminent le premier systême des coordonnées obliques et les neuf cosinus relatifs au second systême; au moyen de ces relations, les valeurs des lignes trigonométriques relatives aux deux systêmes d'axes, se déduiraient les unes des autres. Il suffira d'ajouter aux équations (A), (B), (C), (D) (art. 45-47), celles qui déterminent les trois arcs de grands cercles, menés des trois sommets d'un triangle sphérique, perpendiculairement aux côtés opposés à ces sommets. Nommanta, 8, les trois arcs respectivement

perpendiculaires aux côtés a, b, c du triangle sphérique ABC (fig. 5, Pl. 1re.) (art. 43), on a les trois équations:

sina

sin

sin b sin C = sin B sin c,

sin c sin A sin C sin a,

sin y sin a sin B➡ sin A sin b.

Ces arcs (*), B, y mesurent les angles que les rayons de la sphère, menés par les points A, B, C (fig. 5, Pl. 1re.), font avec les plans des côtés a, b, c du triangle sphérique A, B, C.

(*) Nommant f, g, h, k les arêtes et les diagonales d'un parallélipipède, qui concourent vers un même point, on a l'équation suivante :

Cette expression (ƒ, g ) ou (k, fg), conforme à la notation de M. Français, signifie: angle des arêtes fet g; angle de la diagonale k et du plan qui passe par les arêtes fet g.

On obtiendrait d'autres relations, en considérant les parallélipipèdes formés sur des droites perpendiculaires aux plans qu'on menerait par les droites f, g, h, k prises deux à deux.

CHAPITRE II.

Des Surfaces dont l'équation est algébrique, et principalement des Surfaces du second degré.

S Ier.

91. On a vu (art. 4) qu'une surface est représentée par une seule équation entre les trois coordonnées variables d'un point de cette surface. Réciproquement, toute équation entre trois variables représente, en général, une surface dont chaque point a ces variables pour coordonnées. Si cette équation peut être ramenée par des transformations, à ne contenir que des termes de la forme Axly"z", dans lesquels les exposans l, m, n des coordonnées x, y, z soient des nombres donnés entiers et positifs, et un coefficient déterminé; on dit alors qu'elle est algébrique.

92. Etant donnée l'équation algébrique d'une surface, on propose de reconnaître si elle a un centre ? si elle a des plans diamétraux ?