AVANT-PROPOS.

CETTE seconde partie des Eléments de géométrie à trois dimensions traite de la Ligne droite, du Plan et des Surfaces du second degré. L'introduction à l'Analyse d'Euler, publiée en 1748, contient la discussion de l'équation générale du second degré à trois variables, et la division des surfaces du second ordre en six genres. J'ai fait voir (année 1801, 11e cahier du Journal de l'Ecole Polytechnique) qu'il y avait seulement cinq espèces de surfaces du second degré, que j'ai nommées: ellipsoïde, hyperboloïde à une nappe, hyperboloïde à deux nappes, paraboloïdes elliptique et hyperbolique. En 1813, j'ai publié le Traité des surfaces du second degré, qui forme la seconde partie de ces Eléments, ouvrage dans lequel j'avais réuni plusieurs articles publiés dans la Correspondance sur l'Ecole Polytechnique, et dans la Mécanique de M. Poisson. On trouvera à la fin de cette seconde partie des exemples de la discussion des équations numériques à trois variables, que M. Chasles a eu la complaisance de calculer, et de plus un théorême sur les projections stéréographiques qu'il m'a aussi communiqué.

1

On a suivi dans cet ouvrage la méthode des géomètres modernes, principalement connue sous le nom de Géométrie analytique. C'est d'après cette méthode que les derniers traités des courbes du second degré ont été rédigés. Les Grecs avaient cultivé une autre branche de connaissances mathématiques qu'on appelle actuellement Analyse géométrique; un célèbre physicien et géomètre anglais, M. Leslie, en a fait l'objet de la seconde partie de ses Eléments de Géométrie plane (Voyez la 2e édition, Edinburg, 1811). Ces Eléments sont divisés en trois parties: la première traite de la ligne droite et du cercle dans un plan, et la troisième comprend la trigonométrie plane. L'auteur regarde l'analyse géomé trique comme un excellent traité de logique, et il reproche aux géomètres du continent de l'avoir trop négligée. L'histoire nous apprend qu'on l'étudiait avec beaucoup de soin dans les anciennes écoles grecques, et qu'elle se composait des huit sections suivantes, dont M. Leslie rapporte les titres tels que Pappus, géomètre du milieu du quatrième siècle après J.-C., nous les a transmis.

Ire Section. Données. Un seul livre très-étendu et ne contenant que des propositions très-simples., 2o Section. Rapports. En deux livres. On y considère des droites données dans un plan; on

les suppose coupées par d'autres droites dont la position est déterminée par les rapports des parties interceptées : c'est ce qu'on appelle actuellement théorie des transversales, des lignes harmoniques, etc.

3e Section. De l'Etendue. Ce livre manque ; il en reste à peine des vestiges. On croit, d'après quelques idées de Pappus, qu'il s'agissait, au moyen de deux droites et de leurs transversales, de construire des polygones dont l'aire fût égale à un rectangle donné.

4e Section. Déterminées. En deux livres, qui sont aussi perdus.

5e Section. Inclinaisons. En deux livres. On proposait de mener par un point donné et entre deux droites aussi données, une troisième droite d'une grandeur connue.

6e Section. Des Tangentes. En deux livres, dont on n'a conservé que quelques lemmes. On y traitait des contacts des cercles. Les solutions de ces problêmes ont été retrouvées par Viete, géomètre de la fin du 16e siècle.

Ces six premières sections sont de l'invention d'Apollonius de Perge, géomètre qui florissait l'an 244 avant J.-C.

7e Section. Des Lieux géométriques plans. En deux livres. Elle a pour objet de déterminer dans

quels cas un point mobile décrit une droite ou un cercle donné de position.

8e Section. Des Porismes. En trois livres composés par Euclide, géomètre qui vivait vers l'an 400 avant J.-C. Il n'en reste aucune trace, si l'on excepte ce que Pappus en a transmis en termes fort obscurs. Il était réservé au géomètre anglais Simson de reproduire ce travail d'Euclide dans un ouvrage publié en 1776, aux frais du comte de Stanhope.

M. Leslie a réuni les propositions principales de la géométrie des anciens, et en a formé les deux livres de son Analyse géométrique. On a vú que nous avons fait usage de cette analyse pour démontrer, dans la première partie de nos Eléments, les propositions relatives à la génération des surfaces réglées du second degré, l'hyperboloïde à une nappe, et le paraboloïde hyperbolique. L'Appendice placé à la fin de cette partie renferme les propositions de la géométrie aux trois dimensions, les plus remarquables par leur généralité, et par l'application qu'on en fait dans la mécanique. Au moyen de cet appendice, la théorie particulière des surfaces du second degré sert d'introduction à une géométrie plus élevée, qui considère les surfaces courbes quelconques.

APPLICATION

DE L'ALGÈBRE

A LA GÉOMÉTRIE.

CHAPITRE PREMIER.

Des Coordonnées d'un point, des Equations de la ligne droite, et du Plan.

ON

S Ier.

1. On sait comment on détermine la position d'un systême de points situés dans un plan. Ce plan étant supposé fixe, on y trace deux lignes droites qu'on nomme axes des coordonnées, et on considère chaque point comme le sommet de l'angle d'un parallelogramme formé par les axes des coordonnées, et par