des parallèles à ces axes; la longueur et la direction des côtés de ce parallélogramme, déterminent la position du point. C'est par une méthode semblable qu'on fixe la position d'un point dans l'espace. On conçoit trois plans invariables, qui se coupent suivant trois droites qu'on nomme axes des coordonnées, et on considère le point donné comme le sommet de l'angle d'un parallelipipède qui a pour diagonale la distance de ce point à l'origine des coordonnées, et pour arêtes des droites parallèles aux axes des coordonnées. La direction et la longueur des arêtes du parallélipipède, qui aboutissent au point donné, déterminent la position de ce point dans l'espace.

nées

2. Les trois plans des axes des coordonnées qu'on nomme simplement plans des coordondivisent l'espace en huit régions. Les mêmes valeurs absolues des trois coordonnées d'un point correspondent à l'une ou à l'autre de ces parties de l'espace. En effet, soient x, y, z, ces valeurs absolues, on aura d'abord les quatre combinaisons suivantes :

Les points symétriquement placés par rapport à l'origine des coordonnées, sont situés sur une droite passant par cette origine; ainsi la première et la cinquième combinaisons correspondent à deux points symétriquement placés: il en est de même des points des deuxième et sixième combinaisons, des troisième et septième, des quatrième et huitième.

3. Les plans fixes des coordonnées sont ou inclinés ou perpendiculaires entre eux. Lorsqu'ils sont rectangulaires, un point a pour coordonnées les perpendiculaires abaissées de ce point, sur les plans des coordonnées, ou les distances de ce point à ses projections orthogonales sur les trois plans fixes.

Quelle que soit la direction des axes des coordonnées, en nommant a, c les coor

b

données d'un point parallèles à ces axes, les équations du point sont :

Les plans menés par un point donné perpendiculairement aux axes rectangulaires, coupent

ces axes en trois points dont les distances à l'origine des coordonnées, sont égales aux coordonnées du point donné. Chacun de ces trois points est la projection du point donné sur l'un des axes rectangulaires.

4. Si l'on n'a qu'une seule équation entre les trois coordonnées d'un point, la position de ce point est indéterminée, et le lieu de tous les points, dont les coordonnées y satisfont, est une surface dont cette équation exprime la nature.

Si l'on a deux équations entre les trois coordonnées d'un point, la position de ce point est encore indéterminée; le lieu de tous les points qui satisfont à ces équations est à-lafois sur les deux surfaces qu'elles représentent; ce lieu est donc la ligne d'intersection des deux surfaces.

Il suit de là qu'une ligne donnée dans l'espacé est représentée par deux équations entre les trois coordonnées d'un point de cette ligne, et une surface est représentée par une seule équation entre les trois coordonnées d'un point de cette surface.

5. En géométrie, la méthode la plus générale par laquelle on détermine la position d'un point,

consiste à regarder ce point comme l'intersection de trois surfaces courbes : dans l'analyse appliquée à la géométrie, on suppose toujours le point donné de manière que les trois surfaces dont il est l'intersection, se réduisent à des plans, ou à des sphères, ou à des cônes droits, comme on le verra à l'article relatif à la transformation des coordonnées.

x,

Dans les paragraphe suivans, on supposcra les trois axes des coordonnées x, y, z perpendiculaires entre eux; par axe des x, des y ou des z, on entendra l'axe parallèle aux aux ƒ, aux z; on désignera chaque plan des coordonnées par les deux lettres qui expriment les valeurs des deux coordonnées. auxquelles ce plan est parallèle. Pour désigner un point dont les coordonnées sont x', y', z on écrira le point x', y', z'. »

2

6. Les équations d'une ligne droite, située dans l'espace, expriment la relation qui existe entre les coordonnées x, y, z d'un point quel

ces axes en trois points dont les distances à l'origine des coordonnées, sont égales aux coordonnées du point donné. Chacun de ces trois points est la projection du point donné sur l'un des axes rectangulaires.

4. Si l'on n'a qu'une seule équation entre les trois coordonnées d'un point, la position de ce point est indéterminée, et le lieu de tous les points, dont les coordonnées y satisfont, est une surface dont cette équation exprime la nature.

Si l'on a deux équations entre les trois coordonnées d'un point, la position de ce point est encore indéterminée; le lieu de tous les points qui satisfont à ces équations est à-lafois sur les deux surfaces qu'elles représentent; ce lieu est donc la ligne d'intersection des deux surfaces.

Il suit de là qu'une ligne donnée dans l'espacé est représentée par deux équations entre les trois coordonnées d'un point de cette ligne, et une surface est représentée par une seule équation entre les trois coordonnées d'un point de cette surface.

5. En géométrie, la méthode la plus générale par laquelle on détermine la position d'un point,