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se croisent sur la surface: donc le plan conduit par ces deux tangentes, qui est le plan tangent à la surface (37 et 40), est déterminé.

Si l'on suppose que le plan tangent en un point d'une surface soit déterminé, il contient (art. 40) les tangentes de toutes les lignes qui passent par ce point: donc si l'une de ces lignes est une courbe plane, sa tangente au même point est l'intersection du plan de cette courbe et du plan tangent. Si la ligne n'est pas plane, mais qu'elle appartienne encore à une autre surface à laquelle on sait mener des plans tangens, sa tangente sera l'intersection de deux plans tangens aux surfaces qui se pénètrent suivant la ligne proposée (art. 42).

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De la Tangente à la courbe plane menée par un point donné sur le plan de la courbe; et de la Tangente à la courbe à double courbure menée par un point de la surface développable, dont cette courbe est l'arête de rebroussement.

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60. La courbe proposée étant placée sur une surface réglée, on considérera le point donné par - lequel on doit lui mener une tangente, comme le sommet d'une surface conique circonscrite

à la surface réglée; la courbe de contact de ces deux surfaces coupera la courbe proposée en un point, par lequel on mènera la tangente demandée.

Pour déterminer la courbe de contact des deux surfaces, on mènera par ce point donné hors de la courbe, et par chacune des droites de la surface réglée un plan. Ce plan coupera cette surface suivant une ligne qui sera rencon→ trée par la droite (art. 47) en un point; ce point appartient à la courbe de contact de la surface réglée qui contient la courbe proposée, et de la surface conique circonscrite à la sur→ face réglée.

Du Plan tangent à une surface de révolution.

61. Le plan qui touche une surface de révo→ lution en un point, est perpendiculaire au plan méridien qui passe par ce point: en effet, il n'y a aucun point de la surface de révolution par lequel on ne puisse mener un cercle dont le centre serait sur l'axe de révolution, et dont le plan serait perpendiculaire à cet axe : or, la tangente au cercle est perpendiculaire au plan méridien qui passe par ce même point; donc ce plan tangent, qui contient la tangente au

cercle, est perpendiculaire au plan méridien mené par le point de contact. Il est d'ailleurs, évident que les normales à la surface de révolution, suivant une section méridienne, sont aussi des normales de cette section.

62. Si l'on conçoit la surface développable (art. 23) engendrée par un plan mobile constamment perpendiculaire au plan d'une section méridienne, et passant successivement par, toutes les tangentes à cette section, l'enveloppe de l'espace que ce plan parcourt est une surface cylindrique qui est inscrite ou circonscrite à la surface de révolution, et dont les arêtes sont perpendiculaires au plan de la section méridienne. Ces deux surfaces ont évidemment cette section pour ligne de contact.

Propriété des surfaces de révolution, et en général des surfaces engendrées par un cercle mobile.

63. Lorsqu'une surface peut être coupée par un système de plans suivant des cercles, les normales à la surface, menées par les points de l'une quelconque des sections circulaires, forment une surface réglée composée de droites qui passent toutes par la droite polaire du cercle,

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que l'on considère. (On nomme ligne dès poles, ou droite polaire d'un cercle, la perpendiculaire au plan de ce cercle élevée par son centre). Cette proposition résulte de celle qui a été démontrée (art. 43), que les projections orthogonales des normales à la surface sur le plan d'une courbe de cette surface, sont les normales de la courbe; car il est évident que les rayons d'un cercle étant les normales de ce cercle, ils sont aussi les projections des normales à la surface sur laquelle ce cercle est tracé.

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Lorsque la surface est de révolution, les normales suivant un cercle de cette surface forment des cônes droits qui ont leurs sommets sur l'axe de révolution : les sommets de ces cônes sont aussi les centres des sphères inscrites ou circonscrites à la même surface. Ces sphères ont pour rayons les parties de normales de la surface ou de la section méridienne, còmprises entre l'axe de révolution et les eercles de contact des sphères et de la surface.

A chaque cône droit normal à une surface de révolution suivant un cercle, correspond un autre cône droit tangent à la surface suivant le même cercle. Ce second cône droit a, comme le premier, son sommet sur l'axe de révolu

tion, et pour génératrice une tangente à la section méridienne, qui tourne autour de cet axe. Du Plan tangent à une surface développable.

64. De même qu'une tangente à une courbe est (art. 5) le prolongement d'un élément de cette courbe, le plan tangent d'une surface développable est aussi le prolongement dans tous les sens de l'élément de cette surface: or cet élément est formé (art. 22.) de deux droites consécutives de la surface: donc le plan tangent à la surface développable touche cette surface suivant une droite, et dans tous les points de cette droite; ce qui n'a lieu que pour ce genre de surfaces, comme on l'a déjà supposé (art. 41).

Des Lignes de la surface développable, considérées sur cette surface et sur le plan de son développement.

65. Lorsqu'on développe une surface (art. 22), une ligne quelconque plane ou à double courbure de cette surface devient sur le plan de développement une autre ligne que je nomme la transformée de la première. Supposons d'abord qu'il y ait sur la surface développable une courbe dont la transformée soit connue pour la distinguer nommons-la axe de déve

et

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