56-59 de ce supplément) et que nous allons rappeler ici.

Propositions relatives au contact des surfaces réglées.

49. La surface réglée la plus générale, telle que nous l'avons définie (art. 24), et la surface réglée particulière que nous avons nommée, même article, hyperboloïde à une nappe, peuvent, par un choix convenable de droites directrices de cette seconde surface, se toucher suivant une droite prise à volonté sur la première surface. En effet, soient (fig. a, pl. i)A, A', A", trois points pris à volonté sur une droite (AA'A") d'une surface réglée, et qu'on imagine par ces trois points et sur la surface trois courbes quelconques A B, A' B', a" B"; il est évident qu'on peut prendre ces trois courbes pour les directrices de la droite génératrice de la surface réglée. En faisant varier ces courbes sur la surface, de manière qu'elles passent toujours par les mêmes points A, A', A", la droite mobile engendre la même surface, et dans sa position a a' a" infiniment voisine de la droite “A A' A", elle s'appuiera sur les trois courbes AaB, A' a B', A"a" B"; mais en supposant

que ces courbes varient, et qu'elles deviennent AC,A'C',A"C", la droite mobile dans la position a a' a" les coupera en trois nouveaux points, a', a"; dans le premier cas l'élément de la surface réglée ( défini art. 22) compris entre les deux droites consécutives 44' 4", a a' a", est déterminé par les trois élémens de courbes Aa, A'a', A" a", et dans le second cas par les trois élémens de courbes Aa, Aa', 4"a"; d'où il .suit que cet élément AA' A" a a' a" de surface réglée, est déterminé par les élémens de trois courbes de cette surface. Ces élémens de courbes sont dans les plans tangens de la surface réglée aux points A, 4', 4", et leurs prolongemens sont des tangentes à cette surface: donc, si à partir de ces points on mène une droite quelconque dans chacun des plans qui touchent la surface réglée aux mêmes points, on aura trois droites directrices d'un hyperboloïde à une nappe qui sera tangent à la surface réglée, suivant la droite 44' 4" commune aux deux. surfaces.

50. Ainsi, quelle que soit une surface réglée, il y a une infinité d'hyperboloïdes à une nappe qui peuvent avoir un élément commun avec cette surface, ou la toucher suivant une droite. Tous ces hyperboloïdes ont pour directrices

de lear droite génératrice, trois droites prises arbitrairement dans trois plans tangens de la surface réglée, menés par trois points différens de la droite de contact de cette surface et des hyperboloides. Chacun de ces hyperboloides tangens n'a de commun avec la surface réglée qu'il touche suivant une droite! que deux droites consécutives de cette surface. On conçoit que trois droites consécutives de la surface réglée déterminent un hyperboloide d'un contact plus immédiat, que nous nommerons par cette raison l'hyperboloide osculateur, et qui -sera l'objet d'un examen particulier (1).

ནྟི

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- Un plan quelconque mené par une droite d'une surface réglée, est tangent au même point à tous les hyperboloïdes qui la touchent suivant cette droite, et coupe tous ces hyperboloides suivant des droites qui passent par le point de contact du plan et de la surface réglée; deux quelconques de ces droites déterminent -le plan tangelit de la surface réglée', et la position du point de contact sur cette surface. sup, int?

(1) Voyez la première partie de l'Analyse appliquée à la Géométrie, par MM. Monge et Hachette, in-, édition 1807, page 50.

De la Tangente à une section plane d'un hyperboloïde à une nappe, en un point donné sur cette courbe.

51. Le plan tangent à l'hyperboloïde à une nappe pour un point donné sur cette surface, est déterminé par les deux droites de la surface qui se croisent en ce point (art. 39). Or, on sait que ce plan contient les tangentes à toutes les lignes de l'hyperboloïde qui passent par le point de contact: donc, si par le point donné sur une section plane d'un hyperboloïde, on conçoit le plan tangent à cette surface, l'intersection de ce plan et du plan de la section sera la tangente à cette section.

Si une courbe était l'intersection de deux hyperboloides à une nappe, la tangente à cette courbe serait l'intersection de deux plans, dont chacun serait tangent à l'un des hyperboloides qui se pénètrent (art. 42).

52. Les droites directrices de l'hyperboloide tangent à une surface réglée suivant une droite, n'étant assujetties qu'aux deux conditions de couper cette droite de tangence en trois points, et d'être situées dans les plans tangens menés par ces points, il est évident que ces directrices

peuvent encore satisfaire à cette troisième condition, d'être parallèles à un plan donné arbitrairement; ou, ce qui est la même chose, on peut supposer que ces directrices sont les droites intersections d'un plan donné, et de trois plans tangens à la surface réglée en trois points pris arbitrairement sur une droite de cette surface. Dans cette hypothèse, l'hyperboloïde tangent, suivant la même droite, devient (art. 31) un plan gauche ou un paraboloïde. Il y a donc une infinité de paraboloïdes qui peuvent toucher la surface réglée générale, suivant une droite.

53. Parmi les plans gauches qui touchent 'une surface réglée suivant une droite, il y en a un dont les directrices sont parallèles au plan perpendiculaire à la droite de tangence, et il 'est évident qu'alors cette droite est constamment perpendiculaire à la génératrice du plan gauche. En faisant tourner ce plan gauche d'un quart de révolution autour de la droite, suivant laquelle il touche la surface réglée, les génératrices feront elles-mêmes un quart de révolution, et de tangentes à la surface réglée, elles deviendront des normales à la même surface; d'où il suit que le lieu des normales d'une surface réglée suivant une droite de cette sur