plans cette droite est évidemment la tangente, d'où suit cette proposition:

La normale en un point d'une courbe qui résulte de l'intersection d'une surface et d'un plan, est la projection orthogonale de la normale à la surface au même point sur le plan de la courbe.

44. La tangente à la courbe à double courbure qui résulte de la pénétration de deux surfaces, peut aussi être considérée comme une droite perpendiculaire aux normales des surfaces menées par le point où la tangente touche la courbe; mais lorsqu'une droite est perpendiculaire à deux autres droites, et que ces trois droites se croisent au même point, la première est perpendiculaire au plan des deux dernières (1): donc la tangente de la ligne d'intersection de deux surfaces courbes est perpendiculaire au plan mené par le point de contact, et par les deux normales aux surfaces qui passent par ce même point. ( M. J. BINET. Correspondance, tom. III, pag. 199.)

45. Il suit de ce qui précède, que la détermination des tangentes aux courbes qui résultent de l'intersection des surfaces, dépend de

(1) Géométrie de Legendre, Livre des Plans, page 139.

la direction du plan tangent en un point quel→ conque de ces surfaces; mais lorsqu'une surface est définie (art. 19), le plan tangent en un point quelconque de cette surface est déterminé 1o. par la tangente à la génératrice qui passe par ce point; 2°. par la tangente à une autre courbe quelconque qui passerait par le même point. La construction de ces tangentes suppose donc la solution de ce problême:

Connaissant la génération d'une surface, lui mener un plan tangent en un point donné?

Nous allons d'abord résoudre cette question pour la surface réglée, et nous déduirons de cette solution une méthode générale pour déterminer le plan tangent à toute autre surface. (Art. 59.)

Du Plan tangent à la surface réglée, et construction géométrique du point de contact.

46. Quelle que soit une surface réglée, les projections orthogonales des droites de cette surface sur un plan quelconque, sont tangentes à une courbe tracée sur ce plan, et cette courbe est la section droite d'un cylindre auquel toutes les droites de la surface réglée sont tangentes (art. 24). Un plan quelconque tangent au cylindre contient une droite du cylindre

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(art. 38) et une droite de la surface réglée (art. 24); ces deux droites se coupent au point où le plan tangent au cylindre devient tangent à la surface réglée. En effet, ce plan passe par une droite de la surface réglée, qui est sa propre tangente, et par la tangente à la courbe de contact de cette surface et du cylindre: donc il est tangent au point d'intersection de ces deux tangentes. Mais ce plan tangent de la seconde espèce (art. 39) coupe évidemment la surface réglée, suivant une courbe qui passe encore par le point de contact: donc ce point est déterminé par la rencontre de cette courbe plane, et de la droite de la surface réglée contenue dans le plan de la courbe. Si dans quelques cas particuliers la droite et la courbe se touchaient au lieu de se couper, la droite tangente et la droite de la surface coïncideraient, et le plan tangent serait indéterminé : c'est ce qui arrive lorsque la surface est développable. Ce plan mené par une droite de la surface développable, qui est une tangente de l'arête de rebroussement (art. 21), coupe toutes les autres tangentes à cette arête en des points qui forment une courbe tangente à la droite de la surface. Cette coïncidence de la tangente à la courbe, et de la droite de la surface située dans le plan de

cette courbe, ne peut avoir lieu lorsque la surface est réglée, que pour des points singuliers de cette surface.

47. On conclut de ce qui précède, qu'un plan quelconque mené par une droite d'une surface réglée coupe cette surface suivant une courbe, et la touche au point où cette courbe est rencontrée par la droite. Ce même plan, en tournant autour de la droite de la surface réglée, ne cesse pas de lui être tangente; mais la position du point de contact sur la droite change avec celle du plan mobile.

Prenons pour exemple l'hyperboloïde à une nappe: nous avons démontré (art. 25) que cette surface pouvait être engendrée par une droite de deux manières différentes: il suit de t là qu'un plan qui passe par une droite correspondante au premier mode de génération, contient une autre droite correspondante au second mode. Ces deux droites, situées dans le même plan, se rencontrent, et ce plan touche ( 39 ) la surface au point de rencontre des deux droites. Considérant trois droites quelconques de la sinface D, 'D', D", un plan qui tourne autour de la première D coupe dans toutes ses positions les deux autres D', D" en deux points; la droite qui joint ces deux points coupe la

droite D en un troisième point, pour lequel le plan mobile est tangent. La position du point de contact sur la droite D varie en même temps. que le plan mobile qui tourne autour de cette droite, et on voit comment on détermine leurs positions respectives.

Détermination du plan tangent à une surface réglée en un point donné de cette surface.

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48. Un plan donné qui passe par une droite d'une surface réglée, touche cette surface en un point, et nous venons de faire voir construction de ce point dépend de l'intersection de la surface réglée par le plan donné. Cette surface réglée étant définie, c'est question facile à résoudre, de trouver l l'intersection des droites de cette surface par un plan donné. Nous allons actuellement examiner le problême inverse, lobe olamib e t Etant donné le point de contact sur la surface réglée, déterminer le plan tangent en ce point? ning comblu colar emot La solution de cette question est fondée sur quelques propriétés de surfaces réglées que nous avons déjà exposées dans le Supplément à la Géo métrie descriptive, année 1812, page 4 (art.

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