dans l'espace. Ainsi, la projection d'un point sur un plan est le pied de la perpendiculaire abaissée du point sur le plan. Il est évident que les projections d'un point sur deux plans en déterminent la position, car ce point est l'intersection des deux perpendiculaires aux plans, élevées par ses projections.

Quel que soit le nombre de points isolés, les projections de ces points sur deux plans fixes déterminent leur position respective.

Des Coordonnées du point; des Plans
coordonnés.

2. Un point étant projeté sur deux plans fixes rectangulaires, les perpendiculaires abaissées de ses deux projections sur la droite intersection des plans fixes, mesurent les distances du point projeté aux plans fixes. Nous nommerons, suivant l'usage, ces distances les coordonnées du point l'une sera l'abscisse, et l'autre l'ordonnée du point. Nous nommerons plans coordonnés ou plans de projections, les plans fixes rectangulaires auxquels on rapporte des points isolés, ou des points qui appartiennent à des droites et des courbes situées hors de ces plans; enfin, axe des coordonnées, la droite

intersection des plans coordonnés. On emploiera souvent le mot projection, sans y ajouter, sur les plans coordonnés; mais il sera facile, dans chaque phrase, de reconnaître cette abréviation.

De la Ligne droite et du Polygone.

3. Une ligne droite donnée dans l'espace a, comme l'un de ses points, deux projections. Si l'on conçoit par cette droite des plans perpendiculaires aux deux plans coordonnés, les droites intersections de ces plans sont les projections de la droite donnée. Ainsi, la projection d'une droite sur un plan est l'intersection de ce plan par un second plan conduit par la droite, et par une perpendiculaire au premier plan. Les deux projections d'une droite sur deux plans fixes déterminent la position de cette droite, car les deux plans perpendiculaires aux plans fixes, conduits par les projections de la droite, se coupent suivant cette même droite.

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po

Quel que soit le nombre des côtés d'un p lygone continu ou discontinu, situés ou non dans le même plan, les projections des côtés de ce polygone sur deux plans coordonnés forment sur ces plans deux autres polygones qui déterminent la forme et la position du premier.

Des Courbes planes et à double courbure.

4. Une courbe plane ou à double courbure n'étant qu'une suite de points liés entr'eux par une loi, sa forme et sa position, à l'égard de deux plans cordonnés, seront déterminées par les projections des points pris sur cette courbe à des distances très-rapprochées. Plus ces distances seront petites, et moins le polygone formé des petites droites qui joignent deux points consécutifs de la courbe, différera de cette courbe; or, les projections de ce polygone en déterminent la forme et la position; donc les mêmes projections pourront être aussi considérées comme celles de la courbe, et elles en déterminent la forme et la position.

Si la loi qui lie les points d'une ligne les assujettit à être dans un même plan, on dit que la courbe est plane: elle est à double courbure lorsque tous ses points ne sont pas situés dans le même plan.

Des Tangentes aux Courbes et de leurs projections.

5. Considérant une ligne comme le lieu géo

métrique d'un point mobile, soumis à une ou plusieurs forces constantes ou variables, la loi du mouvement détermine celle qui lie les points de la courbe entr'eux.

Suivant les anciens géomètres, une ligne droite est tangente à une courbe, lorsqu'ayant un point commun avec la courbe, on ne peut mener par ce point aucune autre droite entre elle et la courbe. Depuis, on a envisagé les tangentes sous un rapport moins abstrait. On les a regardées comme des sécantes dont les deux points d'intersection consécutifs sont réunis, ou comme les prolongemens des côtés infiniment petits de la courbe considérée comme un polygone d'une infinité de côtés, ou enfin comme la direction du mouvement composé par lequel la courbe peut être décrite. Quelle que soit la - manière de les considérer, il est bien évident que les projections des tangentes d'une courbe plane ou à double courbure, sont les tangentes aux projections de cette courbe.

Lorsqu'une courbe est plane, la perpendiculaire à la tangente, élevée par le point de contact dans le plan de la courbe, est la normale à la courbe au même point...

Un plan perpendiculaire à la tangente d'une courbe plane ou à double courbure, mené

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par le point de contact, se nomme plan normal à la courbe.

Propositions relatives au Point, à la Ligne droite et au Plan.

6. Lorsqu'après avoir fait tourner l'un des plans coordonnés autour de l'axe des coordonnées, ces plans coïncident, les deux projections d'un même point sont placées sur une droite perpendiculaire à l'axe.

7. Lorsqu'une droite passe par deux points, la projection de la droite sur l'un des plans coordonnés, passe par les projections des points sur ce même plan.

8. Deux droites parallèles ont pour projections des droites parallèles.

9. Lorsque deux droites se coupent dans l'espace, et comprennent entr'elles un angle, le sommet de cet angle a pour projection sur l'un des plans coordonnés, le point d'intersection des projections des deux droites sur le "même plan coordonné.

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La même proposition est vraie pour deux lignes quelconques planes ou à double courbure qui se coupent où se touchent. Si elles se touchent, la projection de leur point de contact