Plans, page 147.) Je ferai remarquer que les égalités précédentes se déduisent des équations (d) et (d') ( art. 27), dans lesquelles on ferait a=1. Ainsi, on a (fig. 6.) pour un plan gauche ou pour un paraboloïde hyperbolique А В A" B" A A' C C'

et pour l'hyperboloïde à une nappe, les côtés opposés du quadrilatère gauche sont divisés en deux parties, telles qu'on a constamment :

a étant une constante qui dépend de la position des trois directrices de la droite génératrice mobile.

§. III.

Des Intersections des Surfaces courbes par un

Plan.

33. La surface proposée a pour génératrice (art. 19) ou une ligne droite, ou une courbe plane, ou une courbe à double courbure. Ce qui présente trois cas.

1er Cas. La génératrice est une ligne droite. Un plan donné de position par rapport à la surface, coupe les droites de cette surface en des points que l'on construit (14), en considé

rant chaque droite isolément. La ligne qui joint ces points est l'intersection de la surface proposée et du plan donné.

2o Cas. La génératrice est une courbe plane. Les points d'intersection d'une courbe plane et d'un plan donné ne peuvent être situés que sur la droite intersection de ce dernier plan et du plan de la courbe. Or, le plan variable de la courbe coupe le plan donné suivant des droites que l'on construit (art. 13 et 14), en considérant la courbe mobile dans une position déterminée : donc la ligne qui joint les points d'intersection de ces droites et de la courbe mobile, est à-la-fois sur le plan donné et sur la surface coupée par ce plan.

3e Cas. La génératrice est une courbe à double courbure. On prend hors de la courbe, considérée dans une position déterminée, deux droites quelconques, et on regarde les deux droites comme les directrices d'une surface réglée dont la courbe est la troisième directrice. Le plan donné coupe cette surface réglée suivant une courbe qui contient évidemment le point d'intersection de ce plan et de la courbe génératrice de la surface; or, un point est déterminé par l'intersection de deux courbes: donc on trouvera par cette méthode tant de

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points qu'on voudra de l'intersection du plan donné et de la surface engendrée par la courbe à double courbure.

Si les deux droites prises arbitrairement sont parallèles entr'elles et à une distance infinie de la courbe à double courbure, la surface réglée devient une surface cylindrique. En général, la méthode consiste à placer la courbe génératrice sur une surface engendrée par une ligne droite, telle qu'un cône, un cylindre, une surface développable, ou plus généralement sur une surface réglée.

Des Intersections des Surfaces courbes entr'elles.

34. La forme et la position de deux surfaces étant données, on suppose qu'elles se pénètrent. En menant par chaque point de la ligne d'intersection un plan qui coupe à-la-fois les deux surfaces suivant deux courbes, il est évident que ces deux courbes se rencontrent en un point qui est sur la ligne d'intersection des deux surfaces. Or, par l'article précédent, on peut construire et tracer chacune de ces courbes dans le plan qui les contient; on aura donc par ce moyen tant de points qu'on voudra de l'intersection de deux surfaces. Si les courbes des deux surfaces contenues dans le même

plan ne se coupaient pas, on concluerait que ce plan ne rencontre pas la courbe d'intersection de ces surfaces. Dans chaque cas particulier, on choisit le système de plans le plus convenable pour réduire, autant que possible, le nombre et la longueur des lignes de construction. Ce choix étant fait, on a aussi à déterminer les plans limites entre lesquels la courbe d'intersection des deux surfaces est comprise. Lorsque les deux surfaces qui se coupent sont coniques, par exemple, on fait usage d'un système de plans qui passent par les sommets des deux cônes. Il en résulte que chaque plan coupe les cônes suivant des droites qui se rencontrent en des points de la ligne d'intersection de ces deux surfaces. C'est par la même raison qu'ayant à trouver l'intersection de deux cylindres qui se pénètrent, on les coupe par des plans parallèles aux génératrices de ces cylindres.

35. Il n'y a pas de règle générale pour déterminer le système de plans coupans le plus avantageux, ni pour trouver les plans limites de ce système. La solution de ces questions serait encore plus compliquée, si l'on substituait aux plans coupans un système de surfaces courbes de même nature et de dimensions va

riables, dont chacune satisferait à la condition de passer par deux courbes qui se rencontreraient en un point de la ligne d'intersection des deux surfaces proposées. Cette substitution présente néanmoins dans quelques cas particuliers des avantages, surtout lorsque les surfaces courbes substituées aux plans, ne varient que par une seule dimension. Prenons pour exemple deux surfaces de révolution dont les axes se rencontrent. On substitue aux plans coupans des sphères variables de rayon et concentriques, dont le centre commun est le point d'intersection des deux axes; ce qui revient à considérer chaque point de la courbe d'intersection de deux surfaces comme le point commun à deux cercles d'une sphère dont le rayon, qui est la dimension variable, est connu. Deux petits cercles d'une sphère ne se rencontrent pas nécessairement; mais deux cercles qui ne sont pas dans le même plan, et qui se rencontrent, sont nécessairement sur la même sphère. Ainsi, quel que soit le système des surfaces coupantes, les valeurs des dimensions variables doivent être telles, que chaque surface de ce système contienne nécessairement deux lignes connues et données sur les surfaces qui se pénètrent.