La tangente de l'angle de deux tangentes réciproques est: Lorsque cet angle est un maximum, il a (art. 17 ) pour 2 VRT tangente, Des Rayons de courbure des sections normales dont les plans passent par deux tangentes réciproques. 19. Soient A et A' les angles que les deux tangentes réciproques font avec la tangente à la section principale du rayon r; p, p' les rayons de courbure des sections normales dont les plans passent par les tangentes réciproques; on le théorême d'Euler: a par et parce que les tangentes sont réciproques, on a (art. 18): cos2 A' Rcos Ar sin2 A ́ r2 sin2 A R2 cos2 A+ r2 sin2 A Substituant ces valeurs dans celle de p', on a : Rr(R2 cos A+r2 sin2 A) = Rcos A+ sin' A Rr sin A+ R2r cos2 A R cos' Ar sin' A' Rr (sin A+ cos2 A) + R2 cos2 A+r2 sin2 A R (Rcos Ar sin3 A) +r(R cos2 Ar sin3 A): donc p+R+r; (c) c'est-à-dire que la somme des rayons de courbure p et p' des sections normales dont les plans passent par deux tangentes réciproques, est égale à la somme des rayons de courbure principaux de la surface qui correspondent au point de contact de cette surface et des tangentes. Nous nous servirons de cette propriété (1) pour construire l'angle des tangentes réciproques en un point donné d'une surface. Des Rayons de courbure des sections normales d'une surface dont les plans sont perpendiculaires entre eux. 20. Soient et p' les deux sections normales dont les plans sont perpendiculaires entre eux. (1) Cette propriété, trouvée par M. Dupin, a été publiée en 1806 dans la Correspondance sur l'École Polytechnique, tome 1o, page 184. c'est-à-dire que la somme des rayons de courbure de deux sections normales quelconques en un point déterminé d'une surface, est égale à la somme des rayons bure principaux de la surface au même point. de cour Lorsque deux cylindres dont les arêtes sont perpendiculaires entre elles se pénètrent, il peut arriver qu'ils aient même plan tangent en un point de leur ligne d'intersection. Si l'on nommer et r' les rayons de courbure des sections droites des cylindres pour ce point de contact ; p le rayon de courbure des sections normales aux deux cylindres dont le plan passe par la droite qui touche la ligne d'intersection au même point; p' le rayon de courbure de la ligne d'intersection; l'angle du plan osculateur de cette ligne et des sections normales du rayon p, on aura (art. 77 E) pour chaque section normale : p= Ө P , et art. II: cos o Lorsqu'on projette une courbe quelconque orthogonalement sur deux plans rectangulaires qui passent par le rayon de courbure de cette courbe, les droites qui la projettent appartiennent à deux surfaces cylindriques dont la courbe projetée est l'intersection, et qui a pour sections droites les projections de cette courbe. Le rayon de courbure de la courbe étant dirigé suivant une normale aux deux cylindres, ces deux surfaces se touchent au point de la courbe que l'on considère. Dans cette hypothèse, on a p=p'; cos = 1, et l'équation précédente devient: pr+r'; relation que M. Dupin a démontrée (page 88 de ses Développemens de Géométrie): elle exprime que le rayon de courbure circulaire d'une courbe est égal à la somme des rayons de courbure des deux lignes qu'on obtient en projetant cette courbe sur deux plans rectangulaires parallèles au premier rayon. Construction géométrique des rayons de courbure des sections d'une surface dont les plans passent par un point donné de cette surface. 21. Le théorême d'Euler (2) donne les rayons de courbure des sections normales d'une surface en un point donné de cette surface; et par le théorême de Meusnier (art. 77 E.), on en déduit les rayons des sections obliques dont les plans passent par le même point. Le premier théorême, exprimé par l'équation fait voir cos3 A+ — sin2 A, que tous les R (A) rayons de courbure des sections normales correspondantes aux angles donnés A, seront déterminés, 1o. Par les rayons de courbure R et r de la surface, au point donné sur cette surface; 2o. Par l'un des rayons de courbure principaux R ou 7, et par un autre rayon de courbure p', correspondant à un angle déterminé A', de telle manière que le rayon principal inconnu, R par exemple, soit donné par l'équation 3°. Par deux rayons p', p", correspondans aux deux angles donnés A', A", en sorte qu'on ait pour déterminer R et r les deux équations suivantes : , correspon 4°. Enfin par trois rayons donnés p', p",p' dans aux trois angles A, A', A", dont on connaît seule Au moyen de ces trois équations, on calcule les rayons de courbure principaux Retr, l'angle A, et les angles A', A", qui different du premier A de quantités connues. Ce dernier cas est celui que nous allons d'abord examiner, et il sera facile d'y ramener les trois précédens. PROBLÈME. 22. Connaissant les rayons de courbure de trois sections normales d'une surface en un point donné de cette surface, et deux des trois angles que les plans de ces sections font entre eux, trouver la courbe du second degré qui est |