sujet d'un mémoire nouvellement publié (1). Un cylindre étant inscrit ou circonscrit à un hyperboloïde ou un ellipsoïde de révolution, on sait que la courbe de contact de ces surfaces est plane, et son plan, qui passe par le centre de la surface de révolution, est perpendiculaire au plan méridien parallèle à la droite génératrice du cylindre ; c'est sur cette propriété qu'est fondée la théorie des tangentes réciproques, que nous allons exposer. Des Tangentes réciproques sur un ellipsoide ou un hyperboloïde de révolution. 16. Soit (fig. 11, pl. 2) ABCD l'ellipse, et ECF la demihyperbole qui tourne autour de l'axe A B pour engendrer l'ellipsoïde et l'hyperboloïde de révolution. Un cylindre circonscrit ou inscrit à chacune de ces surfaces la touche suivant une courbe. Pour trouver le plan de cette courbe, imaginons par l'axe AB et par une droite parallèle à la génératrice du cylindre un plan, et supposons que ce plau soit horizontal et celui de la fig. (11). OG étant la parallèle à la génératrice du cylindre mené par le centre O de la surface, soient HL et KM les deux tangentes à l'ellipse ABCD parallèles à cette droite OG, qui touchent l'ellipse aux points Het K. Le diamètre HK est, sur le plan de cette courbe supposé horizontal, la trace du plan vertical qui contient la courbe de contact de l'ellipsoïde de révolution, et du cylindre circonscrit à cet ellipsoïde, dont la génératrice est parallèle au demi-diamètre O G conjugué au demi-diamètre O H. Cette courbe de contact est une ellipse qui a pour grand axe la droite (1) Voyez page 41 des Développemens de Géométrie, par M. Dupin, Paris, 1813. a 1 KOH, et pour petit axe une droite égale au petit axe CD de l'ellipse méridienne A B C D. Si l'on mène les deux tangentes à l'hyperbole L'H',K'M', parallèles à la droite OG, qui touchent cette hyperbole aux points K', H', le diamètre K' H' est, sur le plan de cette courbe, la trace du plan vertical qui contient la ligne de contact de l'hyperboloïde et du cylindre circonscrit. Cette ligne est une ellipse qui a pour grand axe la droite K'O H', et pour petit axe une droite égale à l'axe transversal CD de l'hyperbole méridienne A B C D. Cette propriété est une conséquence de la proposition démontrée dans ce traité des surfaces du second degré, page 231 ( Voyez aussi. la Géométrie descriptive de Monge, art. 118), « qu'un cylindre ou un cône qui enveloppe une surface du second degré, la touche suivant une courbe plane. >> Concevons maintenant que le sommet commun C de l'ellipse et de l'hyperbole ait tourné autour de l'axe AB d'un quart de révolution, et désignons-le dans sa nouvelle position par la lettre C'. Le plan tangent au point C' de l'ellipsoïde ou de l'hyperboloïde de révolution est évidemment parallèle au plan du méridien (AB CD). Une parallèle à la droite OG, menée par le point C', pourra être considérée comme la génératrice d'un cylindre circonscrit à l'ellipsoïde ou inscrit à l'hyperboloïde; or, les plans K Het K'H' des courbes de contact de ces surfaces, coupent le plan tangent en C' suivant des parallèles à ces droites K Het K'H': done ces parallèles sont des tangentes aux coarbes de contact. Mais en considérant KH comme la parallèle à la génératrice d'un cylindre circonscrit à l'ellipsoïde de révolution, la droite de ce cylindre et la tangente à la courbe de contact qui se croisent au point C', seront respectivement parallèles aux droites KH et G'G: donc l'angle de ces deux diamètres conjugués de l'ellipse génératrice de l'ellipsoïde de révolution sera l'angle des tangentes réciproques de la surface. Elles sont réciproques dans ce sens que l'une des tangentes étant la génératrice d'un cylindre qui enveloppe la surface, l'autre est la tangente à la courbe de contact de cette surface et du cylindre. Par la même raison, les diamètres conjugués K'H' et GG' de l'hyperbole ECFE' DF' sont parallèles à deux tangentes réciproques menées par le point C' de l'hyperboloïde de révolution. Du plus grand angle des tangentes réciproques en un point quelconque du cercle de l'ellipsoïde de révolution, dont le plan passe par le centre de cet ellipsoïde (1). 17. Soit ACB (fig. 9) l'ellipse méridienne dont le plån est perpendiculaire au rayon du cercle de l'ellipsoïde qui passe par le point donné de ce cercle. On sait (Voy. Essai de Géométrie analytique de M. Biot, 5e édition de 1815, page 165) que parmi toutes les cordes menées des extrémités A et B (fig. 9) de l'axe principal AB d'une ellipse, les cordes égales AC et B C sont celles qui (1) M. Monge avait fait usage de la propriété des tangentes conju guées pour trouver, 1° les directions des tangentes des lignes de courbure d'une surface quelconque (Voyez sa Géométrie descriptive, art. 120); 2o les équations des lignes qu'il a nommées caractéristique et trajectoire (Voyez son Analyse appliquée à la Géométrie, édition de 1809, page 375) ; mais M. Dupin est le premier qui a démontré que les couples de tangentes réciproques en un point d'une surface quelconque étaient parallèles à d'autres couples de diamètres conjugués d'une courbe du second degré (Voyez ses Développemens de Géométrie, page 47 ). comprennent le plus grand angle, et qu'elles sont parallèles à deux diamètres conjugués égaux; d'où il suit que de tous les angles formés par les couples de diamètres conjugués, le plus grand est égal à celui des diamètres conjugués égaux, ou à l'angle A CB. La tangente de l'angle de chacun de ces diamètres avec l'axe CO est évidemment AO СО et es rayons de courbure de l'ellipsoïde au point donné sont (art. 8): (AO)2 et CO. Si l'on nomme ces rayons de courbure Retr, on aura: —R, CO = r; ä¤Rr, et par conséquent Ainsi, l'angle des tangentes réciproques en un point du cercle donné sur l'ellipsoïde de révolution, est un maximum, lorsqu'elles font avec la tangente au cercle mené par le point donné un angle dont la tangente trigonoméAO R 40, ou ; d'où il suit que le plus grand trique est : СО angle de ces tangentes réciproques, qui est double de l'angle précédent, a pour tangente trigonométrique, (1) On obtient le même résultat par le calcul différentiel ( Voyez le Bulletin de la Société Philomatique, année 1816, page 163). ་ cause de la formule connue : Lang. (a+b)= tang. atang. b 1 tang, a tang. b 'De l'Angle des tangentes réciproques en un point donnė d'une surface quelconque. 18. Supposons que les rayons de courbure de la surface au point donné soient connus et désignés par les lettres Ret r. On regardera ce point comme appartenant au cercle d'un ellipsoïde de révolution, dont le rayon est r, et dont l'el lipse méridienne a pour axes principaux 27 et 2 VRT. Le rayon de courbure de cette ellipse à l'extrémité de l'axe 2 r, sera (art. 15) égal à R. L'ellipsoïde sera (art. 14) osculateur de la surface au point donné, et tous les couples des tangentes réciproques seront parallèles à des couples de diamètres conjugués de l'ellipse méridienne. Or, en nommant 2 a et 2b les axes principaux d'une ellipse; Tet T', les tangentes trigonométriques des angles que deux diamètres conjugués d'une ellipse font avec l'axe 2b, on a (Traité des Surfaces du second degré)(1): TTb2 + a2 = 0. 2 (1) Voy., p. 255 de ce traité, les équations (1) et (2); elles donnent : a2 sin2 ß—b2 cos2 ß=f2 (cos2 a sin2 ß Substituant la valeur de ·sin2 a cos2 ß) Idem. g2 dans l'équation (4), on a : (a2 sin2 fb2 cos2 f) sin a cos a b2 cos2 a a2 sin2 a sin ß cos f=0, ou (a2 sin a sin ß+b2 cos a cos f) (cos a sin ß—sin a cos ß)= |