tres triangles rectangles MM'N, N M' m' par la droite

M' N, on a :

m'N M'm'. cos A; m' M=

M' m'

cos A

Les deux triangles semblables m' MC, m' N N' donnent

I

R

(A)

Cette équation === cos A mise sous la forme sui

vante, plus commode pour la construction géométrique, ne diffère pas de l'équation (4") (art. 5),

7. Nous venons de démontrer que le rayon de courbure de la section droite d'un cylindre en un point de cette section, est égal au produit de deux facteurs, l'un le rayon de courbure d'une autre section normale passant par le même point, et l'autre le carré du cosinus de l'angle que les plans des deux sections font entr'eux. Or, toutes les sections perpendiculaires à une droite d'une surface développable quelconque, sont de même courbure pour tous les points de la

droite, puisque cette droite est l'intersection des deux élémens plans consécutifs de la surface: donc on peut substi➡ tuer à la surface développable le cylindre qui a pour section droite le cercle osculateur de l'une quelconque des sections de la surface développable, dont le plan est perpendiculaire à la droite de cette surface. D'où il suit que pour un point quelconque d'une surface développable, le rayon de courbure de la section normale perpendiculaire à la droite qui passe par ce point, est égal au produit de deux facteurs, l'un le rayon de courbure d'une seconde section passant par la même normale que la première, et l'autre le carré du cosinus de l'angle que les plans des deux sections font entr'eux.

Puisqu'une surface développable a pour surface osculatrice suivant une droite, un cylindre droit à base cir

I

culaire, nous prouverons que l'équation ===

P r

cos A

a lieu pour ce cylindre, et on sera autorisé à conclure qu'elle a également lieu pour toute autre surface développable. Le cylindre droit à base circulaire est un cas particulier des surfaces du second degré, qui sont l'objet des articles suivans.

III.

Des Rayons de courbure des courbes du second degré aux sommets des axes principaux de ces courbes.

8. Construisons les rayons de courbure d'une ellipse aux sommets du grand et du petit axe.

1o. Du grand axe.

Soit (pl. 2, fig. 4) A.BE le demi-cercle base d'un cylindre droit; ABCD la section plane de ce cylindre qui

contient le diamètre A B du demi-cercle et l'axe OO". du cylindre. Un plan B F G conduit par la tangente au cercle au point B, perpendiculairement au plan du parallélogramme A B CD, coupe le cylindre suivant une ellipse BF G. L'ellipse et le cercle ayant même tangente, le centre de courbure de l'ellipse au point B, sommet du grand axe B F, sera, par le théorème de Meusnier, la projection b du centre O du cercle sur le plan de l'ellipse. Or, A B étant le petit axe de cette ellipse, et B F le grand axe, on a la proportion :

Ou faisant suivant l'usage BF2a, BA=2b, le rayon de courbure BbR,

a:bb: R=

b

2

expression connue.

a

2o. Construisons le rayon de courbure au sommet du petit axe.

Soit (fig. 5) A E B une demi-ellipse dont A O et OE sont les demi-axes principaux; OO' l'axe du cylindre droit qui a pour base l'ellipse; AB CD la section de ce cylindre dont le plan contient le petit axe A B de l'ellipse. Un plan B F G conduit par la tangente à l'ellipse au point B, perpendiculairement au plan du parallélogramme AB CD, coupe le cylindre suivant un cercle si la droite B F est double de O E. Or, par le théorême de Meusnier, la section normale BEA du cylindre, et la section oblique BFG, qui est un cercle dont le centre est en H, ont pour centres de courbure correspondans au point commun B, les points Het b situés sur une droite Hb perpendiculaire au plan de la section oblique : donc si

l'on compare les deux triangles ABF, Bb H, on aura AB: BF:: B H : B b, ou nommant:

AB2b, B F≈2 O E≈2 BH≈2a; BbR

expression de même forme que la précédente, et qui apprend que le rayon de courbure au sommet d'une ellipse ést égal au carré du demi-axe principal parallèle à la tangente qui correspond à ce sommet, divisé par le demi second axe principal.

Du Rayon de courbure de la parabole.

9. Soit (fig.6, pl. 2) un cône droit dont l'angle au sommet S est droit, et qui a pour côtés égaux les droites SC, S D. Un plan B A mené par le point B de l'axe S B perpendiculairement au côté S D du triangle isocèle CSD, coupe le cône suivant une parabole dont le centre de cour→ bure en A est (art. 5) le point B de l'axe. Nommons R le rayon de courbure A B pour ce point:

HP BC= B D = R V 1⁄2

Soit AP=x, on aura: PG — x VZ.
Donc :

(PR)2=y=HP × P G = R V 2 × x V 2 = 2 R x.

Ainsi l'équation d'une parabole étant y2px, et p son paramètre constant,

on a :

p = 2 R, ou R=P.

C'est-à-dire que le rayon de courbure de la parabole à son sommet est la moitié de son paramètre.

Du Rayon de courbure de l'hyperbole.

10. Soit un cône droit (fig.7, pl. 2) dont l'angle au sommet S a pour côtés égaux les droites S C, S D. Un plan AF perpendiculaire au plan du triangle CSD, coupe le cône droit suivant une hyperbole. La perpendiculaire A B au côté SD coupe l'axe du cône au point B, centre de courbure de la section normale A B; d'où il suit, d'après le théorême de Meusnier, que le point F de la droite C B D perpendiculaire à l'axe S B et au plan AF, est le centre de courbure de l'hyperbole au point A.

AP étant une abscisse de l'hyperbole comptée du sommet A, l'ordonnée correspondante P R est aussi celle du cercle construit sur HP G comme diamètre. Donc si l'on fait APx, on aura :

or HP=2(Pp+GP)—GP=2Pp+GP;