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est le point de contact des lignes qui en sont les projections. (Art. 4 )....

to. Un plan est déterminé de position à l'égard des plans coordonnés par ses traces. On nomme ainsi les deux droites qui sont les intersections de ces plans coordonnés et du plan donné.

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La position d'un plan est tout-à-fait indépendante des figures plus ou moins grandes qu'on peut tracer sur ce plan. Ainsi, pour obtenir ses traces sur les plans coordonnés, il faut le supposer prolongé indéfiniment dans tous les sens, et à moins qu'il ne soit parallèle à l'un des plans coordonnés, il les coupera tous deux suivant des droites qui se croiseront sur l'axe des coordonnées. Dans le cas du parallélisme, une seule trace sur le plan coordonné auquel il n'est pas parallèle, déterminera sa position; cette trace sera parallèle à l'axe des coordonnées. Dans le cas général, deux traces seront nécessaires pour déterminer un plan, et il est évident que par ces traces, qui com, prennent un angle dont le sommet est sur l'axe des coordonnées, on ne peut conduire qu'un seul plan, et que la position de ce plan est déterminée, dan od th pro. Or

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sur les plans coordonnés, des droites parallèles.

12. Ayant deux droites placées arbitrairement, et un plan quelconque mené par des parallèles à ces droites, ce plan est parallèle aux deux droites, et réciproquement ces droites sont parallèles au plan.

15. Lorsque deux plans P et Pse coupent, leur droite d'intersection passe par le point où les traces de ces plans Pet P' sur l'un des plans coordonnés, ou sur tout autre plan, se rencontrent; elle passe encore par le point où une droite prise à volonté sur l'un des deux plans Pet P', coupe l'autre plan. ...biq aob t

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14. Si une droite D rencontre un plan P, en même temps qu'un autre plan quelconque mené par la droite D coupe ce plan A suivant une seconde droite D, le point de rencontre de la droite D et du plan P, et le point d'intersection des deux droites D et D', coïncident.

15. Lorsqu'une droite Deest située sur l'un des plans coordonnés, le plan perpendiculaire à cette droite a pour trace sur le même plan coordonné, une seconde droite Do perpendiculaire à la première Dap toniq fare un

16. Lorsqu'une droite est perpendiculaire à un plan, les projections de la droite sont perpen

diculaires aux traces du plan. (Il est entendu que la droite et le plan sont rapportés aux mêmes plans coordonnés).

Pour démontrer cette proposition, désignons par D la droite perpendiculaire à un plan quelconque P; le plan P' conduit par cette droite Det par sa projection sur l'un des plans coordonnés, est perpendiculaire à ce plan coordonné et au plan P, puisqu'il passe par des droites perpendiculaires à ces plans; or, un plan perpendiculaire à deux autres plans est perpendiculaire à leur intersection commune ; donc la trace du plan P' sur le plan coordonné est (art. 15) perpendiculaire à la trace du plan P; mais cette trace du plan P' et la projection de la droite D coïncident( art. 3); d'où il suit que la projection d'une droite D sur l'un des plans coordonnés, est perpendiculaire à la trace d'un plan P perpendiculaire à cette droite.

17. Lorsqu'une droite est perpendiculaire à deux autres droites, elle est aussi perpendiculaire au plan qui est parallèle à ces dernieres droites.

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18. Les propositions précédentes, relatives à la ligne droite et au plan, renferment la théorie de la géométrie descriptive.En considérant cette géométrie comme un art graphique, dont toutes les opérations doivent s'exécuter avec la règle, et le compas, ces opérations comprennent d'abord celles qui sont nécessaires pour résoudre les problêmes de la géométrie élémentaire, relatifs à la ligne droite et au cercle tracés sur un plan. Dans tous les autres cas, même les plus composés, où l'on se sert à-la-fois de deux plans coordonnés ou de projections, il est très-remarquable que le nombre des constructions graphiques de la géométrie descriptive se réduit à deux, savoir: 1o construire la distance de deux points dont on a les projections; 2° construire le point de rencontre d'un plan qui passe par trois points donnés, et d'une droite menée par deux points -aussi donnés?

C'est ainsi que toutes les opérations sur les nombres se réduisent à la pratique des quatre règles connues de l'arithmétique.

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Des Surfaces courbes;des Lignes courbes.

§. II.

De la Génération des surfaces, de leur Définition.

19. Si l'on considère une surface comme le lieu d'une courbe mobile dont la forme est constante ou variable, la loi du mouvement de cette courbe détermine celle qui lie les points de la surface entre eux. On nomme la courbe mobile la génératrice de la surface.

En faisant mouvoir une surface d'une forme constante ou variable, l'enveloppe de l'espace qu'elle parcourt est une autre surface qu'on nomme surface enveloppe, et qui est le lieu des lignes d'intersections successives de la surface mobile. Chacune de ces lignes peut être considérée comme la génératrice de la surface enveloppe.

Une surface est définie lorsque, pour chacun de ses points, on peut assigner la ligne génératrice qui passe par ce point. Cette génératrice peut être donnée ou en relief, ou par ses projections. ( Art. 4. )

Les surfaces qu'on emploie le plus fréquem

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