THEOREME XVII.

1o. Les contours ou périmètres de deux polygones semblables, sont comme les côtés homologues; 2°. les surfaces sont comme les carrés de ces mêmes côtés. (Fig. 104).

1o. Puisqu'on a, par la définition de ces polygones, AB: FG BC: GH=CD: HI=DE : IKEA : KF, on conclura (Arith.):

=

AB+BC+CD+DE+EA: FG+GH+HI+ IK+KF AB: FG BC: GH: etc.

2°. Puisque les triangles ABC, FGH sont semblables, on a (théor. XII)

T. ABC:T,FGH=AB2 : FG2:

par la même raison,

T. ACD: T. FHI CD: HI AB: FG:

=

pareillement,

T.ADE: T. FIK = DE2: IK AB2: FG*.

=

Donc, à cause du rapport commun, on a cette suite de rapports égaux,

T. ABC: T. FGHT. ACD: T. FHI=T.ADE : T. FIK,

et conséquemment la somme des antécédens, c'est-àdire, la surface du premier polygone, est à la somme des conséquens, ou à la surface du second polygone, comme un antécédent quelconque, est à son conséquent, ou comme le carré d'un côté quelconque est au carré de son homologue.

THEOREME XVIII.

Si d'un point quelconque O, pris au dedans ou au dehors d'un polygone, on tire des diagonales à tous les angles de ce polygone, et que d'un point quelconque H pris sur la diagonale OA, on mène HI parallèle à AB, de I la parallèle IK à BC, de K la parallèle KL à CD, etc., le polygone HIKLMN sera semblable au polygone ABCDEF. (Fig. 105).

Par suite de cette construction, l'angle i=b, l'angle i=b', donc l'angle IB: on prouverait de même l'égalité des angles K et C, L et D, etc. D'ailleurs les triangles semblables OAB, OHI donnent

AB: HIOB: OI.

Les triangles semblables OBC, OIK donnent

BC: IK OB: OI

OC: OK.

On a de même

CD: KLOC: OK OD: OL

DE: LM OD: OL=OE: OM, etc.

A cause d'un rapport commun dans toutes ces proportions, on en conclut la suite de rapports égaux

AB: HI BC: IK = CD: KL=DE: LM, etc. Les deux polygones ayant tous les angles égaux et tous les côtés autour de ces angles proportionnels, sont semblables.

Remarque. De même que la coïncidence de deux figures prouve leur parfaite égalité, ainsi l'on conclura la similitude de deux figures, dès qu'il sera possible de leur assigner la position concentrique des deux polygones que nous venons de considérer. On a déduit de là la construction de l'instrument appelé pantographe, et qui sert à ré

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duire une grande figure à une plus petite qui lui soit semblable.

Remarque générale. On a vu qu'il existe par rapport aux triangles scalènes, trois caractères distincts d'égalité; et nous venons de reconnaître, par rapport aux mêmes triangles, trois caractères de similitude, en observant que le parallelisme et la perpendicularité des côtés reviennent immédiatement à l'égalité des angles, puisqu'en faisant faire à l'un des côtés perpendiculaires un quart de conversion, ces côtés deviennent parallèles.

CHAPITRE VIII.

Du carré de l'hypoténuse, et théorèmes analogues et dépendans.

THEOREME PREMIER.

Le carré fait sur l'hypotenuse d'un triangle rectangle, est égal à la somme des carrés faits sur les deux autres côtés de l'angle droit. (Fig. 106).

Soit A l'angle droit : ayant construit des carrés sur les trois côtés, abaissez de l'angle droit sur l'hypoténuse la perpendiculaire AD prolongée jusqu'en E, et tirez les lignes AF, HC, AG, BI: l'angle ABF est composé de l'angle ABC plus l'angle droit CBF; l'angle CBH est composé du même angle ABC plus l'angle droit ABH; donc l'angle ABF = HBC; mais AB BH comme côtés d'un même carré, et BF = BC par la même raison; donc les triangles ABF, HBC ont un angle égal compris entre côtés égaux, donc ils sont égaux. Or le triangle ABF est la moitié du rectangle BDEF qui a même base BF et même hauteur AO BD (VI. th. II);

le triangle HBC est pareillement la moitié du carré AH; car l'angle BAC étant droit ainsi que BAL, la ligne CAL est droite; d'où il résulte que le triangle HBC et le carré AH qui ont la base commune BH, ont aussi même hauteur CN=AB: donc le triangle est la moitié du carré. Ainsi le rectangle BDEF, double du triangle ABF, est équivalent au carré ABHL, double du triangle HBC.

On prouvera de même que le triangle AGC est égal au triangle IBC, que le premier triangle est la moitié du rectangle DEGC, et que le second est la moitié du carré ACIK: conséquemment la soinme des deux rectangles BDEF, DEGC, c'est-à-dire, le carré BG est égal à la somme des carrés AH, AI.

Corollaire I. Les surfaces des carrés BG, BL, CK sont BC, BA, CA (VI. théor. I, coroll.); donc BC2 = BA2 + CA2, propriété déjà obtenue ( VII. théor. X, coroll. I), et de laquelle on tire BA2— BC2 — CA2.

Corollaire II. soient ABCD un carré, AC sa diagonale. (Fig. 107): le triangle ABC étant rectangle et isocèle, on aura AC2 = AB2 + BC2 = 2AB2; donc le carré fait sur la diagonale AC d'un carré, est double du carré fait sur le côté.

Corollaire III. Le carré AH est équivalent au rectangle BE (Fig. 106), et comme ce rectangle et le carré BG ont la hauteur commune BF, on a

AB2: BC2 = BD: BC, ou BC' : A B2 = BC: BD, ainsi le carré construit sur l'hypoténuse, est au carré d'un des côtés de l'angle droit, comme l'hypotenuse est au segment adjacent ou correspondant au côté. On aurait de même

BC: AC BC: CD.

Corollaire IV. Les rectangles BE, CE de même hauteur (Fig. 106), sont entre eux comme leurs bases BD et DC; d'ailleurs ils sont équivalens aux carrés A B2 et AC2; donc

AB2: AC2 = BD: DC.

Donc les carrés des deux côtés de l'angle droit, sont entre eux comme les segmens de l'hypotenuse, correspondans à ces côtés.

Nous donnerons de cette importante proposition, due à Pythagore, une autre démonstration tirée des réciproques (*).

CI,

Soient toujours le triangle BACrectangle enA, et les trois carrés construits sur les trois côtés (Fig. 1.08): par les points B et C, menons BP, CP parallèles aux côtés AC, AB: ces lignes seront les prolongemens des côtés BH, et le triangle BPC ainsi construit, sera égal au triangle ABC. Des points G et F, abaissons sur CP et BP les perpendiculaires GQR, FRS: on formera de cette manière trois triangles QGC, RFG, SBF égaux chacun au triangle BCP, et le carré BCGF se composera de ces quatre triangles, et du carré PQRS. Prenons AO= AL= AB, et achevons le carré AOML, puis CN = AB, et par le point N menons ND parallèle à AK; enfin, prolongeons MO jusqu'à la rencontre de ND en E, et joignons NI et NM. La figure LCIKOM qui est la somme des carrés formés sur les côtés AC et AB, sera ainsi décomposée dans les quatre triangles LNM,

(*) Cet ouvrage, qui renferme la démonstration des propositions inverses de la Géométrie de M. Legendre, est suivi d'un recueil fort étendu de problèmes et théorèmes de géométrie: il se trouve chcz madame veuve Courcier.