qu'ils sont équiangles, puisque l'égalité des angles emporte la proportionnalité des côtés opposés; et comme de l'égalité de deux angles dans deux triangles, résulte celle des troisièmes angles, on peut dire encore que deux triangles sont semblables, lorsqu'ils ont deux angles égaux chacun à chacun.

THÉORÈME V.

Deux triangles qui ont les côtés homologues proportionnels, sont équiangles, et conséquemment semblables. (Fig. 92). Supposons que les deux triangles EDF, BAC soient tels qu'on ait

(1).

AB: DE AC: DF = CB: FE.... Si l'on prend AG = DE, AHDF, et qu'on tire GH, les deux premiers rapports deviendront AB: AGAC: AH,

d'où l'on conclura ( théor. III) que GH est parallèle à BC, et que le triangle AGH est semblable au triangle ABC: donc

AB: AG ou DE=BC: GH

mais AB DE = CB:FE

::

}

d'où GHFE.

Ainsi les deux triangles AGH, DEF sont égaux, et .comme le premier est semblable au triangle ABC, on doit conclure qu'il en est de même du second.

Remarque. Les côtés qui forment les deux termes de chaque rapport, dans la suite (1) de rapports égaux, sont précisément ceux qui se trouvent opposés aux angles égaux, dans les triangles BAC, EDF.

THEORÈME VI.

Deux triangles sont semblables, lorsqu'ils ont un angle égal compris entre côtés proportionnels. (Fig 92).

Soient dans les deux triangles ABC, DEF, l'angle ad, et la proportion

AB: ACDE: DF,

l'égalité des angles a et d permet de donner au triangle DEF la position AGH dans le triangle ABC, et alors on a la proportion

AB: AC AG: AH,

d'où l'on conclura que les deux lignes BC et GH sont parallèles, et qu'ainsi gbe, h=c=f: donc les triangles ABC, DEF sont équiangles et conséquemment semblables. (théor. IV, coroll. ).

Remarque. Si l'on suppose que les triangles ABC, DEF soient équiangles, ce qui est le cas du théorème IV, on pourra placer le triangle DEF en AGH, en prenant AG=DE, AH=DF, et supposant l'angle A=D, d'où l'on conclurait ch, et HG parallèle à CB, et conséquemment la proportionnalité des côtés.

Remarque générale. Le rapport constant des côtés est pour les triangles semblables, ce qu'est l'égalité des côtés pour les triangles parfaitement égaux; en sorte que si le rapport de deux côtés homologues dans deux triangles semblables, est un rapport d'égalité, la similitude de ces triangles se change en égalité, puisqu'alors les côtés sont égaux chacun à chacun; ainsi deux triangles qui ont les côtés proportionnels, ou un angle égal entre côtés proportionnels, deviendraient égaux, si deux côtés homologues devenaient égaux.

THÉORÈME VII.

Deux triangles qui ont les côtés homologues parallèles ou perpendiculaires chacun à chacun, sont semblables.

1o. (Fig. 93). Si le côté AB est parallèle à DE, BC à EF, CA à FD, on aura (II. théor. VII) ad, be; donc aussi c=ƒ; les deux triangles sont donc équiangles et conséquemment semblables.

Remarque. Il faut observer que les parallèles à CB et à

CA ne peuvent être EF' et DF", puisqu'il ne peut y avoir de triangle au-dessous de DE.

2o. (Fig.94). Soient le triangle ABC et un autre triangle A'B'C formé par les côtés B'A', C'B', A'C' perpendiculaires aux côtés BA, CB, AC; dans le quadrilatère FB′ GB, chacun des angles F et G étant droit, on a B+ FB'G 2¢ (III. théor. IV); mais FB'G-+A'B'C'=2d; donc B-A'B'C'. De même, dans le quadrilatère AFA'H, chacun des angles Fet Hest droit, donc A+FA'H=2d, mais FA'H+C'A'B' =2a; donc A=C′A'B': conséquemment l'angle C—A′C′B′; donc enfin les deux triangles sont équiangles et semblables.

Remarque générale. Dans le premier cas, les rapports égaux s'établissent entre les côtés parallèles, et dans le second, ils s'établissent entre les côtés perpendiculaires. On peut varier de plusieurs manières la position du triangle A'B'C'.

THEOREME VIII.

La ligne DB qui divise également l'angle ABC d'un triangle, divise la base AC en deux segmens AD et DC tels qu'on a la proportion AD: DC=BA: BC. (Fig. 95).

Prenons sur le côté BC > BA une partie BA'BA; les triangles ABD et DBA' seront égaux, comme ayant l'angle ABD = DBA', compris entre BABA', et le côté commun BD; mais les triangles BDA' et BDC ayant même sommet D et leurs bases en ligne droite, on a

BDA' ou ABD: BDCBA' ou BA: BC: ces deux proportions ayant le même premier rapport, les seconds rapports sont égaux ; c'est-à-dire qu'on a

THÉORÈME IX.

Les lignes AF, AG, etc., menées comme on voudra par le sommet d'un triangle, divisent la base BC et sa parallèle DE proportionnellement, c'est-à-dire qu'on a BF: DI=FG: IK=GH: KL=HC:LE. (Fig.96).

Les triangles semblables ABF, ADI donnent la proportion (théor. II)

BF: DIAF: AI.

Les triangles semblables AFG, AIK donnent

FG: IKAF: AI AG: AK.

Les triangles semblables AGH, AKL donnent

GH: KLAG: AKAH: AL.

Enfin les triangles semblables AHC, ALE donnent
HC: LEAH: AL.

Tous les premiers rapports sont égaux, parce que les seconds le sont, et ils forment la suite de rapports égaux 'énoncée.

Corollaire. Si les parties BF, FG, GH, HC sont égales, il en sera de même des parties DI, IK, KL, LE.

THEOREME X.

Si de l'angle droit d'un triangle rectangle, on abaisse la perpendiculaire AD sur l'hypotenuse, 1o. les deux triangles partiels A BD, ACD seront semblables entre eux et au triangle total ABC; 2o. chaque côté AB ou AC de l'angle droit, sera moyen proportionnel entre l'hypotenuse BC et le segment adjacent BD ou DC; 3o la perpendiculaire AD sera moyenne proportionnelle entre les deux segmens BD, DC de l'hypoténuse. (Fig. 97).

1°. Les triangles BAD, BAC sont semblables, comme ayant l'angle b commun et l'angle droit d == A : donc le troisième angle a est égal au troisième angle c: ces deux

triangles seront donc équiangles et semblables. On prou→ vera de même la similitude des triangles ADC, ABC, d'où il résulte que les trois triangles BAD, DAC, BAC sont semblables.

2o. Dans les triangles semblables BAD, BAC, on a la proportion

BD: AB=AB : BČ.......... (1).

Les triangles semblables DAC, BAC donnent celle-ci

DC: AC AC: BC.... (2).

Les triangles BAD, DAC, semblables à cause de l'angle a=c, et des angles droits d et d', d'où ba', fournissent la proportion

BD: AD AD: DC.... (3).

=

Corollaire I. Les proportions (1) et (2) donnent
AB BDX BC, AC DCX BC:

=

en ajoutant ces deux égalités, on trouve cette propriété remarquable

BC,

AB2+ ACBC (BD+ DC) BCX BC qu'on énonce ainsi (VI. théor. I, coroll.): le carré fait sur l'hypoténuse BC d'un triangle rectangle, est égal à la somme des carrés construits sur chacun des côtés AB, AC de l'angle droit.

Corollaire II. Si sur l'hypoténuse BC, on décrit une demi-circonférence, elle passera par le sommet A de l'angle droit (V. théor. II, coroll. I), et conséquemment on aura ces propriétés

1o. D'après (3), la perpendiculaire AD est moyenne proportionnelle entre les deux segmens BD, DC du diamètre;

2o. D'après (1) et (2), la corde AB est moyenne proportionnelle entre le diamètre BC et le segment adja