rayon, et ne feraient qu'une seule et même circonférence; d'ailleurs, deux circonférences ne peuvent se couper, si elles ont même centre et des rayons inégaux (théor. IV): il faut donc, pour que deux circonférences se coupent, qu'elles aient des centres différens, ou qu'elles soient excentriques.

*

Corollaire II. On peut donc toujours faire passer une circonférence par les trois sommets d'un triangle.

THÉORÈME VIII.

Dans un même cercle, ou dans des cercles égaux, 1o. une plus grande corde sous-tend un plus grand arc; 2°. réciproquement un plus grand arc est sous-tendu par une plus grande corde. ( Fig. 56 ).

Nous supposerons que les arcs dont il s'agit, soient moindres qu'une demi-circonférence.

1o. La corde CD étant > CB, l'angle COD sera > COB (I. théor. XXI), en sorte que si l'on plie le cercle suivant le diamètre CC', le côté OD se placera en OD' à droite de OB; donc l'arc CBD' qui est égal à l'arc CD, sera plus grand que l'arc CB.

2o. Réciproquement, soit l'arc CD > CB et prenons arc CD′ = arc CD, en sorte qu'on aura arc CD'arc CB si la corde CD' pouvait être plus petite que CB, l'arc CD' ou CD serait, contre l'hypothèse, plus petit que CB; si l'on pouvait avoir CD = CB, on aurait, contre l'hypothèse, arc CD' ou CD arc CB; donc la corde CD' ou CD_est corde CB.

THEOREME IX.

Dans un même cercle ou dans deux cercles de rayons égaux, 1o. deux cordes égales sont également éloignées du centre; 2°. de deux cordes inégales, la plus petite est la plus éloignée du centre.

1°. Les deux cordes BC, CD étant égales (Fig. 57), leurs moitiés seront égales; mais ces moitiés sont les segmens CP, Cp déterminés par les perpendiculaires OP, Op (théor. VI): donc les triangles rectangles OCP, OCp sont égaux (I. théor. XV ), et conséquemment les distances OP, Op sont égales.

2o. La corde CB étant la corde CD (Fig. 58 ), l'arc CB est l'arc CD ( théor. VIII), en sorte qu'en prenant l'arc Cb = arc CB, on aura arc Єb < arc CD, et la corde Cb < la corde CD. Du centre O abaissons les perpendiculaires Op, Op', OP sur les cordes CB, Cb, CD; on aura Op' > OM, et OM >OP (I. théor.XIII), donc Op' > OP; et à cause de Op' = Op, on aura aussi Op>OP.

THEOREME X.

Toute perpendiculaire à l'extrémité d'un rayon, est une tangente à la circonférence. ( Fig. 59).

Soit Tt une perpendiculaire à l'extrémité M du rayon OM; il s'agit de prouver que cette droite Tt n'a que le point M commun avec la circonférence (déf. X): en effet, toute oblique ON aussi voisine qu'on voudra de OM, est > OM (I. théor. XIII): conséquemment tout point N de la droite tT, autre que M, sera extérieur au cercle (déf. IV): ainsi cette droite n'aura que le point M commun avec la circonférence.

Remarque 1. On ne peut mener par M qu'une seule tangente; car, si on en pouvait mener une seconde

MT', comme elle ne serait plus perpendiculaire en M au rayon OM, ce rayon deviendrait une oblique par rapport à MT on pourrait donc du centre abaisser sur MT une perpendiculaire Op qui serait < OM; conséquemment le point p serait intérieur au cercle et la droite serait une sécante (déf. IX) et non plus une tangente.

Remarque II. La tangente MT étant perpendiculaire au rayon OM au point de tangence, réciproquement le rayon OM est perpendiculaire à MT; donc la perpendiculaire à une tangente au point de tangence, passe par le centre.

THEOREME XI.

Deux cordes parallèles interceptent des arcs égaux. ( Fig. 60).

Si du centre O on abaisse une perpendiculaire OH sur la corde MP, elle le sera sur sa parallèle NQ, et on aura ( théor. VI. cor. ) NH = QH, MH=PH; re tranchant la seconde égalité de la première, il restera NM=

QP.

re

Remarque. 1°. Si la corde MP devient la tangente M'P' en H, elle n'aura pas cessé d'être perpendiculaire à OH (théor. X), et conséquemment d'être parallèle à NQ; et on aura arc NH arc QH. 2°. Si la corde MP devient la tangente M"P" en h où le rayon HO prolongé rencontre la circonférence, on aura arc Nh =Qh: donc, en ajoutant ces deux égalités, on trouvera arc HNh arc HQh, chacun de ces arcs étant une demi-circonférence. ( théor. I).

THÉORÈME XII.

Lorsque deux cercles se coupent, la ligne qui joint les deux centres est perpendiculaire à la corde qui joint les deux intersections, et elle divise cette corde également. (Fig. 61 ).

Les centres O et C se trouvant à des distances égales des extrémités A et B de la corde AB, la ligne OC est perpendiculaire sur cette corde, et de plus elle l'est sur son milieu (I. théor. XIV. rem. I ).

Remarque. Lorsque les deux cercles se coupent, la distance OC des centres est plus petite que la somme des rayons OR + CR', condition qui cependant ne suffit pas pour que les deux cercles se coupent, puisqu'elle a visiblement lieu, lorsque la circonférence du centre C est intérieure à la circonférence du centre O ( Fig. 62); mais on a de plus, dans le premier cas, OR <OC +R'C, ce qui n'a plus lieu dans le second cas, puisqu'au contraire, OR>OC+R'C; si le cercle du centre C est extérieur au cercle du centre O (Fig. 63), la condition OR <OC+R'C a encore lieu, mais la première OC<OR + R'C n'a plus lieu; d'où il faut conclure que lorsqu'on a en même temps, la distance des centres plus petite que la somme des rayons, et le plus grand rayon moindre que le plus petit plus la distance des centres, les deux cercles se coupent.

THÉORÈME XIII.

1o. Si la distance des centres de deux cercles, est égale à la somme des rayons, les deux cercles se toucheront extérieurement; 2o. si la distance des centres est égale à la différence des rayons, les deux ccrcles se toucheront intérieurement.

1o. Les deux cercles auront le point R commun (Fig.64); mais ils n'auront que ce point; car, s'ils en avaient un

autre, ils se couperaient, et la distance des centres serait plus petite que la somme des rayons, ce qui est contre l'hypothèse. 2°. Ils auront encore le point R commun (Fig.65), et ils ne peuvent en avoir un autre ; car alors ils se couperaient, et le plus grand rayon serait moindre la distance des centres plus le petit rayon; d'où l'on conclurait la distance des centres plus grande que la différence des rayons, ce qui est encore contre l'hypothèse.

que

Corollaire I. Donc, si deux cercles se touchent, soit intérieurement, soit extérieurement, les centres et le point de contact sont sur la même ligne droite.

Corollaire II. Dans les deux cas du corollaire précédent, une perpendiculaire Tt à l'extrémité du rayon OR, ou du rayon CR, est tangente en même temps aux deux cercles; elle le serait encore à tous les cercles qui toucheraient le cercle de O en R, cercles dont les centres seraient sur la ligne OR.

THÉORÈME XIV.

1o. De deux sécantes menées d'un point hors d'un cercle à la partic convexe de la circonférence, la plus courte est celle dont le prolongement passe par le centre, et la plus longue celle qui s'écarte le plus de celle-là; 2°. de toutes les sécantes menées du même point à la partie concave, la plus longue est celle qui passe par le centre, et la plus courte celle qui s'en écarte le plus. (Fig.66).

Si du point A on conçoit au cercle deux tangentes At, At qui le touchent en t et t', l'arc t Bt présentera sa convexilé au point A, et l'arc tDt lui présentera sa concavité.

1o. Si l'on joint les points m et m' au centre C, on aura Am+mC > AC; et, en retranchant d'une part