droites, leur somme sera moindre que celle des deux Pag. ne peut THEOR. XII. D'un point hors d'une droite, on THEOR. XIV. Si par le milieu d'une droite, on élève une perpendiculaire sur cette droite, chaque point de la perpendiculaire est également distant des extrémités de la droite, et tout point pris hors de la perpendiculaire est inégalement distant de ces extrémités. Remarq. I et II. THEOR. XV. Deux triangles rectangles sont égaux, lorsqu'ils ont l'hypotenuse égale et un côté égal. Corollaire.. THEOR. XVI. Deux triangles sont égaux, lorsqu'ils ont les trois côtés égaux chacun à chacun. Corollaire, remar 13 14 que générale. THEOR. XVII. Dans tout triangle, l'angle extérieur, c'est-àdire, l'angle formé par un côté et le prolongement d'un antre, est plus grand que chacun des deux angles intérieurs adjacens au troisième côté du triangle. THEOR. XVIII. Si dans un triangle, on abaisse une perpendiculaire du sommet d'un des angles sur le côté opposé, cette perpendiculaire sera plus voisine du plus grand des deux autres angles que du plus petit. Corollaire, Remarque. THEOR. XIX. 1o. Dans un triangle isocèle, les angles opposés aux côtés égaux, sont égaux et réciproquement; 2o. dans un triangle équilatéral, les angles sont égaux. 15 THEOR. XX. 1o. De deux côtés d'un triangle, celui-là est le plus grand qui est opposé au plus grand angle ; 2°. de deux angles d'un triangle, celui-là est le plus grand qui est opposé au plus grand côté. Ib. ль. THEOR. XXI. Si deux côtés d'un triangle, sont respectivement égaux à deux côtés d'un autre triangle, et si d'ailleurs l'angle compris par les seconds, le troisième côté du du second.. CHAP. II. Des parallèles. Définitions. . Pag. 16 THEOR. I. Lorsque deux droites situées dans un même plan, sont telles que les angles que chacune d'elles fait avec une sécante, et du même côté de cette sécante, sont égaux, ces droites sont parallèles. THEOR. II. Par un point, on ne peut mener qu'une seule parallèle à une droite donnée. THEOR. III. Lorsque deux droites parallèles sont coupées par une troisième, les angles interne externe, ou correspondans, sont égaux. Remarque, corollaires I, II, III, IV et V. ... THEOR. IV. Deux droites perpendiculaires à une troisième, sont parallèles. THEOR. V. Deux droites parallèles à une troisième, sont parallèles. THÉOR. VI. Deux parallèles sont partout également distantes. THEOR. VII. Deux angles sont égaux, lorsqu'ils ont les deux côtés parallèles, et les ouvertures dirigées dans le même sens. Remarque. CHAP. III. Évaluation au moyen de l'angle droit, des angles internes et externes du triangle et des polygones; du nombre des diagonales dans ces figures et de quelques théorèmes sur les parallelogrammes. Définitions. THEOR. I. Dans tout triangle, l'angle extérieur est égal à la somme des deux angles intérieurs opposés. THEOR. II. La somme des trois angles d'un triangle, vaut celle 17 18 Ib. 19 20 Ib. 21 Ib. 22 de deux angles droits. Corollaires I, II, III, IV et V.. 23 ! THEOR. III. La somme de tous les angles extérieurs d'un polygone quelconque, est égale à celle de quatre angles 25 THEOR. IV. La somme des angles intérieurs d'un polygone, est égale à deux angles droits répétés autant de fois que le polygone a de côtés moins deux. Coroll. I et II. 24 PROBL. I. Connaissant le nombre des côtés d'un polygone, trouver celui de ses diagonales différentes. THEOR. V. Dans un parallelogramme, 1o. les angles dont les sommets sont aux extrémités d'une même diagonale, sont égaux entre eux; 2o. les côtés opposés sont égaux entre eux; 3°. les deux diagonales se partagent également.. THEOR. VI. Dans le carré et dans le losange, les deux diago nales sont perpendiculaires l'une à l'autre. THEOR. VII. Si les côtés opposés d'un quadrilatere, sont égaux entre eux, ces côtés sont parallèles, et le drilatère est un parallelogramme. qua 26 Ib. 27 THEOR. VIII. Si dans un quadrilatère deux côtés opposés sont égaux et parallèles, les deux autres côtés sont pareillement égaux et parallèles, et la figure est un parallelogramme. THEOR. IX. Deux parallelogrammes sont égaux, lorsqu'ils ont un angle égal compris entre deux côtés respectivement égaux. CHAP. IV. Du cercle. Définitions. Ib. Ib. THEOR. I. Tout diamètre divise le cercle et sa circonférence THEOR. II. Toute corde est plus petite que le diamètre. THEOR. IV. Deux circonférences décrites du même centre, avec des rayons inégaux, sont parallèles. Remarque. THEOR. V. Dans le même cercle, ou dans des cercles de rayons égaux, 1o. les arcs égaux sont soutendus par des cordes égales ; 2o. réciproquement les cordes égales 29 30 Ib. Ib. soutendent des arcs égaux. Coroll. Pag. 30 THEOR. VI. Dans tout cercle, la ligne menée du centre au milieu d'un arc soutendu par une corde, est perpendiculaire à cette corde, et la divise également. Coroll. 31 LEMME. Si sur chacune de deux droites non parallèles, on élève des perpendiculaires, ces perpendiculaires se ren contreront. THEOR. VII. Par trois points non en ligne droite, 1o. on peut toujours faire passer une circonférence de cercle; 32 2o. on n'en peut faire passer qu'une. Coroll. I et II. Ib. THEOR. VIII. Dans un même cercle ou dans des cercles égaux, 1o. une plus grande corde soutend un plus THEOR. IX. Dans un même cercle, ou dans deux cercles de 33 34 THEOR. X. Toute perpendiculaire à l'extrémité d'un rayon, est une tangente à la circonférence. Remarques I et II: Ib. THEOR. XI. Deux cordes parallèles interceptent des arcs égaux. Remarque. THEOR. XII. Lorsque 'deux cercles se coupent,, la ligne qui joint les deux centres, est perpendiculaire à la corde qui joint les deux intersections et elle divise cette corde également. Remarque dans laquelle on prouve que lorsque la distance des centres est plus petite que la somme des rayons, et qu'en même temps le plus grand rayon est moindre que le plus petit plus la distance des centres, les deux cercles sé coupent. THÉOR. XIII. 1o. Si la distance des centres de deux cercles, est égale à la somme des rayons, les deux cercles se toucheront extérieurement; 20. si la distance des centres est égale à la différence des rayons, les deux cercles se toucheront intérieurement. Coroll. I et II. THÉOR. XIV. 1o. De deux sécante sécantes menées d'un point hors d'un cercle, à la partie convexe de la circonférence, la plus courte est celle dont le prolongement passe par le 35 36 Ib. centre, et la plus longue, celle qui s'écarte le plus de point à la partie concave, la plus longue est celle qui passe par le centre, et la plus courte celle qui s'en Pag. 37 CHAP. V. De la mesure des angles. Définitions et notions. THEOR. I. Deux angles au centre dans le même cercle ou dans des cercles égaux, sont toujours dans le rapport des arcs décrits de leurs sommets, comme centres, et compris entre leurs côtés et réciproquement. Rem. THEOR. II. Tout angle inscrit a pour mesure la moitié de l'arc compris entre ses côtés. Remarque, corollaires I, II, III et IV. THEOR. III. Tout angle qui a son sommet entre le centre et la circonférence, a pour mesure la moitié de l'arc compris entre ses côtés, plus la moitié de l'arc compris entre leurs prolongemens. 38 41 43 45 44 THEOR. IV. L'angle formé par deux sécantes a pour mesure la moitié de l'arc concave, moins la moitié de l'arc convexe, ces arcs étant compris entre les sécantes.. THEOR. V. L'angle formé par une tangente et une corde a pour mesure la moitié de l'arc soutendu par la corde. . Ib. THEOR. VI. L'angle formé par une sécante et une tangente, a pour mesure la moitié de l'arc concave, compris entre le point de tangence et la sécante, moins la moitié de l'arc convexe compris entre les mêmes points. . 46 THEOR. VII. L'angle formé par deux tangentes, a pour mesure la moitié de l'arc concave entre les points de tangence, moins la moitié de l'arc convexe entre les mêmes points. CHAP. VI. Mesure des surfaces. Définitions et notions. THEOR. 1. L'aire d'un rectangle est égal au produit de sa base Ib. 46 et 47 THEOR. II. L'aire d'un triangle est la moitié de celle d'un par sa hauteur. Coroll, |