angles triedres seront égaux dans les pyramides qui seront semblables (théor. I). THÉORÈME III. 1o. Deux pyramides polygonales semblables, peuvent toujours se décomposer en un même nombre de pyramides triangulaires semblables et disposées dans le même ordre; et 20. réciproquement, deux pyramides composées d'un même nombre de pyramides triangulaires semblables arrangées de la même manière dans chacune, sont semblables. (Fig. 208). 1°. Soient SABCDE, sabcde deux pyramides pentagonales semblables, et dont les bases ont conséquemment le même nombre de côtés : si par les sommets A et a de deux angles égaux dans les deux bases, on mène des diagonales AC, AD, ac, ad, et que par les sommets S et s et par ces diagonales on fasse passer des plans, on décomposera chaque pyramide en autant de pyramides triangulaires qu'il y a de triangles dans la base; or il résulte de la similitude des deux pyramides totales, que l'angle triedre Bb, et que SB: sb = BA: ba BC: bc; d'où l'on conclura (théor. II, rem. I) la similitude des pyramides triangulaires SABC, sabc, ainsi que l'égalité des portions des angles triedres en S et s, comprises dans ces deux pyramides; mais puisque l'angle trïèdre total C = c, et que l'angle triedre C entre les trois faces SCA, SCB, BCA est égal à son correspondant entre les trois faces sca, scb, bca, on aura encore l'angle triedre C entre les trois faces SCD, SCA, ACD égal à l'angle trïèdre c correspondant; de plus on a la suite de rapports égaux SC : sc CA: ca= CD: cd; par conséquent la pyramide partielle SACD est semblable à la pyramide sacd (théor. II, rem. I). En continuant de la même manière, on prouverait la similitude des autres pyramides partielles. C'est ainsi qu'à l'égard de deux polygones semblables, on a démontré qu'ils étaient décomposables en un même nombre de triangles semblables et semblablement arrangés (VII. th. XVI). 2o. Il s'agit de prouver que les angles polyèdres sont respectivement égaux, et que les faces homologues sont proportionnelles. Or l'égalité des angles polyèdres est évidente, puisque ces angles sont composés des angles trièdres égaux des pyramides triangulaires. Quant à la similitude des faces, elle est aussi évidente, puisque des angles triedres égaux ont leurs angles linéaires égaux, d'où résulte la similitude des faces. Remarque I. Lorsque l'on coupe une pyramide SABCDE par un plan d'b'c'd'é parallèle à sa base [ Fig. 208 (a)], on en détache une pyramide dont tous les angles triedres sont égaux, parce qu'ils sont formés d'angles linéaires égaux, et dont les faces sont semblables à celles de la première pyramide on en conclura donc que deux pyramides polygonales sont semblables, lorsqu'elles ont l'angle polyèdre du sommet, égal de part et d'autre, et les faces autour de cet angle, semblables, ou les arétes qui aboutissent à cet angle, proportionnelles. Remarque II. On déduira bien facilement de ce qui précède que deux pyramides polygonales sont encore semblables, lorsque leurs angles polyedres, en même nombre, sont respectivement égaux; lorsqu'elles ont le même nombre de faces semblables et semblablement disposées, ou enfin, lorsque les angles trïèdres des bases, en même nombre, dans les deux pyramides, sont respectivement égaux. THÉORÈME IV. 1o. Deux prismes triangulaires semblables sont composés d'un même nombre de pyramides semblables, et semblablement disposés ; 2°. réciproquement deux prismes composés d'un même nombre de pyramides semblables, et semblablement disposées, sont semblables. (Fig. 209). 1o. Si nous menons un plan par les points D, A, C, et un autre par les points D, A, E, nous décomposerons le prisme AE en trois pyramides triangulaires DABC, DAFE, DACE, la lettre du sommet étant toujours la première : et en operant de la même manière sur le prisme ae, nous le décomposerons en trois pyramides aussi triangulaires dabc, dafe, dace; il s'agit done de démontrer la similitude de ces pyramides: Considérons les pyramides homologues DABC, dabc: les faces DAB et dab, DBC et dbc, ABC et abc, étant semblables, d'après la similitude des prismes, il reste à demontrer la similitude des faces DAC, dac: or les triangles ABC et abc, ABD et abd, BDC et bdc étant semblables, on a AC : ac AB : ab AD: ad; AC: DC: dc: donc AC: ac donc les pyramides partielles DABC et dabc sont semblables. On démontrerait de même la similitude des pyramides DAEF, daef, et celle des pyramides DACE, dace. 2o. On a d'abord l'angle triedre B b, d'où on conclut ABD = abd, DBC = dbc, ABC abc; et de plus, d'après la similitude des deux pyramides DABC, dabc, on a AB: ab BC: bc AC ; ac BD: bd 226 la similitude des pyramides DAFE, dafe, donne DA: da DF: df = DE: de=FE: fe= et de la similitude des pyramides DACE, dace, on deduit DA: da DE: de 1 DC: dc AE: ae — EC: ec= པ་ ། ། Or les deux triangles ABD et abd ayant un angle ABD abd entre deux côtés proportionnels (1), et les deux triangles ADF et adf ayant leurs trois côtés proportionnels (2), la face ABDF est semblable à la face abdf. (VII. theor. XVI, 2°): on conclurait de la même manière la similitude des faces BCED, bced; d'ailleurs les triangles ABC, abc ont aussi un angle égal ABC= abc entre côtés proportionnels (1), et il en est de même des triangles FDE, fde, parce que les deux bases d'un prisme sont égales: ainsi les deux prismes ont toutes leurs faces homologues semblables et semblablement disposées, d'où résulte l'égalité des angles linéaires qui forment les angles triedrės, et conséquemment celle de ces angles. Ces deux prismes ayant les angles triedres égaux, et les faces homologues proportionnelles, sont semblables (déf. I). 2 1 t THÉORÈME V. 1o. Deux prismes quelconques semblables sont composés d'un même nombre de pyramides semblables et semblablement disposées; 2o. réciproquement, deux prismes composés d'un même nombre de pyramides semblables, et semblablement disposées, sont semblables. (Fig. 210). 1o. Soient les prismes semblables ABCDEFGHIK, abcdefghik: si on mène les diagonales BE, BD, HG, HK; be, bd, hg, hk, les plans BEGH, BDKH; begh, bdkh diviseront ces deux prismes en autant de prismes triangulaires homologues qu'il y a de côtés moins deux dans chaque base. D'abord les prismes ABEFHG, abefhg, ainsi que les prismes BCDHIK, bcdhik étant composés chacun de deux faces latérales homologues des deux prismes donnés, et leurs bases étant des triangles homologues des bases des mêmes prismes, seront semblables, si les troisièmes faces BEGH et begh, BDKH et bdkh sont semblables, parce qu'alors les faces semblables, étant disposées de la même manière, les angles triedres deviendront égaux. Menons les diagonales BG et ég: comme les triangles BEA et bea, ainsi que les faces AG, ag sont semblables, on a une suite de rapports égaux, qui comprend la proportion BE: be EG: eg; si l'on ⇒ transporte le second prisme sur le premier, de manière que le point e tombe en E, que le côté ea tombe suivant EA et ed suivant ED, ce qui est possible, puisque les angles trièdres E et e sont égaux, l'arête eg tombera sur EG, et comme les triangles AEB, deb sont semblables, la diagonale e b suivra la direction EB; d'où l'on conclut l'égalité des angles beg, BEG, et par conséquent la similitude des faces beg, BEG; ainsi que {: ༢ |