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in der Bildebene liegender Durchmesser DE ist daher senkrecht zu zu ziehen. DE trifft TT, in F auf AB; folglich stellt DE auf FC den Grundrißschatten von DE dar, wenn DD und EE parallel zul sind. Der zu DE senkrechte Durchmesser (GH) von v liegt in der Sehstrahlenebene durch und zwar normal zu (7); sein Bild GH und das seines Grundrißschattens GH liegen auf I selhst. DE und GH bilden die Achsen der Ellipse v; DE und GH sind konju

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Hi

C.

Fig. 533.

gierte Durchmesser der Ellipse v, d. i. des Bildes der Schlagschattengrenze in П,. Um GH zu bestimmen, legt man die Sehstrahlenebene durch um 7 in die Bildebene nieder; hierbei kommt C in die Lage C, wenn CC (CT) und ist. Es besteht aber die Proportion:

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(CTT): (OTT) = CL': OL',

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denn L' ist die Bildspur der Geraden (') = (OC4). Man findet (0П) als die Kathete OQ des rechtwinkligen Dreiecks OPQ, dessen Hypotenuse PQ PO, ist; hierauf zeichnet man OR OQ und CC, beide senkrecht zu 1, und findet C auf L'R. Sodann wird senkrecht zum umgelegten Lichtstrahl 7° CC der Radius CG von u gezogen; dies ist die Umlegung von (CG). Liegt G auf CL so, daß GG CC, so ist CG der umgelegte Grundrißschatten von (CG). Projiziert man jetzt Go und G° senkrecht auf 1, so ergeben sich die gesuchten Punkte G und G und daraus H und H. Schließlich sind die Ellipsen und in bekannter Weise zu zeichnen. v v *

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0

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856. Achsenbild Oxyz und Spurendreieck ABC seien wiederum gegeben. Auf der Grundrißebene П, ruht ein gerader Kreiscylinder C; er berührt П, längs der Mantellinie (OF), die mit der z-Achse zusammenfällt; die eine seiner beiden ebenen Endflächen liegt in П,, die andere dazu parallel. Neben dem Cylinder steht auf der Seite des Beschauers ein gerader Kreiskegel ; sein

Grundkreis in П, ist (k), (K) dessen Centrum, und (S) die Kegelspitze. Cylinder und Kegel, sowie die Grenzen ihrer Eigenund Schlagschatten sollen dargestellt werden (Fig. 534).

3

Es werde zuerst die Ebene П, um ihre Spur BC in die Bildebene umgelegt. 0, sei die Umlegung des Ursprungs (0, auf x, L BOCR). Das Centrum M des mit TT, umgelegten Endkreises von C wählen wir auf der umgelegten z-Achse OC und zeichnen ihn mit dem Radius MO; NO, und PQ, seien rechtwinklige Durchmesser. Das Bild des genannten Endkreises ist eine zum umgelegten Kreise affine Ellipse; BC ist die Affinitätsachse, 0, und O sind affine Punkte und die Affinitätsstrahlen laufen parallel zu r (BC); somit

ist die große Achse der Ellipse parallel zu BC und gleich dem Kreisdurchmesser. Den genannten rechtwinkligen Durchmessern des Kreises entsprechen konjugierte Durchmesser der Ellipse, nämlich NO auf z und PQy. Durch M, führt der Strahl a = MD, das Bild der Cylinderachse, parallel zu x. Die gleichgerichteten Tangenten des Kreises stellen die Umrißmantellinien des Cylinders dar. Der andere Endkreis wird als eine zur vorigen kongruente Ellipse abgebildet; D, senkrecht über F, ist ihr Mittelpunkt; EF NO und GH PQ sind wieder konjugierte Durchmesser. Wir denken uns die Richtung der Lichtstrahlen durch die ihrer Bilder, bezw. Grundrißbilder, also durch und gegeben und leiten daraus das Bild 7"" des Seitenrisses ab. Geht "" durch M, "" durch M, und treffen sich beide auf BC, so ist "" der umgelegte Seitenriß eines Lichtstrahles, der die Cylinderachse schneidet. Die zu "" parallelen Tangenten des Kreises (NPOQ) bilden die dritten Spuren der beiden Lichtstrahlenebenen, die den Cylindermantel berühren; ihre Berührungslinien bilden die Grenze seines Eigenschattens und ihre ersten Spuren die seines Schlagschattens auf П. Die Bilder jener Mantellinien sind (r) durch die Berührungspunkte auf dem Kreise NP... zu ziehen; die Bilder ihrer Grundrißschatten treffen sich auf y mit den zu 7"" parallelen Tangenten der Ellipse NPOQ. Ist DD und FD✩||l', liegt ferner E auf FD so, daß EE ist, und zieht man GDHGDII, so stellt die Ellipse mit dem Mittelpunkte D und den konjugierten Durchmesser EF, G H den Grundrißschatten des Endkreises (EGFH) dar.

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0 0

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Es werde zweitens die Ebene П, um ≤В in П umgelegt; 0o sei die Umlegung des Ursprungs (0° auf z, ▲ 40°BR). Wir nehmen in der Umlegung den ersten Spurpunkt K° der Kegelachse und seinen Grundkreis k° an; ihre Bilder K und k sind dann hierzu affin; AB ist die Affinitätsachse, 0° und O affine Punkte. Die Ellipse k kann mit Hilfe ihrer Achsen gezeichnet werden, die parallel, resp. senkrecht zu AB liegen. Senkrecht über ihrem Centrum K werde das Bild S der Kegelspitze gewählt. Entsprechen sich S° und S durch die eben benutzte Affinität, so gilt das Gleiche von den aus. diesen Punkten an k° und k gelegten Tangentenpaaren; letzteres bildet den scheinbaren Umriß des Kegelmantels. Sind SS und KS parallel zu 7 resp. l', so ist S, das Bild des Grundrißschattens von S. Die Polare JL von S in Bezug auf k wird leicht mit Hilfe des affinen Kreises k° bestimmt. Die Geraden SJ und SL stellen dann die Grenze des Eigenschattens auf dem Kegel, SJ und SL die Grenze seines Schlagschattens auf П, dar.

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Der Kegel erzeugt Schlagschatten auf dem Cylinder. Die beiden Lichtebenen (SJS) und (SLS) schneiden nämlich den Cylindermantel in zwei Ellipsen. Der Schlagschatten wird von Stücken derselben begrenzt, die in dem gemeinsamen Punkte (R) auf (SS) beginnen und auf der sichtbaren Eigenschattengrenze des Cylinders endigen. In den Grundrißschatten der Endpunkte treffen sich die Schattengrenzen vom Cylinder und Kegel. Was die Bilder jener Ellipsen betrifft, so gehen zwei ihrer Durchmesser von und W aus, schneiden sich auf SS in U, bestimmen auf MD die Mittelpunkte und endigen auf NE (T = KS × OF, U = SS × TU, TU|| z, V = JS × OF, W= LS × OF). Die konjugierten Durchmesser sind parallel zu den Tangenten JS, und LS in V und W resp., ihre Endpunkte liegen auf PG und QH. Um R zu finden, ziehe man durch S eine Parallele zu r, durch ihren Schnittpunkt mit eine Parallele zu "", durch deren Schnittpunkt mit dem Ellipsenbogen NP wieder eine Parallele zu r; letztere trifft SS in R.

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FÜNFZEHNTES KAPITEL.

Freie Perspektive.

Perspektive Darstellung von Ebene, Gerade und Punkt.

857. Zur perspektiven Darstellung oder Centralprojektion eines räumlichen Gegenstandes bedarf man eines festen Punktes, des Augpunktes, und einer festen Ebene, der Bildebene, deren Lage zum Gegenstand gegeben ist. Indem man vom Augpunkte nach allen Punkten des Objektes Strahlen zieht, erhält man in ihren Schnittpunkten mit der Bildebene die Bilder dieser Punkte; die Gesamtheit dieser Bildpunkte macht das Bild des Objektes aus. Es ist sofort ersichtlich, daß hierbei jedem Raumpunkt ein bestimmter Bildpunkt zukommt, daß aber jeder Punkt der Bildebene noch unendlich vielen Punkten des Raumes als Bild zugehört, nämlich allen Punkten des Strahles, der den Punkt der Bildebene mit dem Augpunkte verbindet. Ein Raumpunkt ist somit durch sein perspektives

Bild noch nicht bestimmt. Wir werden weiterhin sehen, wie seine räumliche Lage fixiert werden kann.

Die Lage des Augpunktes oder des Centrums der Perspektive gegen die Bildebene wird in der folgenden Weise bestimmt. Vom Augpunkte, der stets mit O bezeichnet werden soll, fälle man ein Lot auf die Bildebene; sein Fußpunkt 4 heißt der Hauptpunkt, seine Länge OA die Distanz. Sind Hauptpunkt und Größe und Richtung der Distanz bekannt, so kennt man auch die Lage des Augpunktes auf der einen oder anderen Seite der Bildebene. Um als Mittelpunkt zieht man einen Kreis, den Distanzkreis d, dessen Radius gleich der Distanz ist.

Die Lage des Objektes gegen die Bildebene ist für die Gestalt des Bildes von wesentlicher Bedeutung. Wird Auge und Objekt festgehalten und nur die Lage der Bildebene geändert, so sind die betreffenden Bilder perspektive ebene Figuren (176). Verschiebt man die Bildebene parallel zu sich selbst, so erleidet die in ihr liegende Bildfigur eine ähnliche Vergrößerung oder Verkleinerung.

858. Die Bildebene teilt den Raum in zwei Teile, von denen der eine den Augpunkt enthält. Von diesem Teile wollen wir sagen, er liege vor der Bildebene, während wir von dem anderen Teil sagen, daß er hinter der Bildebene liege. Die Lage der Bildebene wird fast immer so gewählt, daß das darzustellende Objekt hinter ihr gelegen ist. Wir haben im ganzen dreierlei Raumpunkte zu unterscheiden. Erstens: Punkte hinter der Bildebene; ihre Bilder liegen zwischen ihnen und dem Auge. Zweitens: Punkte vor der Bildebene, die ihr näher liegen als das Auge; ihre Bilder liegen vom Augpunkt in der gleichen Richtung wie sie selbst, aber in größerer Entfernung wie diese. Drittens: Punkte vor der Bildebene, deren Abstand von ihr größer ist als die Distanz; ihre Bilder liegen vom Augpunkt aus in der entgegengesetzten Richtung wie sie selbst, d. h. der Augpunkt trennt den Raumpunkt und sein Bild. In dem dritten Fall nennt man das Bild virtuell nach einer gebräuchlichen Bezeichnungsweise der Optik, da hier nicht der Sehstrahl aus dem Auge nach dem Raumpunkt, sondern seine Verlängerung rückwärts über das Auge hinaus die Bildebene trifft. In den beiden ersten Fällen heißt das Bild reell. Der Gegenstand, dessen Bild wir entwerfen wollen, muß natürlich eine derartige Lage zur Bildebene und zum Auge einnehmen, daß sein Bild reell wird. Trotzdem sind öfters auch virtuelle Bilder von Punkten, Geraden u. s. w. zu konstruieren, die als Hilfselemente dienen; für