Schneidet nämlich eine Gerade die Fläche in n Punkten, so geht durch jeden eine Erzeugende derselben, diese Erzeugenden bestimmen. mit jener Geraden n Ebenen, welche die Fläche in den zugehörigen Punkten von g berühren. Andere Tangentialebenen durch g giebt es nicht, da jede eine Erzeugende enthalten muß.

Jede Erzeugende trifft die Doppelkurve in n-2 Punkten; denn eine Ebene durch sie schneidet die Fläche noch in einer Kurve (n-1). Ordnung, und von den n-1 Schnittpunkten der Kurve mit der Erzeugenden stellt einer den Berührungspunkt der Ebene dar, während die übrigen n-2 Punkte der Doppelkurve angehören.

C1

n.

727. Sind die drei Leitkurven c1, c. c, einer Regelfläche beziehentlich von der ., . und 2. Ordnung, so ist die Regelfläche von der 2n,n,n,. Ordnung und die Leitkurven sind vielfache Kurven beziehentlich von der nn, nn und nn. Ordnung. Dabei ist vorausgesetzt, daß sich die Leitkurven nicht gegenseitig schneiden. Zum Beweis gehen wir von einem Hyperboloid mit den Leitgeraden 91 92 93 aus; die Kurve c, schneidet dasselbe in 2c, Punkten, d. h. 91 92 93 und e haben 2n, gemeinsame Sekanten. Deshalb ist die Regelfläche mit den Leitlinien c1, 92, 93 von der 2n,. Ordnung, denn sie schneidet die beliebige Gerade g, in 2n, Punkten. Diese Regelfläche schneidet. c2 in 2n12 Punkten, so daß c. C, 92 93 zusammen 2nn, Sekanten aufweisen; deshalb ist die Regelfläche mit den Leitlinien c,1, C2, 93 von der 2nn. Ordnung, da sie die beliebige Gerade 92 in 2,72 Punkten schneidet. Die letztgenannte Regelfläche trifft c, in 2n12ng Punkten, die vier Kurven c1, C2, C3, 93 haben also 2n, n2n, gemeinsame Sekanten, so daß die Regelfläche mit den drei gegebenen Leitkurven c, c, C3 den Grad 2n,n,ng besitzt. Durch jeden Punkt von c1 gehen nn, Erzeugende, es sind die gemeinsamen Mantellinien der Kegelflächen durch c2 resp. c, mit dem gemeinsamen Scheitel auf c.

Haben die Leitkurven C2 und C3 einen Punkt gemein, so ist er der Scheitel eines Kegels n. Ordnung mit c, als Leitkurve; seine Mantellinien sind ebenfalls gemeinsame Sekanten der drei Kurven C1 C2 C3. Sehen wir von dieser Kegelfläche ab, so ist die eigentliche Regelfläche mit den Leitkurven c. c. c, nur noch von der Ordnung (2nnnn); c1 ist nur noch vielfache Kurve von der Ordnung (n,, -1). Man erkennt hieraus die Wirkung jedes gemeinsamen Punktes zweier Leitkurven auf die Reduktion der Ordnung.

Als Beispiel mag das Hyperboloid dienen; drei Kegelschnitte k1, ką, ką, die sich zu zwei und zwei je zweimal schneiden, können

als Leitkurven benutzt werden. Die gemeinsamen Sekanten der drei Kegelschnitte bilden eine Fläche 16. Ordnung, zu der auch sechs Kegelflächen 2. Ordnung gehören, so daß die eigentliche Regelfläche nur noch von der 4. Ordnung ist. Es ist diese Fläche nichts. anderes, als das doppelt gezählte Hyperboloid, das einmal von den Erzeugenden der einen Schar und einmal von denen der andern Schar gebildet wird.

€2

Die Regelfläche mit den Leitkurven c1, c2, c weist auf jeder dieser Kurven eine Anzahl Kuspidalpunkte auf. Die Kuspidalpunkte auf c, werden durch die abwickelbare Fläche mit den LeitC1 kurven c, und c, ausgeschnitten. C3 Denn ist P ein solcher Punkt, e die Erzeugende der abwickelbaren Fläche durch ihn und sind Q und Q ihre Schnittpunkte mit c2 und c; dann berührt die Tangentialebene längs e die beiden Kurven C2 und C3 in diesen Punkten. Es giebt also durch P zwei unendlich nahe gemeinsame Sekanten von c, und c, da die Kegel aus P durch c, resp. c, sich längs e berühren.

C2

Wir wollen nun zur Behandlung einzelner Regelflächen übergehen.

728. Das Konoid, Umriß und Eigenschatten. Besitzt eine Regelfläche außer einer Leitcurve e noch eine Leitgerade g im Endlichen und eine unendlich ferne Leitgerade, so heißt sie Konoid. Die Erzeugenden des Konoides sind die gemeinsamen Sekanten von g und c, die einer bestimmten Ebene, der Richte bene parallel sind; e ist eine einfache Kurve der Fläche. An die Stelle der Leitkurve e kann auch eine Leitfläche treten. Man unterscheidet gerade und schiefe Konoide, je nachdem g auf der Richtebene senkrecht steht oder nicht.

Da hier alle asymptotischen Ebenen der Richtebene parallel sind, so stehen die Tangentialebenen in den Centralpunkten der einzelnen Erzeugenden auf derselben senkrecht. Die Striktionslinie der Ort der Centralpunkte fällt sonach mit dem scheinbaren Umriß zusammen, der sich bei senkrechter Projektion auf die Richtebene ergiebt. Die Tangentialebenen an e parallel zur Richtebene schneiden in den Kuspidalpunkten; ebenso schneiden die Tangentialebenen an e durch g die unendlich ferne Leitgerade in Kuspidalpunkten; die zugehörigen Erzeugenden sind Torsallinien der Fläche.

Um Punkte des Umrisses oder der Eigenschattengrenze zu erhalten, bestimmt man auf jeder Erzeugenden den Berührungspunkt der durch sie parallel zur Projektions- oder Lichtrichtung gelegten Ebene. Diese Bestimmung geschieht mit Hilfe eines Paraboloides,

==

das die Regelfläche längs der betreffenden Erzeugenden berührt; jene Ebene berührt beide Flächen in dem nämlichen Punkte. Führt man das Paraboloid ein, welches das Konoid längs einer Erzeugenden e oskuliert, so gehen die scheinbaren Umrisse beider Flächen durch den nämlichen Punkt von e und berühren sich daselbst; auch ihre Lichtgrenzen berühren sich in einem Punkt von e.

729. Das gerade Kreiskonoid, seine Tangentialebenen, das oskulierende Paraboloid (Fig. 466). Wir nehmen seine

Richtebene horizontal, seine Leitgerade g

eine Doppelgerade der Fläche also vertikal und auch die Ebene seines Leitkreises k möge vertikal gestellt sein. Diese machen wir zur Aufrißebene П, g" möge k in A und A, schneiden, B und B, seien die Punkte. von k mit horizontaler, C und C, die mit vertikaler Tangente. Die

27

3

-Achse möge k in B1 berühren; außerdem benutzen wir noch eine Horizontalebene П, durch den Mittelpunkt M von k. Das Konoid soll nicht in seiner unendlichen Ausdehnung, sondern es soll nur sein zwischen g und k liegender Teil dargestellt werden. Die Erzeugenden durch C und C, sind Torsallinien der Fläche; längs derselben wird sie von Vertikalebenen berührt, also gehören GC' und GC dem Umriß in П, an (G erster Spurpunkt von g). Ebenso sind die Erzeugenden durch B und B, Torsallinien; längs derselben wird die Fläche von Horizontalebenen berührt, also gehören BH" und BG" dem Umriß in П, an (II" = g′′ × BH", BII" || x).

2

Die Parallelebenen zu TT, schneiden das Konoid in Ellipsen, deren Aufrisse zu k affin sind, wobei g" die Affinitätsachse bildet. Ist nämlich d, die erste Spur einer solchen Ebene, s ihre Schnittkurve, und trifft eine beliebige Erzeugende e die Kurven k, s und bezüglich in den Punkten E, P und D (D'=G, ED" || x, P'=d, x GE), so ist P"D":ED" P'G:EG eine konstante, von der Wahl der Erzeugenden unabhängige Größe, nämlich gleich dem Verhältniß der Abstände der Parallelen d, und r von G. Das beweist aber das Gesagte; zugleich folgt daraus, daß die Tangenten von k in E und von s" in P" sich in einem Punkte K" von g" schneiden.

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2

3

3

Die Erzeugende durch P und die Tangente von s in P liegen in der Tangentialebene von P, ihre Spurlinie JF in П, ist parallel zu E'G und geht durch den in П, liegenden Spurpunkt J der Tangente von s (y = π2 × П3, J" = K"P" × y, J'F' GE'). Man kann || die Tangente von s in P auch durch folgende Überlegung gewinnen. Alle horizontalen Geraden, die g und die im Punkte E an den Kreis gelegte Tangente treffen, liegen auf einem Paraboloide, das die Regelfläche längs der Erzeugenden DE berührt; zu diesen horizontalen Geraden gehört auch die in K" auf П, senkrechte Gerade. Die andere Schar von Erzeugenden des Paraboloides sind zu П2 parallel, zu ihnen gehört auch die Tangente von s in P; ihre Aufrißprojektion muß folglich durch K" gehen.

Ist umgekehrt eine Ebene durch die Erzeugende DE gegeben und soll ihr Berührungspunkt gefunden werden, so suche man ihre Spurlinien in П, und П, etwa EF und JF || GE', schneide die Tangente im Punkte E von k mit g' in K" und ziehe K"P" || EF, dann ist P" der Aufriß des gesuchten Punktes.

Das die Regelfläche längs e oskulierende Paraboloid hat ebenfalls eine Schar horizontaler Erzeugenden, die andere Schar wird von den Haupttangenten in den Punkten von e gebildet. Zu diesen gehört die Gerade g, deshalb sind die ersten Projektionen

jener Haupttangenten parallel und es genügt die Bestimmung der Haupttangente im Punkte E von k. Sie liegt in der zugehörigen Tangentialebene T, deren zweite Spur die Tangente ET von k ist (T = ET × y) und deren dritte Spur TU durch T parallel zu e läuft (T′ auf x, T'U' || e'). Wir gelangen nun zur Haupttangente t in E durch folgenden Grenzprozeß. Der Büschel der Ebenen durch e ist projektiv zur Reihe ihrer Berührungspunkte auf e (722) und zu dem Büschel ihrer zweiten Spurlinien, also auch zu der Reihe ihrer Schnittpunkte mit k (323). Zieht man in einer Ebene Σ jenes Büschels die Verbindungslinie v ihres Berührungspunktes und ihres Schnittpunktes mit k, so berührt sie die Fläche in ersterem und schneidet sie in letzterem. Dreht sich um e bis sie in die Lage T kommt, so bewegt sich v derart, daß ihr Berührungs- und ihr Schnittpunkt gleichzeitig nach E rücken; v geht also in die Haupttangente t von E über. Die Geraden v verbinden aber entsprechende Punkte der projektiven Punktreihen auf e und k. Projiziert man nun die auf k liegende Punktreihe aus einem beliebigen Punkte von k auf ET, so ist auch die Punktreihe auf ET projektiv zu der Reihe auf e; diese Reihen sind sogar perspektiv, da ihr gemeinsamer Punkt E sich selbst entspricht. Die Verbindungslinien entsprechender Punkte der Reihen auf e und ET laufen somit alle durch den nämlichen Punkt, er liegt auf der Haupttangente t. Die Grenzlage der Geraden durch entsprechende Punkte von e und ET fällt nämlich mit der Grenzlage der Geraden durch entsprechende Punkte von e und k zusammen. Denn der Abstand der entsprechenden Punkte von k und ET wird unendlich klein von der 2. Ordnung, wenn ihre Abstände von E unendlich klein von der 1. Ordnung werden. Gleiches gilt auch für die Projektionen.

Den Punkten D", E und von e" entsprechen die Punkte X1, E und X von k (EX=e", EX1 ||g"). Projizieren wir die letzteren aus E, auf ET (EE, Durchmesser von k), so erhalten wir die Punkte TA, E und Y (ET1 = 2ET, EY = 2EY, wenn Y = ET × BB1 ist). TD und die Parallele zu e" durch Y schneiden sich dann in einem Punkte von t". Da in der Figur dieser Schnittpunkt zu weit hinausfällt, wurde 7 mit dem Mittelpunkte Q" von D'E verbunden und diese Gerade mit der Parallelen zu e" durch Y in V" geschnitten. EV"t" ist der Aufriß der Haupttangente t; ihr Grundriß ist t = E'T', wo V' der Schnittpunkt von T'Q' mit der Parallelen zu e durch B ist (Q'GQ'E'). In der Figur ist noch der dritte Spurpunkt U von t eingetragen (U′′ = ť′′ × y, U' = t' × T'U', T'U' \\ é', U'U' _ x). 730. Eigenschatten beim geraden Kreiskonoid. Die vorausgehenden Darlegungen setzen uns in den Stand, jetzt unmittel

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