Innenfläche erfolgt ganz analog dem früheren. Diese Grenzkurven sind teils Schatten der inneren Gewindekante s, teils Schatten der Kanten des Gewindeschnittes im Hauptmeridian. Ihre Punkte werden auf Erzeugenden (z. B. MN) der betreffenden Schraubenflächen gefunden, indem man ihre Grundrißschatten mit denen der schattenwerfenden Kurven schneidet (z. B. in 0) und den zugehörigen Lichtstrahl zurück verfolgt.

ELFTES KAPITEL.

Die Flächen zweiten Grades.

Pole und Polarebenen, Durchmesser und Diametralebenen; Achsen.

641. Unseren Ausgangspunkt bildet die Definition: eine Fläche 2. Grades wird von jeder Ebene in einem Kegelschnitte (Ellipse, Parabel, Hyperbel, Geradenpaar) geschnitten, falls diese Ebene mit der Fläche überhaupt eine reelle Kurve gemein hat. Sehen wir von Kegel- und Cylinderflächen ab, so haben wir in der Kugel und in den Rotationsflächen 2. Grades spezielle Beispiele unserer Flächen. Aus der Definition können wir unmittelbar folgern, daß jede Gerade die Fläche in zwei Punkten trifft, falls sie überhaupt reelle Punkte mit ihr gemein hat. Denn eine Ebene durch diese Gerade schneidet die Fläche in einem Kegelschnitte, auf dem auch die Schnittpunkte der Geraden mit der Fläche liegen müssen. Die beiden reellen Schnittpunkte einer Geraden mit einer Fläche 2. Grades können auch zusammenfallen, dann wird die Gerade. zur Tangente und der Punkt zum Berührungspunkte.

Die Eigenschaft, daß eine Fläche 2. Grades von jeder Geraden in zwei reellen oder konjugiert imaginären Punkten getroffen wird, wird meistens bei der Definition und Behandlung der Flächen 2. Grades an die Spitze gestellt; es bleibt dann immer zu zeigen, daß jede ebene Kurve ein Kegelschnitt ist, wenn sie von jeder Geraden in zwei reellen oder konjugiert imaginären Punkten geschnitten wird. Wir wollen die imaginären Punkte nicht direkt in die Definition der Flächen 2. Grades aufnehmen, umso weniger, als wir erst im Anschlusse an die Kegelschnitte, allerdings unabhängig davon, die Definition der konjugiert imaginären Punkte gegeben haben (348).

642. Durch einen Ebenenbüschel wird auf einer Fläche 2. Grades ein System von Kegelschnitten bestimmt; trifft die Achse dieses Büschels die Fläche in zwei reellen Punkten P und Q, so gehen alle Kegelschnitte durch diese Punkte hindurch. Zwei Punkte der Geraden PQ, welche die Sehne PQ harmonisch teilen, sind (nach 284) konjugiert in Bezug auf alle Kegelschnitte der Fläche 2. Grades, die durch PQ gehen. Man nennt deshalb zwei Punkte kurzerhand konjugierte oder harmonische Pole der Fläche 2. Grades, wenn sie zu den Schnittpunkten ihrer Verbindungslinie mit der Fläche harmonisch liegen. Diese Definition bezieht sich zunächst nur auf Punktepaare, deren Verbindungslinie die Fläche in reellen Punkten schneidet; sie muß indes in analoger Weise wie bei den Kegelschnitten verallgemeinert werden (vergl. 288).

Die Polaren eines Punktes 4 in Bezug auf zwei Kegelschnitte k und unserer Fläche, deren Ebenen enthalten, schneiden sich in einem Punkte B. Treffen sich k und in zwei reellen Punkten B1 und B2, so gehen die Polaren von A durch den Punkt B, der mit A zusammen die Sehne B, B, harmonisch teilt. Treffen sich k und

ह

XE

m'

B'

nicht, d. h. schneiden sich ihre Ebenen in einer Geraden s, die mit unserer Fläche keine reellen Punkte gemein hat, so machen wir folgende Überlegung. Sei (in Fig. 427) C, ein Punkt von k und D, ein Punkt von 1, so schneidet die Ebene AC,D1 die Fläche in einem Kegelschnitte m und die Kurven k und 7 in je einem weiteren Punkte C, resp. D2, die auf m liegen. Sind die Punkte C1CAC harmonisch und ebenso auch die Punkte D1DAD, so ist CD die Polare von 4 in Bezug auf m. Wir legen nun weiter durch A einen Strahl der m in E1 und E, trifft und durch ihn eine Ebene, die mit unserer Fläche einen Kegelschnitt n gemein hat. Diese Ebene kann aber stets so gewählt werden, daß sie sowohl in zwei reellen Punkten F, und F2, als auch k in zwei reellen Punkten G1 und G2 schneidet. Es ist das z. B. der Fall, wenn die Ebene durch

Fig. 427.

n mit der Ebene durch m einen sehr kleinen Winkel einschließt, weil sie dann aus den Ebenen von k und Geraden ausschneidet, die sehr nahe bei CC, resp. D,D, liegen, also k resp. in reellen Punkten treffen. Sind FFAF und ebenso G, G2AG harmonisch, so ist FG die Polare von A in Bezug auf n, und es treffen sich die Polaren CD und FG von A in Bezug auf m und n, da sich m und n in E, und E, schneiden. Schneiden sich aber CD und FG, so thun dies auch die Geraden CF und DG, d. h. die Polaren von in Bezug auf k und 7, und damit ist unsere Behauptung erwiesen.

Hieraus folgt unmittelbar: Die Polaren eines Punktes A in Bezug auf alle Kegelschnitte der Fläche 2. Grades, deren Ebenen durch ihn hindurchgehen, liegen in einer Ebene A. Man nennt A den Pol der Ebene A, und A die Polarebene des Punktes A in Bezug auf die Fläche. Je zwei Punkte der Fläche, deren Verbindungslinie durch A geht, werden durch und A harmonisch getrennt. Die Berührungspunkte aller von A an die Fläche gelegten Tangenten liegenfalls es überhaupt solche Tangenten giebt auf dem Kegelschnitte, in dem seine Polarebene A die Fläche schneidet. Schneidet umgekehrt A die Fläche in einem Kegelschnitte, so geht die Tangentialebene in jedem seiner Punkte durch A hindurch.

-

Liegt der Punkt A auf der Fläche, so ist seine Polarebene A nichts anderes als die Tangentialebene im Punkte A. Liegt der Punkt A beliebig, so erhält man seine Polarebene, indem man drei Strahlen durch zieht, die die Fläche in den Punktepaaren CC, D1D2, EE, resp. schneiden; dann liegen C1D1 × C2D2, С ̧Ð1⁄2 × С2D1, CEXCE, CE2 × C2E1, DE, X DE,, und D1E × D2E, auf der gesuchten Polarebene von A.

1 2

2

2

643. Ein Punkt und ein beliebiger Punkt B seiner Polarebene A heißen konjugierte oder harmonische Pole in Bezug auf die Fläche 2. Grades; sie sind harmonische Pole in Bezug auf jeden Kegelschnitt der Fläche, dessen Ebene AB enthält, denn die Polaren von in Bezug auf diese Kegelschnitte gehen durch B, da sie alle in der Polarebene A von A liegen, wie soeben bewiesen wurde. Hierbei ist es gleichgültig, ob AB die Fläche schneidet oder nicht.

Die Punkte einer beliebigen Geraden ordnen sich in Bezug auf eine Fläche 2. Grades paarweise zu harmonischen Polen an. Die auf einer Geraden g liegenden Paare harmonischer Pole

bilden zwei involutorische Reihen. Denn legt man durch die Gerade g eine Ebene, die die Fläche in einem Kegelschnitte k schneidet, so sind jene Paare auch harmonische Pole in Bezug auf k, woraus nach 289 folgt, daß sie zwei involutorische Reihen bilden. Schneidet die Gerade g die Fläche, so gehören die Paare harmonischer Pole auf ihr ungleich laufenden involutorischen Reihen an, deren Doppelpunkte die Schnittpunkte von g mit der Fläche sind. Schneidet die Gerade g die Fläche nicht in reellen Punkten, so bilden die Paare harmonischer Pole auf ihr gleichlaufende involutorische Reihen, deren Doppelpunkte konjugiert imaginär sind (vergl. 348); sie stellen die konjugiert imaginären Schnittpunkte von g mit der Fläche dar. Jede Gerade schneidet somit die Fläche 2. Grades in zwei reellen oder konjugiert imaginären Punkten.

Geht die Polarebene A des Punktes A durch den Punkt B, so geht auch dessen Polare bene B durch A. Denn da B in A liegt, sind A und B harmonische Pole und es muß auch A in der Polarebene von B liegen.

644. Beschreibt ein Punkt A eine Gerade g1, so dreht sich seine Polarebene A um eine Gerade g; beschreibt umgekehrt ein Punkt B die Gerade g, so dreht sich seine Polarebene B um g1. Sind nämlich und ▲ zwei Ebenen durch 91 und C und D ihre Pole, so geht die Polarebene A eines beliebigen Punktes A von 9, durch CD=92. Denn da die Polarebenen von C und ▲ von D durch A gehen, muß auch die Polarebene A von A durch C und D gehen. Daraus folgt dann weiter, daß auch die Polarebene B eines Punktes B von CD den beliebigen Punkt A von g1 enthält, da B in A liegt.

Die Punktreihe auf g1 ist projektiv zu dem Büschel der zugehörigen Polarebenen durch g, und die Punktreihe auf 92 ebenso zu dem Büschel der entsprechenden Polarebenen durch g1. Denn die Ebenen durch g2 schneiden g1 in Punkten, die mit den Polen der bezüglichen Ebenen Paare harmonischer Pole bilden; diese Punktepaare aber gehören involutorischen, also projektiven Punktreihen an. Dieser Beweis ist natürlich nur dann richtig, wenn g1 und g2 sich nicht schneiden; schneiden sich dagegen 91 und 92 in einem Punkte S, so schließen wir in folgender Weise. Auf einer beliebigen Geraden h, schneidet der Ebenenbüschel mit der Achse g, eine zu ihm projektive Punktreihe aus; die zu den Punkten dieser Reihe gehörigen Polarebenen bilden einen dazu projektiven Ebenenbüschel mit der Achse h,. Die Ebenen des

letzteren Büschels schneiden aber g, in den zu den Ebenen des ersteren Büschels gehörigen Polen, die ja auf g, liegen müssen; der Büschel der Ebenen durch g, ist somit projektiv zu der Punktreihe ihrer Pole auf 91.

92

645. Zwei Geraden g, und g, heißen konjugierte oder harmonische Polaren in Bezug auf eine Fläche 2. Grades, wenn jede von ihnen die Achse eines Büschels von Ebenen bildet, deren Pole auf der anderen liegen. Schneidet also die Gerade g, die Fläche in zwei Punkten. so gehen die Tangentialebenen in diesen Punkten durch g. Zu jeder Geraden giebt es eine harmonische Polare; zwei beliebige Punkte dieser Geraden bilden ein Paar harmonischer Pole. Sind 91 und 92 zwei harmonische Polaren, so ordnen sich die Punkte der Fläche paarweise derart zusammen, daß ihre Verbindungslinie sowohl g wie 92 schneidet; außerdem werden solche Punktepaare durch g1 und g 91 harmonisch getrennt.

92

Schneiden sich zwei harmonische Polaren und 91 92 in einem Punkte S, so ist ihre Ebene eine Tangentialebene der Fläche 2. Grades und ihr Schnittpunkt S der Berührungspunkt. Denn S liegt sowohl auf J1 wie auf 92, seine Polarebene Σ enthält also g2 und g1. Legen wir also durch S eine beliebige Ebene, die Σ in t und die Fläche in k schneidet, so ist S der Pol von t in Bezug auf k, und da S auf t liegt, so ist t eine Tangente von k und S ihr Berührungspunkt; t berührt somit auch die Fläche in S.

Beschreibt 91 einen Büschel mit dem Scheitel S, so beschreibt ihre harmonische Polare g2 einen dazu projektiven Büschel mit dem Scheitel 7; die Ebene T des ersteren Büschels ist die Polarebene von T, die Ebene Σ des zweiten Büschels die Polarebene von S. In der That gehört zu jeder Geraden durch S eine harmonische Polare, die in der Polarebene Σ von S liegt, und zu jeder Geraden der Ebene T eine harmonische Polare, die den Pol T von T enthält. Ferner wird eine Gerade in der Ebene T von dem Strahlbüschel mit dem Scheitel S in den Punkten einer Reihe geschnitten, deren Polarebenen einen dazu projektiven Büschel bilden und aus Σ die harmonischen Polaren zu den Strahlen des erstgenannten Büschels ausschneiden, was unsere Behauptung beweist.

Liegen zwei Strahlbüschel, deren entsprechende Strahlen harmonische Polaren in Bezug auf die Fläche 2. Grades sind, in der nämlichen Ebene, so müssen auch ihre Scheitel zusammenfallen, denn für ΣT wird auch ST. Wir erkennen daraus, daß die

=