der Randschatten in П, mit den Schatten der Erzeugenden abgeleitet und bilden die Kurvenzüge PK, XY, ZK und STO. Ersterer rührt von dem Stücke PJ der obersten Erzeugenden her, die beiden folgenden von t und der letzte von s.

618. Wir gehen zur Darstellung einer geschlossenen schiefen Schraubenfläche in orthogonaler Projektion über (Fig. 397). Die Achse a der rechtsgängigen Fläche sei vertikal gestellt, ihr Spurpunkt in TT,; sie teilt die Fläche in einen oberen. und unteren Teil. Wir stellen nur den unteren Teil dar; er wird von dem Teile einer Erzeugenden e beschrieben, der von der Achse abwärts geht. Als Berandung desselben diene eine (auf koaxialem Rotationscylinder mit dem Grundkreis s' liegende) Schraubenlinie s in Verbindung mit a und zwei einen Flächengang begrenzenden Erzeugenden BC und GII, beide ||П. Der Randpunkt B der untersten Erzeugenden e liege in П. Durch den Aufriß e," ist der Neigungswinkel & der Erzeugenden gegen die Normalebenen bestimmt. Die Strecke CII" auf a" giebt die Ganghöhe h an, aus welcher ho bestimmt und als "S" aufgetragen wird. RS e, ist eine Mantellinie des Richtungskegels der Fläche mit der Spitze S und der mit dem Radius AR in TT, beschriebene Kreis p sein Grundkreis. Nach diesen Festsetzungen können die beiderlei Projektionen aller Randlinien der Fläche in bekannter Weise konstruiert werden.

1

Es ist zweckmäßig, eine hinreichend große Anzahl von Erzeugenden in Grund- und Aufriß zu zeichnen. Zu diesem Zwecke teile man etwa den Kreis s' von B anfangend in 16 gleiche Teile und ebenso die Ganghöhe C"II". Die in den Teilpunkten von s' endigenden Radien bilden die Grundrisse äquidistanter Erzeugenden. Projiziert man ihre Endpunkte auf die x-Achse und zieht Strahlen durch die successiven Teilpunkte von C"II" parallel und gleich den Verbindungslinien der Punkte auf x mit C", so bilden diese die zugehörigen Aufrisse. Letztere umhüllen den Umriß u" der zweiten Projektion; u berührt a" in den Punkten J" und K", die von C" resp. II" je um entfernt sind.

619. Die Meridiankurve der vollständigen Schraubenfläche wird von zwei Scharen paralleler Erzeugenden BC, GII,... und EF, ... gebildet, die gegen die Achse a abwechselnd nach links und rechts unter dem Winkel R geneigt, sie in Punkten von der gegenseitigen Entfernung schneiden. Sie schneiden einander in unendlich vielen Doppelpunkten (z. B. D), die bei der Schraubenbewegung die Doppelkurven (d) der Fläche beschreiben, in denen sich der obere und untere Flächenteil durchsetzen.

ROHN u. PAPPERITZ. II.

=

Die Normalkurve der Fläche ist nach 606 eine Archimedische Spirale, deren Parameterkreis (580) der mit dem Radius

hcotge um A beschriebene Kreis p ist. Wir konstruieren die Normalkurven in einer durch den Punkt J der Achse gelegten Normalebene. Ihr Grundriß n' hat dann den vertikalen Durchmesser des Parameterkreises zur Tangente im Scheitelpunkte A. Der zu gehörige Krümmungsradius der Spirale isth cotg ɛ. Man findet weitere Punkte derselben, wenn man von A aus auf die rechts von der genannten Scheiteltangente liegenden Radien die successiven Vielfachen eines Sechszehntels der Peripherie von p aufträgt. Der erste Doppelpunkt D' der Spirale ist der Grundriß von DBC x EF und liegt auf der Doppelkurve d. Die Normale der Kurven in einem Punkte P' geht durch den Endpunkt Q des zu P'A senkrechten Radius von p.

Die Tangentialebene T in einem Punkte P der Erzeugenden e enthält außer e auch die Tangente t der durch P gelegten Normalkurve n. Ihre erste Spur t, geht durch den ersten Spurpunkt E von e parallel zum Grundrisse t, also senkrecht zu P'Q, ihre zweite Spur to geht durch den zweiten Spurpunkt T von t. Man schließt hieraus den Satz:

2

Einer Reihe von Punkten P auf der Erzeugenden e entspricht ein zu ihr projektives Büschel von Tangentialebenen mit der Achse e.

Denn die Reihe der P ist zu der Reihe der P', diese zu dem Büschel der Strahlen P'Q, dieser zu dem der Normalen t1 (der Spurlinien) und der letzte endlich zu dem Büschel der Tangentialebenen projektiv.

Zur Konstruktion der Durchstoßpunkte einer Geraden und der Schnittkurve einer Ebene mit der Fläche können die in 609 und 608 gegebenen Methoden dienen.

620. Um den wahren Umriß u der Schraubenfläche für die zweite Projektion zu finden, benutzt man die in 602 angegebene allgemeine Konstruktion, indem man in П, den Pol L der projizierenden Strahlen in der Richtung der x-Achse unendlich fern annimmt. Ist daher (Fig. 398) g'= AW der Grundriß einer Erzeugenden g und der Endpunkt des zu g' normalen Radius von p, so schneide man g' mit der Parallelen zu z durch V in U'. U' ist der Grundriß des Punktes U der Umrißkurve, sein Aufriß U" findet sich senkrecht darüber auf g".

Die Horizontalprojektion u' des wahren Umrisses u besteht aus zwei Zweigen, die sich in dem gemeinsamen Scheitelpunkte berühren und die zur r-Achse parallelen Tangenten des

1

Kreises p zu Asymptoten haben. Auf den Radien AW und AW des Kreises p seien die Nachbarpunkte U und U', der Kurve u nach obigem Verfahren bestimmt. Ferner sei AXU'V, XZ‡U'A, WW, U'V und ▲ U'AX = ∞. Das durch die Hilfslinien gebildete

2

Viereck U'U"UU" nähert sich der Parallelogrammform, wenn das mit seiner Diagonale zusammenfallende Kurvenelement U'U' unendlich klein wird. Daher wird (436) die Kurventangente in U als U'Y erhalten, wenn man Y auf XZ so bestimmt, daß das Verhältnis XY: U'X dem Grenzwerte von U'U": U'U" gleich wird. Für den Grenzübergang darf man setzen: WW、

U' U" = VV1

=

1

und findet daher, wenn Y den Schnittpunkt XZ × AV bedeutet: WW2 cos o AW⋅ cos o XV

U'U" WW.

=

U'U" U'U"

=

XY
AU' U'X'

=

Hierin liegt eine einfache Tangentenkonstruktion. Ist U' der gegebene Kurvenpunkt auf u', so zeichne man das rechtwinklige Dreieck U'AV, schneide seine Hypotenuse UV mit AM in X und projiziere X senkrecht auf die Kathete AV nach Y so ist YU' die gesuchte Tangente.

=

Der Kreis um 01, welcher u' in A berührt und außerdem in U' schneidet, geht in den Krümmungskreis k des Scheitels 4 über, wenn sich unbegrenzt A nähert. Dabei ist stets WAM ▲ U'O̟14, während der zum Centriwinkel WAM gehörige Bogen WM des Kreises p der Konstruktion zufolge dem Kurvenelemente U'A, also auch dem zum Centriwinkel U'O, A gehörigen Bogen des Kreises gleich wird. Folglich ist 40 AR der Krümmungsradius im Scheitel der Kurve u'.

621. Der Umriß u" der zweiten Projektion der Schraubenfläche wurde bereits als Hüllkurve der Aufrisse ihrer Erzeugenden bestimmt. Die zugehörigen Berührungspunkte ergeben sich aus dem Grundrisse. Er besteht aus zwei Scharen hyperbelartig verlaufender Zweige, die den Achsenaufriß a" abwechselnd von links und rechts berühren und die Aufrisse

fällt und Jix a, so ist J" ein Scheitel von u". Sei ferner k eine benachbarte Erzeugende, K = k× a und U der auf k gelegene Punkt des wahren Umrisses u, setzt man endlich:

t = Lik, ť"

so gehören zu den Bogenelementen U"J" und U'J' der Kurven u" und resp. die Kontingenzwinkel " und 2' (620). Auf der Achse a werde von K aus abwärts die reduzierte Ganghöhe h。 abgetragen und durch ihren Endpunkt eine Parallelebene zum Grundrisse gelegt, die k in N und die Parallele zu durch K in M schneiden mag. Dann ist: